Частично инвариантные решения

Исторически становление теоретической газовой динамики послужило не только пониманию и описанию общей структуры происходящих в сжимаемых средах физических процессов, 1 азовая лина,мика оказала также заметное влияние на развитие математики, главным образом ее части, связанной с теорией дифференциальных уравнений. Она вдохнула жизнь в целые математические направления — теорию разрывных решений дифференциальных уравнений, теорию уравнений смешанного типа, теорию квазиконформных отображений. Она стимулировала развитие теории сингулярных интегральных уравнений, группового анализа дифференциальных уравнений, функционально-аналитических и топологических методов исследования краевых задач. Она обогатила математику рядом важных понятий, таких как вырождение типа дифференциальных уравнений, сильный и слабый разрывы в решениях, градиентная катастрофа, сильная и слабая нелинейности, инвариантное и частично инвариантное решения, автомодельное решение и т. п. [c.10]

Очевидно, что упомянутые выше и многие другие случаи подмодели-рования сводятся к выделению и описанию тех или иных классов точных решений уравнений газовой динамики. При этом естественна постановка вопроса о наиболее широком раскрытии возможностей, предоставляемых для этой цели самой исходной моделью. Здесь решающим является ее фуп-повое свойство, возможности которого иллюстрируются многочисленными примерами классов инвариантных и частично инвариантных решений. [c.83]

Частично инвариантные решения. Теория группового анализа позволяет выделять и изучать в качестве упрощенных моделей не только классы инвариантных решений. Одно из возможных обобщений понятий инвариантного решения достигается за счет отказа от полной инвариантности и использования частичной инвариантности многообразия относительно группы преобразований основного пространства. Это приводит к понятию и алгоритму отыскания так называемых частично инвариантных решений. [c.116]

Нетривиальными могут быть лишь частично инвариантные Я -решения ранга п, где О < . < 4. [c.117]

Число существенно различных классов частично инвариантных решений значительно больше, чем инвариаигных, так как они зависят пе только от выбора подфуппы Я основной группы, но также и от выбора лишних [c.116]

Такие решения возможны либо когда базис инвариантов группы Я (Определение 8.2) не удовлетворяет условию (12.3), либо когда ищутся решения ранга большего, чем число к в (12.1). Применительно к уравнениям газовой динамики это означает, что получается меньше пяти независимых инвариантных соотношений вида (8.16). Поэтому инвариантов нехватает для выражения из этих соотношений всех пяти искомых величин [и. V, ш, р, р) - среди них есть шшиие . Последние должны считаться функциями от всех независи.мых переменных t. х). Требование совместности соотношений (8.16) с уравнениями газовой динамики в этом случае приводит к объединению фактор-системы (связывающей только инварианты группы Я) с дополнительной системой уравнений для лишних функций. Число независимых переменных — инвариантов в факторсистеме и здесь называется рангом подмодели (и также рангом класса искомых решений). В результате анализа совместности этой объединенной системы и получаются искомые решения. Общая теория частично инвариаигных решений изложена в [5]. [c.116]

Самый трудоемкий этап в решении уравнений Рутана заключается в вычислении двухэлектронных интегралов, входящих в матричные элементы Полуэмпирические схемы строятся с таким расчетом, чтобы частично или полностью избавиться от этой утомительной процедуры. Но простое пренебрежение такого рода интегралами приводит к сильному изменению структуры уравнений Рутана молекулярные волновые функции 3 и орбитальные энергии становятся неинвариантными по отношению к ортогональным преобразованиям базиса. Помимо этого нарушается и так называемая гибридизационная инвариантность, когда, например, замена 2з, 2р , 2ру и 2рг -орбиталей атома углерода на гибридные 5р -орбитали даст иные решения уравнений. Идея методов нулевого дифференциального перекрывания (НДП) и, в частности, метода полного пренебрежения дифференциальным перекрыванием (ППДП) заключается в подборе таких приближений, которые оставляют уравнения Рутана инвариантными по отношению к ортогональным преобразованиям базиса. [c.297]

Очень существенным обстоятельством, помогающим проанализировать структуру изоэнергетических поверхностей, является то, что периодичность расположения атомов в кристаллической решетке приводит к периодической зависимости энергии от квазиимпульса (см. формулу (1.20) введения). Элементы симметрии кристалла вообще накладывают отпечаток на симметрию функций Вр р). При этом надо учесть, что закон дисперсии может обладать и обладает специфическими элементами симметрии. Так, инвариантность уравнений квантовой механики относительно изменения знака времени требует, чтобы Ез(—р) = = Ез (р). Если энергетические полосы (или зоны) не перекрываются (см. введение), то это условие выполняется при 5 = 5 и означает, что изоэнергетические поверхности обладают центром инверсии. Энергетические полосы (или зоны) могут частично перекрываться (т. е. т1п85 <тахе.,<тахе5 ). однако их индивидуальность, естественно, сохраняется, так как каждой зоне соответствует свой закон дисперсии. Формально перекрытие энергетических зон или полос, конечно, означает вырождение — различным состояниям соответствует одна и та же энергия. Но в общем случае это обстоятельство не приводит ни к каким особенностям в спектре, так как одним и тем же энергиям соответствуют различные квазиимпульсы. На геометрическом языке, удобном при рассмотрении структуры энергетического спектра электронов, это означает, что в общем случае перекрытия соответствующие изоэнергетические поверхности ез р) = е и е р) = е) находятся в различных областях р-пространства. Важным и весьма интересным случаем вырождения является случай пересечения изоэнергетических поверхностей, т. е. ситуация, когда в некоторых точках импульсного пространства уравнение Ев р) = е имеет решение при нескольких номерах зоны 5. В дальнейшем только такой случай и будет называться вырожденным, и его мы проанализируем несколько ниже. [c.28]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология