Классы инвариантных решений

Классы инвариантных решений [c.108]

Классы инвариантных решений 111 [c.111]

Исторически в исследованиях наибольшее распространение получил метод физического моделирования, согласно которому связи между физическими величинами устанавливаются только в пределах данного класса явлений. В таком случае основные уравнения, опис ыв щие процесс, преобразуются в группу критериев подобия, которые являются инвариантными к масштабам реактора. Это позволяет результаты исследований на модели переносить (масштабировать) на промышленный аппарат. Поскольку химический процесс характеризуется одновременно р личными классами физических и химических явлений, то при физическом моделировании его с изменением масштаба физической модели реактора инвариантности критериев подобия достичь не удается. Стремление сохранить при изменении масштабов постоянство одних критериев приводит к изменению других и в конечном счете к изменению соотношения отдельных стадий процесса. Следовательно, перенос результатов исследования с модели реактора на его промышленные размеры становится невозможным. При математическом моделировании указанное ограничение автоматически снимается, так как необходимости в переходе от основных уравнений к форме критериальной зависимости здесь нет, нужно иметь лишь описание химического процесса, инвариантного к масштабам реактора. При этом количественные связи, характеризующие процесс, отыскиваются в форме ряда чисел, получаемых как результат численного решения на электронных вычислительных машинах. [c.13]

Классы инвариантных решений 113 [c.113]

Частично инвариантные решения. Теория группового анализа позволяет выделять и изучать в качестве упрощенных моделей не только классы инвариантных решений. Одно из возможных обобщений понятий инвариантного решения достигается за счет отказа от полной инвариантности и использования частичной инвариантности многообразия относительно группы преобразований основного пространства. Это приводит к понятию и алгоритму отыскания так называемых частично инвариантных решений. [c.116]

Инвариантно-групповые решения. Для построения класса решений системы (1) берется любая подгруппа Н С G, находится ее базис инвариантов (Ji,. .., J,) и к системе (1) добавляются соотношения вида [c.80]

Группа Галилея. В данном параграфе описывается групповое свойство инвариантности уравнений газовой динамики его применение к построению классов частных решений излагается в 12. Исходные уравнения газовой динамики здесь удобно взять в следующем виде [c.74]

Очевидно, что упомянутые выше и многие другие случаи подмодели-рования сводятся к выделению и описанию тех или иных классов точных решений уравнений газовой динамики. При этом естественна постановка вопроса о наиболее широком раскрытии возможностей, предоставляемых для этой цели самой исходной моделью. Здесь решающим является ее фуп-повое свойство, возможности которого иллюстрируются многочисленными примерами классов инвариантных и частично инвариантных решений. [c.83]

Распознавание образов включает обнаружение, восприятие и распознавание закономерностей (инвариантных свойств) среди серий результатов измерений, характеризующих объекты или события. Как правило, задача распознавания сводится к отнесению той или иной выборки экспериментальных результатов к надлежащему классу. Такой общий подход нашел применение при решении многих проблем в самых разнообразных областях. [c.9]

Эти группы можно использовать как для преобразований одних решений в другие (см. 8), гак и для отыскания классов инвариантных решений (см. 12) системы (23). Например, фуппа переносов по х порождает (в случае и = 1) течение, аналогичное рассмотренному в 11 течению от источника. Поэтому нетривиальным может быть только решение, инвариантное относительно группы (54). В соответствии с определением 13.2 эта группа порождает коническое автомодельное решение вида (32), которое является простой волной. Тем самым при любом и у систе.мы (23) существуют решения, которые будут называться автомодельньши простыми волнами. Эти решения и исследуются ниже. [c.234]

Прежде чем переходить к их изложению, опишем класс автомодельных решений в переменных годографа. Существование этого класса определяется групповыми свойствами уравнения Трикоми, его инвариантностью относительно преобразования подобия. Следуя [32], решения уравнения Трикоми для функции тока ф и у) будем искать в виде [c.61]

В предлагаемом издании подвергнуты переработке разделы, относящиеся к понятию гиперболичности возникающих систем дифферециальных уравнений, интегральным законам сохранения для автомодельных движений, описанию примеров осесимметричных и околозвуковых течений газа. В 18 добавлена задача о безударном сжатии. Заново написаны 8, где дано общее представление о свойстве симметрии УГД и принцип его использования для построения классов точных решений (подмоделей) и 12, где приведен полный список всех инвариантных подмоделей с тремя независимыми переменными (ранга 3), получившими свои названия, а также примеры подмоделей рангов 2, 1,0. [c.8]

Надлежащее обобщение ряда фактов, аналогичных упомянутому выше, привело к созданию теории группового анализа дифференциальных уравнений, основы которой были заложены более 100 лет тому назад норвежским математиком Софусом Ли. Эта весьма общая и, в известном смысле, законченная теория дает алгоритмы выявления в полном объеме свойства инвариантности любых дифференциальных уравнений и использование этого свойства для отыскания классов частных решений путем упрощения исходных уравнений -за счет понижения размерности (уменьшения числа независимых переменных), [c.74]

Подмодели ранга три. Эти помодели порождаются однопараметрическими подгруппами. Для группы в оптимальной системе ее подгрупп (см. Приложение) содержится всего 13 представителей классов подгрупп Н = Они порождают 13 различных подмоделей, описывающих все неэквивалентные классы инвариантных движений газа ранга три. В нижеследующем перечне этим классам движений присвоены названия (не всегда традиционные) и указаны представления соответствующих решений вида [5]. При этом, наряду с обычными декартовыми координатами V) = Ь, х, у, г, и, у, гс) используются также цилиндрические координаты С) = I, х. г, в, Пс, Ус, у>с), вводимые следующими соотношениями [c.110]

Такие решения возможны либо когда базис инвариантов группы Я (Определение 8.2) не удовлетворяет условию (12.3), либо когда ищутся решения ранга большего, чем число к в (12.1). Применительно к уравнениям газовой динамики это означает, что получается меньше пяти независимых инвариантных соотношений вида (8.16). Поэтому инвариантов нехватает для выражения из этих соотношений всех пяти искомых величин [и. V, ш, р, р) - среди них есть шшиие . Последние должны считаться функциями от всех независи.мых переменных t. х). Требование совместности соотношений (8.16) с уравнениями газовой динамики в этом случае приводит к объединению фактор-системы (связывающей только инварианты группы Я) с дополнительной системой уравнений для лишних функций. Число независимых переменных — инвариантов в факторсистеме и здесь называется рангом подмодели (и также рангом класса искомых решений). В результате анализа совместности этой объединенной системы и получаются искомые решения. Общая теория частично инвариаигных решений изложена в [5]. [c.116]

Число существенно различных классов частично инвариантных решений значительно больше, чем инвариаигных, так как они зависят пе только от выбора подфуппы Я основной группы, но также и от выбора лишних [c.116]

Дело в том, что, как правило, эти частные решения представляют собой асимптотики широкого класса других решений, отвечающих другим начальным условиям. В этом случае значение точных частных решений возрастает в сильнейшей степени. И эта часть вопроса отражена в заглавии книги, в словах промежуточные асимптотики . Значение решений как асимптотик зависит от их устойчивости. Вопросы устойчивости и поведения решений при малых возмущениях также рассматриваются в этой книге в частности, излагается предложенный в совместной работе Г. И. Баренблатта и моей простой метод исследования устойчивости инвариантных решений. [c.8]

Итак, существование и единственность решения нелинейной задачи на собственные значения доказаны. Используя методы, развитые в работе А. Н. Колмогорова, И. Г. Петровского и И. С. Пискунова [57], Я.И. Капель [50] показал, что решение представляет собой асимптотику при t- oo решения некоторого естественным образом определенного класса начальных задач с условиями переходного типа. Заметим, что как в задаче о распространении гена, так и в задаче теории распространения пламени, непосредственное построение решения типа бегущей волны u = U l — Я1Э + с) о пределяет это решение с точностью до константы с. Эта константа может быть найдена только сращиванием инвариантного решения с неинвариантным решением исходной задачи. При этом очевидно, что какое бы промежуточное состояние системы l/(g, О), ), п(1, ) мы ни приняли за начальное, значение константы с не изменится. В этом смысле константа с является интегралом уравнений рассматриваемых задач (ср. [159]). [c.111]

Выполненный выше анализ продемонстрировал, что инвариантные решения — типа бегущей волны и автомодельные — представляют собой асимптотику решений определенного класса невырожденных задач с неинвариантными решениями. [c.139]

Решение. Приведенные в табл. VII.9 концентрации y . и г-, ,р равновесных фаз насыщенного парового ннтания образуют инвариантную зону ОПКнач отвечающую первому классу фракционировки. [c.361]

С любым решением факгорсисгемы уравнения системы Е совместны и, тем самым, имеют решения. Такие решения называются инвариантно-групповыми решениями, произведенными группой Н или, коротко, Н-решения-ми. Ясно, что это будут не все решения системы (1), они образуют лишь определенный класс решений, характеризуемый тем, что в нем искомые функции связаны инвариантпы.чш соотношениями (16). [c.80]

Простейшим примером является подмодель постоянного решения, когда все искомые и, р, р суть константы она порождается подгруппой переносов по всем независимым переменным х. у, г. По аналогии с этим решения инвариантных подмоделей ранга нуль называются простыми решениями. Для политропного газа массив классов подалгебр Я С состоит из 290 представителей и имеется много нетривиальных простых Я -решений, причем все они найдены. В качестве примера не изобарических решений здесь выбран следующий. [c.115]

Инвариантными характеристиками всех таких фазовых переходов является группа 7 и число компонент параметра порядка. Будем говорить, что все фазовые переходы, описываемые одним потенциалом, т.е. имеющие одну /-группу, образуют универсальный класс. В работе [16] перечислены все /-группы, описывающие фазовые переходы, симметрия исходной фазы которых может описываться одной из 188 пространственных групп (для феррозластиков). Для каждого фазового перехода в таблицах [16] указана группа /, которая описывает этот переход. Из таблиц [16] видно, что большинство перечисленных фазовых переходов относится к универсальным классам с группами 1= С , С4ц, 7, О, О, поэтому знание всех НП, входящих в каждый из указанных универсальных классов, представляет практический интерес. Такая информация позволяет, зная релевантное НП, записать для данного фазового перехода явный вид ЦРБИ, типы решений уравнений состояний (типы коэффициентов смешивания) и затем вычислить соответствующие им группы симметрии низкосиммет жчных фаз. [c.103]

Допустимость использования упрощенных процедур здесь оправдана инвариантностью характеристик переноса загрязнений в зоне аэрации по отношению к миграционному процессу в нижерасположенном водоносном горизонте. Исключение составляет малоинтересный для нас класс задач, в которых должно учитываться изменение уровня сравнительно неглубоко залегающих подземных вод, приводящее к заметной трансформации режима влагопереноса. Если же такой обратной связи нет, то выходная концентрационная функция являющаяся решением задачи субвертикального соле-влаго-переноса в ненасыщенной зоне, используется для независимого расчета величины массового потока (f через верхнюю границу (кровлю) водоносного горизонта [c.594]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология