Вычисление производных

Схема Горнера может также использоваться для вычисления производных любого порядка от многочлена / (х). Действительно, разложение многочлена (8—6) в ряд Тейлора по степеням (х - х ) [c.187]

До сих пор мы не останавливались на вопросе вычисления производных 5//39, полагая, что они могут быть вычислены точно. Однако при приближенном (численном) интегрировании исходной системы дифференциальных уравнений (3.141) вычисление производных — наиболее тонкое место во всей обратной задаче. Методы вы числения производных можно разделить на две группы. Первая группа — методы универсальные, не связанные со схемой интегрирования. Сюда относится метод конечных разностей (см. разд. 3.5), точность которого не всегда достаточна для успешного проведения минимизации. В работе [108] предлагается для оценки производных использовать план первого порядка в пространстве параметров около точки 0 . Применение этого метода требует, так же как и метод конечных разностей, (р—1) вычисления функции по крайне мере. Пауэлл [118, 119] предложил численный метод оценки градиента, в котором при каждой итерации переоцениваются компоненты лишь в направлении, задаваемом уравнением.(3.171) или G GS = —G h. Здесь 0 — решение уравнения, фиксирующее стационарную точку системы (3.171) h — вектор [t —/ (0 )], i = 1,.... .., N G — вектор 5/(0 )/39 , j = i,. . R. Симплекс-метод [12, 92, 115] не обладает быстрой сходимостью [117, 124], тем не менее он с успехом используется для оценки производных. [c.224]

В случае реальных газов или газо-жидко стных систем для более точного вычисления производных целесообразно использовать экспериментальные данные по зависимости давления и объема газа от температуры. При отсутствии данных изобарная теплоемкости Ср может быть определена из термодинамического соотношения [22, 36, 39, 67, 71] [c.30]

Ниже приведены для справочных целей встречающиеся в химической кинетике основные дифференциальные уравнения вместе с их решениями. Правила для вычисления производных можно найти в любом справочнике по математике. [c.386]

Следует отметить, что применение этих формул целесообразно, если значения функций очень точны. К. Л а н ц о ш предложил формулы для вычисления производных по данным, не обладающим высокой точностью (например, экспериментальным). См. К. Л а н ц о ш. Практические методы прикладного анализа, Физматиздат, 1961, гл. У.—Доп. ред. [c.393]

Основные затраты машинного времени в этой схеме связаны с обращением матрицы (Е — hA), так что вычисление производных по параметрам на каждом шаге требует примерно столько же времени, сколько и решение системы (3.173), так как заключается в перемножении матрицы на вектор. Этот метод является приближенным, так как при дифференцировании (3.173) мы не учитывали зависимость hn+i от 0. Однако он успешно применяется для решения ряда конкретных задач. Лишь в некоторых случаях (когда дальнейшее продвижение по траектории (3.158) не приводит к уменьшению функции цели и данная точка пе является точкой минимума) требуется увеличивать точность интегрирования исходной системы. [c.225]

Однако такое определение высших производных и нахождение по ним итеративным методом у при /с = 1, 2,. .. неудобно, так как численное дифференцирование связано со значительными трудностями. Поэтому ряд Тейлора используют лишь для оценки точности других методов, в которых ограничиваются вычислением производной только первого порядка, т. е. f (х, у). [c.145]

Вместе с тем, если по каким-либо причинам вычисление производной затруднительно, можно найти ее оценку в области от [c.197]

Итак, метод податливости заключается в измерении податливости образца с разными длинами трещины Х=Х(1) и в последующем вычислении производной dX/d , например, графически по кривой Х( ). Тогда поток энергии в вершину трещины на единицу толщины образца можно найти по формуле. [c.228]

Для вычисления производной ду дх воспользуемся выражением (7.258) [c.361]

Простейшим методом решения системы уравнений (7.283) является метод Эйлера при вычислении производной д.хц1(И в точке [c.366]

Принципиально формула (12—12) может быть использована при интегрировании любого дифференциального уравнения с произвольной наперед заданной точностью, от которой будет зависеть число членов ряда. Однако с увеличением числа членов ряда увеличивается количество подлежащих определению производных, а следовательно, и объем вычислений. Вычисление производных с практической точки зрения весьма трудоемко, поэтому формулы разложения решения в ряд как метод решения дифференциальных уравнений не получили широкого распространения. Обычно вместо разложения используются методы, опирающиеся па разложение в ряд Тейлора, но позволяющие получать решение без вычисления производных. Метод же отыскания решения с помощью рядов Тейлора главным образом используется как способ оценки точности других формул интегрирования. [c.352]

X = X (т1 , т] , г , t) представляют закон движения сплошной среды в форме Лагранжа. При вычислении производной (1.44) от а, записанной в форме (1.45), воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции [c.65]

После вычисления производных и подстановки их в уравнение (XV,65), получим [c.508]

Наиболее простой способ избежать вычислений производных состоит в аппроксимации частных производных разностными отношениями, т. е. в использовании приближенных формул [c.69]

Обычно применяемый алгоритм вычисления производных критерия оптимизации по варьируемым переменным с помощью соответствующих разностей [c.29]

Оптимизация накладывает большие требования на расчет целевой функции, т. е. на расчет схемы. Все итерационные процессы, необходимые для вычисления критерия Р [в нашем случав решение уравнений (11,115) и системы (11,116)1, желательно выполнять с высокой точностью. Последнее становится особенно важным при вычислении производных разностным методом. [c.61]

Методы направленного поиска позволяют избежать этого недостатка. Рассмотрим градиентный метод для определения экстремума функции 5 (с(жо), Т хо), и,(Хо), с х), Т(х), v,(x), f(r, х), Vi r, х), Р х)) при отсутствии каких-либо ограничений. Процесс оптимизации по методу градиента заключается в определении направления наискорейшего изменения функции и некотором перемещении по этому направлению в прямую или обратную сторону. Направление наискорейшего изменения функции определяется направлением вектор-градиента оптимизируемой функции. Существенной чертой определения наискорейшего изменения является численное вычисление производных функций д /дс ха), д 1дТ хо), d ldv, xa),. .., которое производится следующим способом д 1ду х ) = [ с хо),. .., yi(Xo)+At/i,. .., Ui(Xo), с(х), Т(х), u x), f r, х), Уг г, х), Р х),. . . ) с Хо), У Х ), , UiUo), с, Т, UJ, /, U2, -.. )]/A /j, где Ai/j— приращение по оптимизируемому параметру, шаг изменения у, у, может быть любым из (Xo), Т Хо), vJ Xa),. ... в качестве шага по оси у выбирают [c.361]

Из-за сложности модели производства целевая функция Q неявно зависит от варьируемых параметров х, что не позволяет определять производные аналитически, а требует применения других методов. При этом необходимо применение методов, дающих возможность находить производные с минимальными затратами машинного времени, что сокращает время расчета оптимальных режимов. Как правило, используют приближенный метод вычисления производных — метод конечных разностей. Производные целевой функции находятся с помощью формулы (1,51). [c.171]

Область значений Ах, где дQ дx постоянно, зависит от точности расчета схемы, причем при увеличении последней эта область расширяется (рис. 32). При приближении к оптимуму с постоянной точностью расчета схемы область постоянства сужается (рис. 33) и при недостаточной точности может практически исчезнуть. Поэтому при приближении к точке оптимума нужно часто существенно увеличить точность расчета схемы для более точного вычисления производных, а значит, и точки оптимума (рис. 34). [c.173]

Приведенные в работах [62, 63] условия устойчивости для различных технологических схем элементов контактных аппаратов содержат производные от температуры газового потока после первого (или второго) слоя катализатора. Другими словами, на этапе расчета контактного аппарата (замкнутой схемы) требуется вычисление производных от некоторых промежуточных переменных для проверки условий устойчивости. Если же для решения задачи оптимизации применяются методы первого порядка, возникает необходимость в расчете вторых производных от указанных переменных, что серьезно усложняет процесс поиска оптимального решения. [c.183]

Трудность подбора приращений Аи,- независимых переменных и связанная с этим неточность вычисления производных, которая может существенно понизить эффективность методов минимизации с переменной метрикой. [c.204]

Обсудим теперь вопросы вычисления производных функции критерия оптимизации Р по варьируемым параметрам при применении двух изложенных подходов. [c.206]

Итак, мы исследовали довольно обширный класс методов минимизации, называемых обычно градиентными. Рассмотрим еще одну группу методов, называемую нря-мыми так как эти методы не требуют вычисления производных. К таким методам относятся покоординатный спуск [81i метод конфигураций [И], метод Розенброка [121j 122 Jj симплекс-метод [11 28j 92 115] и методы случайного поиска [66]. [c.221]

Вычисление производных критерия оптимизации при закрепленных выходных переменных схемы. Этот случай был описан [c.207]

Расчет сопряженного процесса. Как было отмечено выше, задача вычисления производных (V,8) при применении обоих подходов к расчету схем сводится к расчету сопряженного процесса, правда, с разными краевыми условиями. Различие в краевых условиях значительно влияет на характер решения. В самом деле, при первом подходе, задав для Х) (/ = 1,. . ., g ) к = 1, [c.209]

Ясно, что данная задача существенно более проста, чем первоначальная задача вычисления производных (У,8). Тем не менее, даже эта задача может оказаться так же достаточно трудоемкой. [c.210]

Можно, конечно, матрицу (У,29) определять с помощью соответствующих разностей. В монографии [12, с. 164] показано, что вычислять матрицу (У,29) посредством разностей и далее использовать схему сопряженного процесса все-таки выгоднее, чем, применяя разности, непосредственно находить производные (У,8). Однако при этом частично остаются недостатки, присущие методам вычисления производных с помощью разностей. Поэтому обсудим здесь один подход к расчету матриц (У,29). [c.211]

В заключение можно сказать, что сопряженный процесс второго уровня свел задачу нахождения производных величины Р, характеризующей работу всей схемы, к задаче определения производных выходных переменных каждого блока по его управлениям и входным переменным [см. матрицу (У,29)]. Сопряженный ж процесс первого уровня свел последнюю задачу к еще более простой задаче вычисления производных выходных переменных по входным для УЭО. [c.215]

Кроме указанных расчетов, было произведено также вычисление производных с уточненным начальным приближением, когда в качестве значений (г = 1,. . 10) принимались соот- [c.225]

Результаты, приведенные в этом разделе, демонстрируют большие преимущества метода сопряженного процесса перед разностным методом вычисления производных. [c.226]

Метод релаксации в этом смысле обладает определепными достоинствами, так как при спуске вдоль выбранного осевого направления пе треЗуется вычисления производных. Однако в данном случае [c.497]

Попыткой избежать необходимости вычисления производных для определения направления найскорейшего продвижения к оптимуму и в то же время сохранить возможность достаточно быстрого движения к нему является алгоритм симплексного метода [c.515]

Другая группа методов вычисления производных связана непосредственно со схемой интегрирования системы (3.141). Например [62], нри применении неявной разностной схемы к системе (3.137) задача интёгрирования сводится к решению последовательности конечных уравнений [c.224]

В частности, методы разделяются по количеству иерархических уровней (одноуровневые и многоуровневые), по порядку производных, используемых в процессе поиска решения и т. д. Наиболее широкое распространение в задачах анализа и синтеза ХТС находят методы нулевого (без вычисления производных) и первого порядков. Наряду с ними все более широкое применение получают и многоуровневые методы (в частности, двухуровневые), в основе которых лежит идея декомпозиции исходной задачи на ряд подзадач меньшей размерности. Использование линеаризации уравнений математического описания на первом уровне позволяет эффективно применять хорошо разработанный аппарат линейной алгебры. На первом уровне подсистемы рассчитываются независимо друг от друга, а второй уровень служит для координахщи оптимальных решений с целью достижения общего оптимума системы. Стратегия координации решений в целом может осуществляться с использованием алгоритмов явной или неявной декомпозиции. Одно из важных преимуществ метода многоуровневой оптимизации заключается в том, что с его помощью можно существенно сократить время решения общей задачи и требуемый объем оперативной памяти. Сокращение времени расчета может быть достигнутю за счет одновременной оптимизации подсистем с помощью параллельна работающих продессов ЭВМ. Однако следует отметить, что мыо-гоуровневые методы обеспечивают сходимость итерационного процесса только при определенных условиях, налагаемых как на целевую функцию и математическое описание, так и на декомпозицию исходной ХТС на подсистемы (4, 53]. К тому же доказательств условной сходимости многоуровневых методов практически нет. [c.143]

Наиболее трудоемким является вычисление производных. Если они рассчитываются численно (а это для сложных схем часто единственный способ), то необходимо многократно пересчитывать схему. Помимо больших затрат времени численное определение производных имеет недостатком низкую точность и вследствие этого ошибки аппроксимации, особенно в окрестности экстремума. Применение же уравнений сопряженного процесса, по-видимому, э ктивно в случае явной функциональной зависимости между выходными и входными переменными. В реальных условиях эта зависимость обычно неявная. Что касается метода спуска для вычисления нового приближения, то здесь имеются достаточно эффективные методы [55, 56]. [c.143]

Для записи коэффициента активности воспользуемся уравнением Вильсона (см. с. 105), описывающим неидеальность жидкой фазы. Тогда после вычисления производных д а.у 1уп1дХ]) и подстановки их в уравпения (2-111) после соответствующих преобразований систему уравнений (2-109) можно записать в виде [c.144]

Существенной чертой определения направления наискорейшего спуска является вычисление производных минимизируемой функции дЗ/дхи д31дх2, дЗ/охп. Для этой цели можно использовать два способа. Первый, аналитический способ состоит в том, что с помощью обычных правил дифференцирования находятся выражения для производных. Второй, чис.ценцын способ определения состоит в том, что производные подсчитываются с помощью соответствующих разностей [c.129]

Преимущество метода Бройдена состоит в том, что он не требует вычисления производных и решения системы линейных уравнений на каждой итерации. Этот метод использует приближенное значение матрицы, обратной матрице Якоби системы, и корректирует эту матрицу после каждой оценки функции. Кроме того, в этом методе предусмотрено выполнение неравенства (П1.11). [c.69]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология