Основные уравнения. Граничные условия

При течении газа в тесных каналах между элементами насадки существенную роль играют силы вязкости, что приводит к необходимости применения к процессу движения газа в насадке основных уравнений движения вязкой жидкости Навье—Стокса. Однако прямое интегрирование уравнений Навье—Стокса при столь сложных граничных условиях, какие обусловливает насадочная среда, оказывается невозможным. Поэтому запишем для потока газа уравнения Навье—Стокса в форме уравнений гидродинамики Эйлера, но к действительно существующей массовой силе X прибавим фиктивную массовую силу Х , которая учитывает эффект вязкого трения и называется фиктивной силой сопротивления Жуковского [c.407]

Данные по интенсивности тепло- и массообмена поверхности влажного продукта с потоком сушильного агента представляются в виде связи между числами (критериями) подобия, которые получаются из этих же уравнений и условий однозначности. Основное из граничных условий записывается в форме конвективной массоотдачи [c.793]

Сложная и носящая статистический характер геометрическая структура зернистого слоя не позволяет точно определить положение точек, в которых должно выполняться граничное условие (II. 1). Это обстоятельство, а также нелинейность основных уравнений гидродинамики, не позволяет получить сколько-нибудь точные решения для скоростей и перепада давлений в зернистом слое. При малых скоростях течения в условиях преобладания сил вязкости можно пренебречь квадратичными членами и уравнения гидродинамики становятся линейными, что облегчает получение точных или приближенных решений при сильной идеализации геометрической структуры слоя (см. ниже). В общем же случае для анализа течения в зернистом слое приходится обращаться к эксперименту с использованием при его обработке методов теории подобия [4]. [c.21]

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ НОЙ [c.309]

Основные уравнения. Граничные условия [c.309]

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 311 [c.311]

Одинаковая форма дифференциальных уравнений означает совпадение общего вида рещения, если дополнительно совпадают и условия однозначности к дифференциальным уравнениям. Граничные условия вне пограничного слоя (строго говоря, при у- оо) по форме обычно совпадают как для гидродинамической, так и для массообменной задач 1Юх у о хюа и = причем последняя запись означает практически равномерное распределение концентрации целевого компонента поперек основной массы потока, т. е. вне пределов диффузионного пограничного слоя. При оценке интенсивности внешней массоотдачи от твердых поверхностей концентрацию целевого компонента на поверхности обычно удобнее принимать равной нулю, т. е. С у=о = 0, что совпадает с граничным условием на стенке, обтекаемой потоком вязкой жидкости (ш у=о = 0). Если твердая поверхность непроницаема для вещества потока, [c.27]

Основные каталитические процессы в нефтехимической и химической промышленности характеризуются многостадийностью собственно химических превращений при значительном числе участвующих в них реактантов. Последнее является причиной многомерности и сложности математических моделей, в которые входят большое количество уравнений, в первую очередь материального и теплового балансов. Практическое использование подобных моделей затруднительно, ибо для получения на ЭВМ полей концентраций реагентов и температуры в реакторе требуются большие затраты машинного времени. Это приводит во многих практических ситуациях к чрезмерному усложнению процедур структурной и параметрической идентификации и к невозможности научно обоснованного выбора математической модели каталитического процесса, отражающей результаты промышленного эксперимента в широком диапазоне изменения технологических параметров. Эффективный путь преодоления этих трудностей состоит в сокращении размерности уравнений модели за счет априори построенных уравнений инвариантов физико-химических (реакторных) систем. Инварианты позволяют также осуществить предварительную оценку параметров реакторных моделей, проверить обоснованность выбора граничных условий. [c.242]

Это основное уравнение необходимо решать при определяемых граничных условиях, накладываемых на поток je на границах слоя в соответствии с режимом работы последнего [2]. [c.84]

Точность, вносимая граничными условиями (VI.27), является, однако, обманчивой. Дело в том, что при их выводе предполагается, что диффузионная модель справедлива повсюду, в том числе и для процессов переноса на малых расстояниях. На самом деле, однако, не существует систем, в точности описывающихся уравнением конвективной диффузии (VI. 14) или (VI. 15) с постоянными значениями линейной скорости потока и коэффициента диффузии. В случае турбулентного потока в реакторе без насадки скорость потока почти постоянна по всему сечению аппарата (кроме тонкого слоя близ его стенки), однако коэффициент турбулентной диффузии является переменной величиной, увеличиваясь пропорционально расстоянию от стенки реактора. В ламинарном потоке перенос вещества осуществляется молекулярной диффузией, так что коэффициент диффузии постоянен. Однако основная причина случайного разброса времени пребывания в реакторе — сильное различие локальных скоростей потока на различных расстояниях от стенки аппарата. Наконец, в реакторах с насадкой, отклонение времени пребывания в реакторе от среднего знйчения вызывается образованием турбулентных вихрей в промежутках между твердыми частицами, разбросом локальных скоростей потока за счет неоднородности упаковки слоя и задержкой вещества в застойных зонах. Во всех этих случаях распределение времени пребывания в реакторе делается близким к нормальному, если длина аппарата достаточно велика, и только в этих условиях диффузионная модель становится пригодной для приближенного описания процесса. [c.211]

Перенос вещества вдоль оси потока вследствие молекулярной диффузии весьма невелик он осуществляется в основном за счет движения потока. При ламинарном режиме течения средняя скорость потока равна Ыо/2, поэтому через время х введенное вещество будет находиться на расстоянии Х1 = х+ (ио/2)х от плоскости отсчета х — расстояние от плоскости отсчета при отсутствии движения). После подстановки значения х в уравнение (П. 14) и использования граничных условий было получено выражение для переносимого количества вещества в направлении оси потока [c.33]

Граничные условия учитываются при составлении уравнений для точек, расположенных вблизи оси и стенки так же, как и в уравнениях с нисходящими разностями. Основное отличие состоит в том, то для контроля ошибки приближения первое разностное уравнение соответствует дифференциальному уравнению для п-го интервала на расстоянии Д h от оси, а не на самой оси. Разность между температурой реакционной смеси и охлаждающей жидкости принимается равной средней величине между температурами в (м—1)-ом и (п+1)-ом интервалах. При вычислении изменения давления плотность и молекулярный вес также принимаются рав-. ными своим средним значениям для соответствующих интервалов [c.195]

Расчет мембранного модуля можно свести к интегрированию системы уравнений (4.18), (4.21) и (4.29) с граничными условиями (4.5) и (4.6), если известны закономерности изменения коэффициента трения и диффузионного числа Стентона от основных параметров, характеризующих течение в канале. Источником такой информации могут быть аналитические решения и опытные данные, представленные в обобщенной форме, например, в виде относительных законов (4.9). [c.127]

Изменение начальных и граничных условий позволяет использовать метод квазилинеаризации для решения различных расчетных задач. Например, определение профилей концентраций и величины орошения, вычисление составов и потоков в простых и сложных колоннах, расчет колонн со стриппингами и комплексов колонн и т. д. При этом основная сложность заключается в соответствующем согласовании числа уравнений и числа неизвестных, т. е. в обеспечении замкнутости системы. Как правило, скорость сходимости в зависимости. от постановки задачи меняется несущественно. [c.330]

Под математическим моделированием понимают разработку и анализ систем уравнений процесса при соответствующих начальных и граничных условиях с целью выявления оптимальных условий проведения процесса или работы аппарата. Использование этого метода предполагает достаточно глубокое знание основных закономерностей процесса (работы аппарата). [c.24]

Решение основного дифференциального уравнения теплопроводности совместно с начальным и граничным условиями позволяет для постоянной температуры греющей среды получить зависимость [c.30]

Рассмотрим основные соотношения полярографического метода. Решение уравнения (УП1.6), справедливого для большого плоского электрода, при наличии избытка фона и при следующих начальном и граничных условиях [c.212]

В ГЛ. 1 приведены примеры построения математических моделей некоторых основных процессов химической технологии. Модели представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений или дифференциальных уравнений в частных производных с начальными и граничными условиями. Все параметры, входящие в эти математические модели, можно разделить на три группы. Чтобы понять по каким признакам делятся параметры системы, рассмотрим в качестве примера математическую модель колонного противоточного абсорбера (см. раздел 1.2). Эта модель включает систему дифференциальных уравнений в частных производных [c.38]

В области д >0 Т описывается тем же волновым уравнением, что и обычный гармонический осциллятор. Однако приемлемы только решения, которые обращаются в нуль в начале координат (граничное условие). Следовательно, собственными значениями энергии для обычного осциллятора являются те значения, которые соответствуют нечетным волновым функциям. Четность волновых функций простого осциллятора чередуется по мере увеличения квантового числа V начиная с четного основного [c.107]

Все исходные уравнения (ХП.4) — (ХП.8) сохраняются появляется лишь новое граничное условие х = й, г 5 = 1131, вместо = О, = 1 зо, где г) — потенциал плоскости наибольшего приближения и = Поскольку интегрирование при этом условии включает все противоионы х й), результат не изменяется по форме, уравнение (ХП.9) сохраняется для всей области х й. Основное уравнение модифицированной теории Гуи имеет вид [c.185]

Основные типы граничных условий, встречающихся при анализе массообменных процессов, были рассмотрены выше. При реализации массообменных процессов с дисперсной твердой фазой наиболее часто реализуются условия третьего рода, согласно которым обмен целевым компонентом между поверхностью капиллярно-пористого тела и окружающей его вязкой средой записывается через уравнение внешней массоотдачи /гр — р(С — Сгр), где Сгр и /гр — концентрация и поток целевого [сомпонента на поверхности (на границе) твердых частиц материала, f — концентрация компонента во внешнем потоке-носителе, р — коэффициент массоотдачи. Поток /гр, отводимый [c.51]

Однако Тиссе не удалось построить количественно правильной и последовательной гидродинамической и термодинамической теории гелия II. Макроскопической теории посвящена в основном также и его последняя статья [10]. Необходимо отметить, что значительная часть этой статьи посвящена термодинамическому выводу гидродинамических уравнений, граничным условиям к ним, термодинамической формуле для скорости второго звука, обсуждению опытов по измерению вязкости и т. д., однако без упоминания, что все это было сделано Ландау (между тем как в предыдущих статьях Тиссы соответствующих формул не было). [c.427]

Плоские и пространственные поля скоростей и давлений определяются интегрированием уравнений Навье — Стокса с учетом граничных и начальных условий. Решение ряда подобных задач в области преобладания сил вязкости, когда уравнения становятся линейными, излагается, например, в следующих книгах [22, Л. С. Лейбензон и А. Е. Шейдеггер 45, 72] и мы здесь, на этих вопросах не останавливаемся. В этих же книгах освещается вопрос о пространственном движении жидкости в зернистом слое в условиях, когда нельзя пренебрегать силами инерции и основные уравнения движения перестают быть линеи-ными. [c.71]

В книге изложены математические и физико-химические основы моделей химических реакторов. Рассмотрены модели идеального смешения и идеального вытеснения, диффузионная и ячеистая модели, комбинированные модели, двухфазная модель реактора с псевдоожиженным слоем катализатора, статистические модели. Знач>1тельное внимание уделено физической интерпретации процессов в реакторах, составлению основных уравнений, выбору граничных и начальных условий, качественному и количественному анализу типов моделей. [c.4]

Главное внимание уделено методике составления математических моделей, дана физическая интерпретация процессов, рассмотрены составление основных уравнений, выбор граничных и начальных условий, качественный и количественный анализ типов моделей и правомерность применения их к процессам в реакторах с различным конструктивно-технологиче-ским оформлением. Такой подход к изложению основных положений математических моделей дает возможность более осмысленно подойти к пониманию их суш ности и исключает формальное применение в практике математического моделирования. [c.5]

Теоретические исследования силы сопротивления, действующей на твердую сферическую частицу, которая стационарно осаждается в дисперсной смеси и испытывает влияние окружаюншх частиц, начались ра-тами Смолуховского [22]. Как известно, точное решение этой задачи принципиально невозможно из-за необходимости удовлетворения граничных условий сразу на нескольких поверхностях. Поэтому Смолухов-ский предложил метод последовательных итераций, в котором краевую задачу можно бьшо решить в любом приближении, рассматривая каждый раз граничные условия только на одной из частиц. Этот метод получил название метода отражений и позволил решить целый ряд задач, связанных с гидродинамическим взаимодействием частиц друг с другом и со стенками канала [22]. Метод основан на линейности уравнений Стокса, описывающих установившееся течение вязкой жидкости, когда значение критерия Рейнольдса, рассчитанное по диаметру частицы, мало по сравнению с единицей. Решение задачи обтекания частицы в облаке, состоящем из N частиц, ищется в виде суммы основного возмущения, вносимогг) в поток произвольно выбранной (пробной) частицей, и последовательных, ,отражений этого возмущения от имеющихся в наличии поверхностей [c.64]

Уравнения, полученные в главах III и V, относятся к процессам, протекающим в диффузионной пленке близ поверхности жидкости. Именно эти процессы и определяют обычно скорость абсорбции. Но диффузионная пленка граничит с основным объемом, или массой жидкости, или органически входит в этот объем (если использовать представления соответственно пленочной модели и моделей обновления поверхности), значит состав массы жидкости является одним из граничных условий, определяющих перенос и химическое взаимодействие в пленке. Однако состав массы жидкости зависит от процесса абсорбции, поэтому целью настоящей главы является исследование взаимосвязи между этим составом и абсорбцией газа в различных случаях. При этом необходимо различать периодические, или беспроточные, и непрерывные, или п р о т о ч -н ы е, процессы абсорбции. В периодических процессах состав массы жидкости в абсорбере постоянно изменяется по мере абсорбции газа. В непрерывных процессах, характеризуемых постоянными и одинаковыми расходами жидкости на входе и выходе из абсорбера, такого изменения состава во времени нет при условии неизменности состава питающих аппарат потоков взаимодействующих в нем жидкости и газа. [c.153]

Каждой паре индексов (т, п) в уравнении (4.15) соответствует свой магнитный тип волны, обозначаемый как. Обычно а>Ъ, т.е. а -размер широкой, а Ь - узкой стенки волновода, т.е. основным типом волны является волна Яю. В этой волне электрическое поле направлено вдоль узкой стенки. Вид поля Яю и его эпкч)ы показаны на рис. 4.4. Картина., поля изображена силовыми линиями электрическое поле -сплошные линии, магнитное - штриховые. В соответствии с граничными условиями, в стенках волновода на толщине скин-слоя протекают токи, показанные на рис. 4.4 двойными стрелками. Дисперсия фазовой [c.86]

Физически двугрупновая модель предполагает, что поведение быстрых нейтронов в реакторе с отражателем может быть описано с помощью одного диффузионного уравнения (в каждой области) при подобранных должным образом поперечных сечениях быстрых нейтронов. Тепловые нейтроны объединяются во вторую группу обычным способом. Таким образом, в случае применения указанной модели к многозонному реактору вводятся два дифференциальных уравнения для каждой области одно — для описания тепловой группы и другое — для описания быстрой группы. Решения этих уравнений в каждой области сшиваются с соответствующими решениями в прилегающих областях с подходящими граничными условиями для каждой группы с учетом требований, налагаемых на решения в центре и на внешней границе реактора. Интенсивность источников тепловых нейтронов в каждой группе пропорциональна потоку быстрых нейтронов, а в областях, содержащих делящееся вещество, интенсивность источников группы быстрых нейтронов пропорциональна тепловому потоку. При проведении последующего решения основное внимание будет уделено аналитической постановке вопроса и решению в частном случае двузонного реактора с внешней неразмножающей областью. Методы, развитые в данном случае, легко обобщаются (в принципе) на более общие ситуации. [c.330]

Для решения граничных задач необходимо решить задачу минимизац. на граничных условиях. Так для системы (N+1) - дифференциальных уравнении функция /, которая характеризует степень рассогласования между вычисленными граничными условиями и заданными граничными условиями, зависит от (N+1) неизвестных. При использовании систем реакторных инвариантов функция V)/ зависит только от т<К+1 (т=рГ Во) независимых переменных. Когда т значительно меньше N+1 численное решение (24)-(25) упрощается. Заметим при этом, чго темпера1ура в реакторе также может быть выбрана в качестве одного из юпочевых веществ. В этом случае для определения стационарных профилей концентраций и температуры реакционной смеси в реакторе, необходимо построить функцию V)/, которая зависит от температуры в реакторе и концентраций (т-1) ключевых веществ. Иллюстрации использования реакторных инвариантов будут определены на конкретных примерах. Для упрощения вычислений основное внимание будет уделено одномаршрутной реакции типа А=В. [c.112]

Этой цели удовлетворяет уравнение (10.3-32). Однако если требуются надежные данные для конструирования, необходимо избавиться от длинного ряда упрощающих допущений, что приведет к более сложному решению. Конечным результатом будет модель для неизотермического течения неньютоновской жидкости в реальном винтовом канале с учетом потока утечек через гребень, позволяющая проводить расчеты для изменяющихся граничных условий. На сегодняшний день нет полного и удовлетворительного решения проблемы, хотя в этом направлении проводились многочисленные исследовательские работы. В основном используются два подхода, которые во многих случаях дополняют друг друга. Одной из первых попыток решить проблемы фактического течения по возможности точно был подход, развитый Гриффитом [7], Колвеллом и Николсом [8], Пирсоном [9], Замодитсом [10] и др. [c.329]

Существует два способа расчета параметров жидкости в пограничном слое. Первый способ заключается в численном решении системы дифференциальных уравнений пограничного слоя, впервые полученных Прандтлем, и основывается на использева-пии вычислительных машин. В настоящее время разработаны различные математические методы, позволяющие создавать рациональные алгоритмы для решения уравнений параболического типа, к которому относится уравнение пограничного слоя. Такой подход широко используется для определения характеристик ламинарного пограничного слоя. Развиваются приближенные модели турбулентности, применение которых делает возможным проведение расчета конечно-разностными численными методами и для турбулентного потока. Второй способ состоит в нахождении методов приближенного расчета, которые позволяли бы получить необходимую информацию более простым путем. Такие методы можно получпть, если отказаться от нахождения решений, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям для каждой частицы, и вместо этого ограничиться отысканием решений, удовлетворяющих некоторым основным уравнениям для всего пограничного слоя и некоторым наиболее важным граничным условиям на стенке и на внешней границе пограничного слоя. Основными уравнениями, которые обычно используются в этих методах, являются уравнения количества движения и энерпш для всего пограничного слоя. При этом, однако, необходимо задавать профили скорости и температуры. От того, насколько удачно выбрана форма этих профилей, в значительной степени зависит точность получаемых результатов. Поэтому получили распространение методы расчета параметров пограничного слоя, в которых для нахождения формы профилей скорости и температуры используются дифференциальные уравнения Прандтля или их частные решения. Далее расчет производится с помощью интегрального уравнения количества движения. [c.283]

Уравнение (81) называется дифференциальным уравнением возмущающего движения. Исследование устойчивости решения этого уравнения представляет собой задачу о собственных значениях дифференциального уравнения (81) при граничных условиях (78). Предположим, что основное течение задано, то есть известно распределение скоростей в ламинарном пограничном слое и (у). Тогда уравнение (81) будет содержать четьтре параметра Я, а, Сг, Си Для каждой выбранной пары Я и а можно найти собственную функцию ф и комплексное собственное значение с = Сг + Сг, причем здесь Сг — безразмерная скорость распространения возмущений, а С — безразмерный коэффициент [c.310]

Чтобы рассчитать распределение потенциала и тока на поверхности металла, содержащего включения, необходимо решить при определенных граничных условиях дифференциальное уравнение Лапласа для распределения потенциала в электролите при отсутствии свободных объемных зарядов. Решение этого уравнения связано с большими трудностями и было осуществлено лишь для включений в форме полоски или в форме диска радиусом Го в предположении постоянства плотности катодного тока в различных точках включения и неполяри-зуемости основного металла. Расчет показывает, что плотность анодного тока наибольшая у края включения и резко падает при удалении от него. Интегрирование зависимости плотности тока от расстояния дает суммарный ток, который равен суммарному катодному току. Сопротивление раствора между точкой, находящейся на расстоянии г от центра диска, и окружающим диск основным металлом падает по мере роста г [c.363]

Экономичная структурная сх-зма решения задачи на АВМ изображена на рис. 3. Часть схемы, предназначенная для интегрирования основной систеиы дифферв1щиальных уравнений и получения переменнои в произвольном сечении T(x,i), содержит два сумматора-интегратора, сумматор и инвертор. Для реализации граничных условий и внутреннего источника тепла в данной задаче используются два интегратора, сумматор и инвертор. [c.16]

Струя вязкой несжяыаемой жидкости. Основные уравнения и граничные условия. Задача об истечении плоской ламинарной струи несжимаемой жидкости из узкой щели в безграничное полупространство, заполненное той же неподвижной жидкостью (рис. 5.3), или задача об истечении струи в затопленное пространство могут быть сформулированы в рамках теории пограничного [c.111]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология