Функция совместного распределения плотности вероятности

Построение наилучшей меры 0(Хп, X) отклонения эксперимента от расчета может быть произведено, исходя из принципа максимального правдоподобия, предложенного Р. Фишером (см. [61, с. 541—543), если известна функция распределения исследуемых случайных величин. Выражение для меры 0(Х , X) получается из условия максимума функции правдоподобия Ь, которая представляет собой совместную плотность вероятности вида [c.115]

Функция плотности совместного распределения вероятности р х,у) для двух переменных х и у является нормированной функцией. +00 4 00 [c.454]

Вероятностное описание случайных процессов, вообще говоря, требует знания функции плотности маргинального распределения вероятности р(х) для каждой случайной переменной х и функции плотности совместного распределения вероятности р х, у) для каждой нары переменных л, у. Иногда достаточно наличия функции плотности маргинального распределения вероятности, как в примере, приведенном в разд. 7.2.2. Очень важен случай, когда случайные переменные никоим образом не зависят одна от другой две переменные величины х, у являются статистически независимыми, если их функцию плотности совместного распределения вероятности можно разложить на два множителя, являющихся функциями плотности маргинальных распределений вероятностей (необходимое и достаточное условие) [c.467]

Это определение легко распространить па функции с одной случайной переменной (наиример, среднего значения квадрата х ) и путем использования функции плотности совместного распределения вероятности на функции с двумя и более переменными (произведения и т. д.). [c.456]

В нестационарных (неустановившихся) процессах функция плотности маргинального распределения вероятности зависит от /], а функция плотности совместного распределения вероятности зависит и от и от т [c.469]

Для решения поставленной задачи необходимо знать совместную плотность вероятности р 8 и) для. случайной функции 8 и) и ее производной и), зависящую от длины и как от параметра. Вероятность того, что превышение уровня точности произойдет в бесконечно малом интервале длины йи, расположенном вблизи заданной точки, равна р 8 1)(1и. Плотность вероятности р 8 и), выраженная через дифференциальный знак распределения р(8 I) ординаты случайной функции 8 и) и ее производной и), отнесенная к единице длины, после интегрирования по всем положительным значениям даст среднее число Уо(5) превышений уровня 5 на единицу длины [c.142]

Для стационарных процессов функции плотности маргинального и совместного распределения вероятностей не зависят от времени t, однако функция плотности совместного распределения вероятностей зависима от интервала т. Среднее, среднее значение квадрата и дисперсия являются константами, а автокорреляция и автоковариация — функциями только т. [c.470]

Плотность вероятности обнаружить одновременно к выделенных частиц в заданных точках пространства называется /с-точечной корреляционной функцией [165, 172]. Например, совместная вероятность Гг,. .., Гй) того, что звенья 1, 2,. .., f имеют координаты Ti, Га,. .., Гь, получается в результате интегрироваиця распределения Гиббса по координатам всех групп и остальных звеньев при всех возможных способах соединения связями функциональных групп (в том числе и смежных с выделенными звеньями). Наиболее важными для расчета различных экспериментально измеряемых характеристик полимерной системы являются одноточечные 0 (rj) и двухточечные " (ri, Гз) корреляционные функции (корреляторы). Аналогичным образом вводятся корреляционные функции положений в пространстве функциональных групп (в", 0 ) и связей (0 , 0 ), а также смешанные корреляторы О , в которых индексы v и i в зависимости от типов частиц принимают значения з, г или с. [c.214]

Шум называется гауссовским или нормальным, когда все его функции плотности и маргинального, и совместного распределения вероятностей являются гауссовскими [выражение (33)]. В этом случае статистическое описание позволяет получить полное описание процесса. Если известны моменты второго порядка и известно, что процесс является гауссовским, то можно определить моменты более высокого порядка. Однако следует подчеркнуть, что знание того, что шум является гауссовским, не дает само по себе какой-либо информации относительно моментов второго порядка, и наоборот. В самом деле, гауссовский шум может быть стационарным или нестационарным он может быть белым> или иметь другое автокорреляционное поведение. Аналогично знание корреляционного поведения не дает ответа на вопрос, является ли шум гауссовским или не является таковым. И наконец, следует подчеркнуть, что, хотя во многих физических процессах шум может рассматриваться как гауссовский, это никоим образом не становится универсальным и часто встречаются другие распределения. [c.475]

Найдем сначала функцию корреляции, пользуясь основным ее определением (27.4). Для этого нужно предварительно составить выражение для двумерной плотности вероятностей (т.е. плотности совместной вероятности случайным величинам == (О и = (/+ т) находиться соответственно в интервалах х - -(1х и Х2У х - йх ). Распределение в нашем случае дискретно и обладает следующими свойствами. Если на интервале т имеется четное число нулей, тоЕ(/) иЕ(/ + т)имеют одинаковый знак, т. е. равны с одинаковой вероятностью либо Н-а, либо [c.172]

Данное описание является достаточно полным, однако только в некоторых случаях его можно получить на выходе известных систем, таких, как усилители, фильтры и т. д., если известно вероятностное описание на входе. Более того, оно не дает непосредственной характеристики временных изменений обрабатываемого сигнала. Можно получить описание, которое является менее полным, но нмеет большое практическое применение с упомянутой выше точки зрения. Такое статистическое описание основывается на наборе средних значений функций случайных переменных среднем, среднем квадрате и дис-иерсии одной переменной х, усредненном пропзведенни и ковариации двух переменных х и у. Существуют несколько моментов и центральных моментов функции плотности маргинального и совместного распределения вероятности. [c.467]

Проведенное выше обсуждение ограничивалось рассмотрением возможности использования сдвигов частот колебаний групп для оценки индукционного и мезомерного эффектов и физических свойств, которые также связаны с ними. Некоторые предварительные исследования по сходным вопросам были выполнены также значительно более сложным методом измерения интенсивностей полос. В некоторых случаях изменения интенсивности, которыми сопровождаются небольшие изменения в распределении электронной плотности в колеблющейся группе, несравненно больше, чем соответствующие изменения частот. Поскольку изменения интенсивности зависят от тех же факторов, то измерение этого параметра представляет собой альтернативный и часто более предпочтительный метод исследования. В некоторых случаях оба метода дают, по-видимому, сходные результаты. Значения постоянных Гаммета а были сопоставлены, например, с интенсивностями полос поглощения, соответствующих валентным колебаниям NHo [75] и ОН [76]. У других веществ изменение интенсивности поглощения следует иному закону, чем изменение частот, и между ними нет никакой связи. Так, интенсивность карбонильного поглощения у замещенных ацетофенонов при изменении заместителей меняется лишь весьма незначительно, и эти изменения не могут быть сопоставлены со значениями постоянных Гаммета а [68]. Аналогичным образом Барроу [78] нашел, что для достаточно большого ряда различных соединений, содержащих карбонильную группу, изменение интенсивности поглощения не сопоставимо со сдвигами частот, но является функцией энергии резонанса. Последняя, по-видимому, никак не связана с индукционными эффектами, и возможно, что изменения интенсивности карбонильного поглощения зависят в первую очередь от мезомерных эффектов. Ясно, что имеется обширное поле деятельности для дальнейшей работы в этой области, и результаты, получаемые при совместном изучении интенсивностей и частот поглощения, вероятно, являются главным источником надежды на успех в этой работе. [c.564]

Если это так, то, зная функцию совместного распределения плотностей вероятности (ФСРПВ) Р (й), можно определить среднее значение любой функции турбулентных нолей / (Й) как интеграл вида [c.193]

При низкой интенсивности флуоресценции или, другими словами, при малом числе фотонов, даже если все остальные па-ра.метры системы являются устойчивыми и наше наблюдение точно синхронизовано с импульсами флуоресценции, мы заметим колебание не только от импульса к импульсу, но и в пределах одного и того же импульса (вследствие статистики фотонов, см. разд. 7.4.1). Это случайный процесс, где каждая выборочная функция множества есть случайная функция времени (рис. 7.2,6). Для того чтобы описать данный случайный процесс, мы должны рассмотреть более чем одну случайную переменную и точно определить, насколько различные случайные переменные (т. е. амплитуды в различное время /) связаны друг с другом. Это означает, что вероятностное описание процесса такого вида дает точное определение не только функции плотности марпшального распределения вероятности для каждой переменной, но и функции плотности совместного распределения вероятности двух или более переменных. [c.454]

Если сила Р ф О или, что эквивалентно, ю Ф щ, маятник, очевидно, будет иметь большую тенденцию к повороту в сторону, соответствующую направлению силы. Следовательно, плотность вероятности ш (ф, /) не будет симметричной. Как в том, так и в другом случае значащим параметром является, по крайней мере в установившемся состоянии (т. е. при схз), угол (или ошибка по фазе) ф по модулю 2я, так как число выполненных оборотов маятника не оказывает влияния на состояние системы в данный момент. Действительно, хотя полное статистическое описание системы дает двумерная функция ш (ф, /)> ясно, что распределение установившегося значения ф по модулю 2п и частота, или среднее время между полными оборотами, совместно дают более простое и почти полное представление. Эти параметры будут определены в 4.3 и 4.4, но сперва необходимо вывести некоторые основные соотношения для плотности вероятности непрерывного марковского процесса, чему и будет посвящен следующий параграф. В результате будет выведено уравнение в частных производных для ш (ф, /), решение которого позволит найти искомые количественные соотношения. [c.109]

Проблема замкнутого описания случайных процессов, происхо дящих в реагирующей турбулентной среде, по-видимому, может быть решена без привлечения дополнительных гипотез, лишь в рамках функционального метода, примененного первоначально к задачам статистической гидрОхмеханики, а позднее использованного для описания химических реакций в турбулентных потоках. Суть функционального подхода заключается в описании исследуемого случайного поля (поля скорости потока, температуры, концентраций реагентов) единственным математическим объектом — его характеристическим функционалом, содеря ащим полную информацию о статистическом поведении случайного ноля и позволяющим определять его любые статистические характеристики. При изучении нескольких статистически связанных полей их полное описание задает совместный характеристический функционал, через который могут быть записаны все их совместные моменты и функции плотности распределения вероятности. [c.204]

Сходство уравнений может показаться парадоксальным. Уравнение для монодисперсного продукта имеет, в сущности, весьма прозрачный смысл. Кинетическая функция Юо (х) монодисперсного продукта совпадает с кинетической функцией отдельной частицы, и вполне естественно, что средняя доля нерастворившегося компонента в монодиснерсном продукте определяется как матсхматическое ожидание ] оли нерастворившегося компонента в отдельной частице. В противоположность этому, кинетическая функция ю (х) полидисперсного продукта описывает совместное растворение всей совокупности разнообразных частиц и не совпадает с кинетическими функциями отдельных частиц. Между тем Ф (х) в уравнении (5.12) имеет смысл плотности распределения вероятностей безразмерного времени пребывания отдельной частицы. Определение доли нерастворившегося компонента как математического ожидания кинетической функции полидисперсного продукта с использованием вероятностной характеристики, относящейся к отдельной частице, кажется на первый взгляд некорректным. Вместо времени преВыва-ния отдельной частицы следовало бы говорить о времени пребывания представительной совокупности частиц полидисперсного продукта. Однако здесь мы сталкиваемся с затруднением, связанным с неопределенностью понятия время пребывания представительной совокупности частиц . Любая совокупность частиц на выходе из каскада реакторов, которую мы склонны отобрать в качестве представительной пробы, будет состоять из частиц с самыми различными значениями времени пребывания. [c.128]

Оггределепие Яшах и соответствующей собственной функции является важной задачей, решение которой позволяет представить асплштотический характер поведения плотности распределения вероятности. Например, при совместном действли отбора и выборочных колебаний генных частот, приводящих, как известно (см. 5), рано ПЛН поздно к генетической однородности популяции, Яшах характеризует асимптотическую скорость достижения гомозиготности, а соответствующая собственная функцпя — асимптотическую плотность распределения частот аллелей среди еще сегрегирующих полиморфных популяций. [c.336]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология