Плотность вероятности и гауссовского шума

Пусть теперь реализации стационарного эргодического случайного процесса имеют вид д (0 =я(0+ (0> где n t)—гауссовский случайный шум, а s t) —гармонический процесс, s t) = = S sin (2яД4- 6) >. Плотность вероятности этого процесса рав- [c.47]

Природе своей положительны, можно удовлетворительно описывать гауссовским распределением. Лишь при очень больших значениях дисперсии это приближение становится проблематичным и роль нефизичных значений становится заметной. Однако эта проблема действительно здесь возникает, поскольку мы имеем дело с белым шумом, для которого, не строго говоря, дисперсия бесконечно велика. Это означает, что лучше было бы выбрать второй путь и отказаться от приближения белого шума. Однако при этом процесс становится немарковским. Поэтому такой путь кажется еще менее привлекательным. Если мы хотим сохранить гауссовский характер шума и марковский характер и в то же время исключить нефизичные результаты, остается единственный путь, заключающийся в том, чтобы принять условие, что решение СДУ ограничено физически допустимым интервалом [1, оо). Этого можно достигнуть, если заставить процесс Хх претерпевать запаздывающее отражение на границе х = . Это означает, что Хх проводит определенное время на этой границе. Справедливость этого приближения можно оценить по величине плотности вероятности, аккумулированной на границе х = 1. Пока эта величина мала по сравнению с экстремумами плотности вероятности, принадлежащими носителю (1, оо), процесс Хх представляет собой удовлетворительную модель физического процесса и мы можем быть уверены в том, что наблюдаемые явления не обусловлены принятыми граничными условиями. [c.255]

В настоящее время при анализе случайных явлений используется чрезвычайно большое число различных плотностей вероятности. Однако для целей данной книги достаточно знать три плотности, которые хорошо описывают широкий класс практически важных случайных явлений. К ним относятся плотности а) нормального (гауссовского) шума, б) гармонического процесса и в) гармонического процесса в случайном шуме. Поскольку эти три плотности хорошо известны, изложение ведется без подробных выкладок. С деталями можно познакомиться, воспользовавшись работой [2.1]. [c.44]

Шум называется гауссовским или нормальным, когда все его функции плотности и маргинального, и совместного распределения вероятностей являются гауссовскими [выражение (33)]. В этом случае статистическое описание позволяет получить полное описание процесса. Если известны моменты второго порядка и известно, что процесс является гауссовским, то можно определить моменты более высокого порядка. Однако следует подчеркнуть, что знание того, что шум является гауссовским, не дает само по себе какой-либо информации относительно моментов второго порядка, и наоборот. В самом деле, гауссовский шум может быть стационарным или нестационарным он может быть белым> или иметь другое автокорреляционное поведение. Аналогично знание корреляционного поведения не дает ответа на вопрос, является ли шум гауссовским или не является таковым. И наконец, следует подчеркнуть, что, хотя во многих физических процессах шум может рассматриваться как гауссовский, это никоим образом не становится универсальным и часто встречаются другие распределения. [c.475]

Таким образом, для линейной задачи, т. е. при 1(х) = ах + Х и г(х)=1, существует точное уравнение типа Фоккера — Планка для одновременной плотности вероятности, если внешний цветной шум — гауссовский. Отметим, что этот результат справедлив для любого реального гауссовского шума, поскольку при выводе (8.135) мы не использовали требования марковости. Если шум гауссовский, то этот результат справедлив при любой форме корреляционной функции. Кроме того, из данного результата следует, что одновременная плотность вероятности для моделей, принадлежащих к классу точно решаемых моделей, описанных в разд. 8.3, подчиняется уравнению в точности фоккер-планковского типа. Действительно, особенностью этих моделей было то, что посредством преобразования и==Н(х) получалось линейное СДУ. В соответствии с полученным выше результатом при использовании этой новой переменной существует уравнение типа ФП и, переходя обратно к старой переменной, мы получаем [c.294]

Как мы уже подчеркивали, в общем случае невозможно получить точное решение, например, для стационарной плотности вероятности системы, когда рассматривается шум произвольной формы. Дело обстоит так даже в довольно простом случае марковского гауссовского шума. Следовательно, общий случай внешнего цветного шума может быть рассмотрен лишь приближенными методами. Методы, развитые в гл. 8, позволяют исследовать два предельных случая — низкочастотного и высокочастотного внешнего шума. В частности, для последнего случая малых корреляционных времен в нашем распоряжении имеется метод разложения в ряд по теории возмущений. Этот метод использовался, чтобы показать, что фазовые переходы, индуцированные внешним шумом с малым временем корреляции, могут быть идентифицированы с переходами, исследованными в случае применения идеализации белого шума. Однако благодаря различию между двумя приближенными методами, используемыми для описания высокочастотного и низкочастотного шума, остается не ясным, каким образом переходы, предсказанные для случая быстрого шума, связаны с переходами, имеющими место в случае медленного внешнего шума. Желательно поэтому дополнить ту информацию, которая получается с помощью общих приближенных методов, информацией, полученной из изучения специальных классов внешнего цветного шума. Другими словами, полезно найти такие примеры Цветного шума, которые позволяют для произвольной системы с одной переменной точно вычислить по крайней мере стационарную плотность вероятности при любом значении времени корреляции. Как говорилось выше, гауссовский шум не принадлежит к этому классу. Следует обратиться к случайным процессам с более простой структурой, и вполне естественным кандидатом оказывается марковский процесс с дискретным пространством состояний. Простейшим процессом такого типа является дихотомический марковский шум, известный так же, как случайный телеграфный сигнал. В данной главе мы покажем, что он действительно позво ляет получить точные результаты и построить полную картину влияния корреляций. [c.324]

Как и гауссовская плотность, плотность гармонического процесса полностью определяется средним значением и среднеквадратичным отклонением. Но в отличие от гауссовской плотности, среднее значение которой наиболее вероятно (см. рис. 2.5,а), плотность гармонического процесса достигает минимума в точке с координатой, равной среднему, т. е. значения, близкие к среднему, наименее вероятны. Это является главным отличием гармонического процесса от узкополосного шума, который обычно является гауссовским, каким бы узким ни был его спектр. [c.47]

Билджера [1978], Мешкова и Щербины [1981], Щербины [1982]. Основная идея метода остоит в том, что размазанная шумами плотность вероятностей в окрестности точек г = О и г = 1 аппроксимируется специально подогнанными гауссовскими кривыми, площади под которыми дают соответственно 7о и 71. [c.48]

Отметим, что если известна корреляционная функция С (тьтг) внешнего шума, то можно определить зависящую от времени плотность вероятности и полную иерархию для Ut и, следовательно, для Эта процедура использует только гауссовский характер внешнего шума и ни в коей мере не предполагает наличие марковости. Результаты, таким образом, применимы к любому реальному гауссовскому шуму. Без ограничения общности можно положить 0 = 0. Напомним, что мы рассматриваем лишь ситуации, когда начальное условие ио неслучайное. Тогда зависящая от времени плотность вероятности имеет вид [c.268]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология