Произведение групп

Предварительно введем понятие прямого произведения групп. Пусть имеются две группы [c.216]

Определите, какие группы порождаются следующими прямыми и полупрямыми произведениями групп 1) Сз х С, 2 [c.27]

Группа, описывающая многочастичную систему, должна быть произведением группы пространственной симметрии, к которой принадлежит каждая отдельная частица (для л эквивалент- [c.78]

Прежде чем мы перейдем к новым примерам, сделаем два замечания об использовании локальной симметрии и перестановочной симметрии. Во-первых, поскольку полная группа может быть построена как произведение группы локальной симметрии и группы перестановочной симметрии, эти две группы не могут иметь общих генераторов. Поэтому, если при определении соответствующих групп локальной симметрии и перестановочной симметрии известны генераторы одной из указанных подгрупп, это автоматически определяет другую подгруппу. Например, в случае бутадиена, обладающего точечной группой симметрии Сгл, имеются два генератора Сг и <зн- Группа ло- [c.283]

При этом необходимо отметить, что произведение группы параметров у 1 d з., 4 и еет размерность длины. [c.45]

Обозначив произведение группы постоянных k k2 буквой К, имеем [c.363]

Любую кристаллическую структуру можно описать при помощи одной из 230 пространственных групп [49]. Пространственная группа наряду с различными операциями симметрии обязательно включает трансляции (Пай, ПъЬ и ПсС) вдоль осей элементарной ячейки, которые переводят одну элементарную ячейку в другую. Можно легко показать, что любая пространственная группа есть произведение группы трансляций (образованной операциями трансляций) и некоторой другой группы, называемой факторгруппой (или группой элементарной ячейки). Факторгруппы всегда изоморфны одной из 32 точечных групп. (Последние определяют различные кристаллические классы.) Таким образом, характеры любой факторгруппы совпадают с характерами соответствующей точечной группы, хотя факторгруппа может содержать такие операции симметрии (плоскости скольжения и винтовые оси), которые не являются операциями точечной группы. [c.368]

Практически правая часть уравнения (2) обычно может быть выражена в виде произведений групп, и, таким образом, заменяя на где К — удельная поверхность, отнесенная к массе, а 6 — удельный вес измельчаемого материала, получаем [c.398]

В книге рассматривается обратная ситуация, в которой калибровочные поля, структурной группой которых служит полупрямое произведение группы трансляций Т (3) и группы вращений 80(3), привлечены для описания дефектов сплошной среды. Последовательное применение калибровочного подхода позволило авторам вывести лагранжиан для полей, описывающих дефекты сплошной среды. Полная система уравнений (являющихся в данном случае структурными уравнениями Картана) дала возможность совместно представить эволюцию напряжений в среде и динамику дефектов. Кроме того, в предложенном методе удается одновременно характе- [c.6]

С — т- кратное прямое произведение группы С, и ц — о-алгебра и мера прямого произведения измеримых пространств. Фиксируем конфигурацию ф(/ т+1) на Рт+1. Определим вероятностную меру P lф(Fто+l) на (Ж, 59), которая имеет следующую плотность относительно меры V [c.114]

Пример 3.1 (представления полупрямых произведений групп). Пусть X — группа, К — некоторая группа ее автоморфизмов к (X Ъ х к х) X). Напомним, что полупрямым произведением О = X К называется группа упорядоченных пар (х, к) с законом композиции (х, к) х, к ) = хк (х , кк ) (х, х Х к, к К). (Исходный пример полупрямого произведения X = с групповой операцией сложения векторов и К — 80 (2) — группа вращений вокруг 0. Тогда 8> 50 (2) [c.372]

Математическое дополнение. Группа пространственной симметрии атома водорода О (3) является прямым произведением группы ортогональных унимодулярных преобразона-ний трехмерного координатного пространства 80 (3) на группу инверсии пространства относительно начала координат С(, т. е. [c.82]

Группы перестановок для системы N тождеств, частиц обычно обозначают 5, . Если имеются две подсистемы из N1 н N2 тождеств, частиц (напр., в КНз подсистемы протонов и электронов), полной группой перестановок для всей системы будет группа 5 наз. прямым произведением групп и включаю1цая все парные комбинации операций С. м. для первой и для второй подсистем. [c.348]

При рассмотрении симметрии ядерной конфигурации и классификации колебательно-вращат. состояний молекулы важна перестановочно-инверсионная группа, включающая наряду с операциями перестановок тождеств, частиц также инверсию и все произведения перестановок и инверсии. Др. словами, перестановочно-инверсионная группа представляет прямое произведение групп 5д, и С . Порядок этой грушш, т. е. число содержащихся в ней элементов, м. б. очень большим. Так, для циклопропана при рассмотрении только лишь подсистемы ядер порядок перестановочно-инверсионной группы равен (порядок грушш С,., равный [c.348]

Группу симметрии многочастичной системы можно рассматривать как произведение групп индивидуальных частиц. Точный вид такого произведения зависит от того, используется ли в случае многочастичной системы приближение независимых частиц. Если оно используется (как это имеет место во всех рассматриваемых нами приложениях), то произведение групп индивидуальных частиц представляет собой просто их прямое произведение (см. приложение 2), на которое накладываю1хя ограничения перестановочной симметрии. В тех случаях, когда [c.133]

В предыдущем разделе для симметризации функций мы воспользовались подгруппой Сг точечной группы Сгл. Эта подгруппа является простейшей подгруппой группы Сгл, которая обменивает местами эквивалентные базисные функции п-элек-тронной системы бутадиена. Можно сказать, что группа Сг является группой перестановочной симметрии для этих функций. Заметим, что порядок группы перестановочной симметрии равен числу обмениваемых местами эквивалентных функций. Группа локальной симметрии определяется элементами симметрии, проходящими через рассматриваемую точку. Для п-электронной системы бутадиена тождественное преобразование и плоскость симметрии проходят через каждый атом. Таким образом, каждый атом имеет локальную симметрию С . Полная группа является произведением группы локальной симметрии и группы перестановочной симметрии. В других молекулах могут существовать различные положения, имеющие неодинаковые локальные и перестановочные симметрии. В зависимости от обстоятельств каждая из этих подгрупп может быть настолько мала, как группа Сь или настолько велика, как полная точечная группа симметрии молекулы. В любом случае каждая из них должна быть подгруппой полной группы (или совпадать с ней), а произведение каждой группы локальной симметрии и соответствующей перестановочной группы должно давать полную группу. Нередко перестановочную группу не удается выбрать однозначно, как это имеет место в случае бутадиена, где перестановка базисных функций может осуществляться операциями группы Сг либо С,-. [c.281]

Огромное значение симметрии для предсказания спектров кристаллов обсуждалось рядом автором [44, 54, 102], в частности Уинстоном и Халфордом [108]. Они рассматривают различные математические группы, составленные из операций симметрии кристалла. Пространственной группой является группа всех операций симметрии, включая трансляции паЛ, щ Ь, ПсС) вдоль осей элементарной ячейки. Набор этих трансляций сам образует группу, называемую группой трансляций. Показано, что пространственная группа является произведением группы трансляций и группы, называемой фактор-группой (которая представляет собой набор всех смежных классов группы трансляций). Фактор-группа изоморфна одной из 32 точечных групп, возможных в кристаллах, но в дополнение к чисто точечным операциям может включать и операции, соответствующие винтовым осям или плоскостям скольжения. Фактор-группу часто называют группой элементарной ячейки. Элементарная ячейка определяется как наименьший объем кристалла, который даст всю решетку кристалла, когда на него подействуют элементы группы трансляций (этот объем меньше, чем элементарная кристаллографическая ячейка, в том случае, когда последняя центрирована). [c.583]

В случае нежестких молекул хорошо известно [119], что симметрия задачи не может быть описана правильно, если использовать точечную группу симметрии идеализированной жесткой структуры. Для корректного описания необходимо добавить элементы симметрии, реализующиеся вследствие внутримолекулярного движения. Поэтому при подсчете числа изомеров нежестких молекул с помощью теоремы Пойа нужно использовать группу перестановок, учитывающую не только операции соответствующей точечной группы симметрии, но и каждую перестановку, обусловленную внутренними степенями свободы [571]. Эти дополнительные перестановки понимаются, согласно Лонге-Хиггин-су [119], как перестановки, реализуемые без перехода через непреодолимые (при данных условиях) барьеры. Для перечисления нежестких соединений было предложено [571] расширение теоремы Пойа на основе метода обобщенного сплетающего произведения. Группа обобщенного сплетаю- [c.144]

В которой ИСХОДНОЙ группой является полупрямое произведение группы вращений 50(3)о и группы трансляций Т(3)о, т. е. Оо = 80(3)о1> Т(3)о. Группа Оо не является полупростой и не имеет правильного матричного представления на пространстве интегрируемых смещений х- Следовательно, нам требуется нетривиальное расширение теории Янга — Миллса. Важно также отметить, что действие группы 80(3) о совершенно отличается от действия группы Т(3)о элементы 50(3) о действуют на х слева мультипликативно, в то время как элементы Т(3)о действуют аддитивно [c.53]

С любым решением факгорсисгемы уравнения системы Е совместны и, тем самым, имеют решения. Такие решения называются инвариантно-групповыми решениями, произведенными группой Н или, коротко, Н-решения-ми. Ясно, что это будут не все решения системы (1), они образуют лишь определенный класс решений, характеризуемый тем, что в нем искомые функции связаны инвариантпы.чш соотношениями (16). [c.80]

Магнитная структура, характеризующаяся данным волновым вектором к, может быть записана как суперпозиций псевдовекторных базисных функций некоторого НП d группы волнового вектора исходной (парамагнитной) фазы кристалла. Здесь, однако, уместно сделать замечание, что группа симметрии парамагнитного кристалла (так назьтаемая парамагнитная группа С Г) не вполне тождественна пространственной группе кристалла С, а представляет собой прямое произведение группы С на группу обращения спина R [c.42]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология