Группа уравнения Шредингера

Обе книги могут быть полезными для преподавания предметов Математика и Физика , так как выделяют те разделы этих предметов, которые важны для химиков. Так, кроме дифференциального и интегрального исчисления химику, активно использующему физические методы в своей работе, необходимы разделы линейной алгебры, теории групп и интегральных преобразований. Для решения обратных задач методов особое значение имеют вычислительные методы. С точки зрения преподавания физики важно уделить внимание вращательному движению, магнитным явлениям и, конечно, квантовой механике, ее приближенным методам решения уравнения Шредингера, особенно методу теории возмущений. Некоторые задачи физического практикума также могут ориентироваться на дальнейшее использование в практике физических методов исследования в химии. [c.264]

Операторы, относительно которых временное уравнение Шредингера для заданной квантовой системы является инвариантным, образуют группу А, В,. .. Действительно, если АФ и ВФ -решения временного уравнения, то в силу инвариантности решением будет и В(АФ), т.е. оператор С = ВА также принадлежит группе С. Тождественная операция, очевидно, принадлежит С и является ее единицей, а вот что касается обратных операторов, то здесь положение хитрее по крайней мере, если они существуют, то также принадлежат С. (Останавливаться на доказательстве этого утверждения не будем). Группа О, образованная операторами, коммутирующими с оператором Гамильтона, называется группой уравнения Шредингера. Рассмотрим множество собственных функций X, оператора А е О. Это множество можно разбить на подмножества тех функций, которые принадлежат одному и тому же собственному значению оператора Л [c.195]

Для гармонического осциллятора группой уравнения Шредингера служит множество двух элементов единичного и инверсии I, при которой х переходит в -х. Какова структура матриц [c.197]

Действительно, как было показано акад. В. А. Фоком в 1935 г., полная группа симметрии атома Н, объясняющая оба типа вырождения (по пг и по /), есть группа вращении четырехмерного шара 0(4). Для того чтобы связать теорию атома водорода с симметрией четырехмерного щара, Фок записал уравнение Шредингера не в обычном виде, а в особых, введенных им координатах, зависящих от компонент импульса электрона, причем число таких координат (размерность пространства Фока) равно четырем. [c.82]

Электронно-колебательные уровни энергии.Расщепление потенциальной поверхности в вырожденном электронном состоянии носит название статического эффекта Яна—Теллера. Расщепление колебательных уровней, вызванное этим эффектом, называется динамическим эффектом —Теллера. Чтобы определить эти электронно-колебательные уровни энергии, необходимо решить уравнение Шредингера с потенциальной функцией типа, изображенного на рис. 79. Это было выполнено рядом авторов (см. [III], стр. 49 и сл.). Было установлено, что происходит расщепление на столько электронно-колебательных уровней, сколько типов симметрии имеется в группах (133) и в аналогичных группах для других случаев. Часто делается упрощающее предположение, что можно пренебречь максимумами между минимумами, расположенными [c.138]

Применения теории групп в квантовой химии. С помощью теории групп, не рещая стационарного уравнения Шредингера, на основе знания свойств симметрии системы можно сделать определенные выводы о свойствах волновых функций и энергетических уровней системы. [c.31]

Теорема. Преобразования симметрии уравнения Шредингера образуют группу. [c.129]

Доказательство. Так как уравнение Шредингера инвариантно относительно преобразования симметрии, то достаточно показать, что преобразования симметрии гамильтониана всегда образуют группу. [c.129]

Каждой совокупности разделяющихся степеней свободы, В частности, если степени свободы молекулы разделяются на две группы, 1 и 2, то уравнение Шредингера показывает, что энергия молекулы в любом заданном состоянии равна 8 ,ot = е ,з + e ,Y. где представляют собой энергии, соответствующие группам 1 и 2 соответственно, и каждому состоянию из группы 1 (или 2) соответствуют состояния системы, отвечающие каждому состоянию из группы 2 (или 1). Следовательно, [c.443]

После разделения переменных уравнения Шредингера, соответствующие большей части групп степеней свободы, становятся тождественными уравнениям Шредингера для простых систем, квантовомеханическая структура которых известна. Так как статистические суммы для этих простых систем легко вычисляются, то статистическую сумму для молекулы часто можно найти как произведение известных статистических сумм. Ниже приводятся отнесенные к одной степени свободы значения статистических сумм для этих простых систем. [c.443]

Пусть у группы О есть одномерное представление Г, и комплексно-сопряженное ему представление Г,, которые не совпадают. Пусть группа О есть группа стационарного уравнения Шредингера. Показать, что если у уравнения Шредингера в этом [c.211]

Оператор/4 при действии операций симметрии преобразуется тем или иным способом так, оператор Гамильтона остается без изменений (ведь рассматривается группа операций, относительно которых уравнение Шредингера инвариантно), так же как не меняются по отдельности операторы кинетической и потенциальной энергии. Следовательно, операторы Я, ТиУ полносимметричны относительно операций группы симметрии. В то же время оператор дипольного момента таковым не [c.224]

В рамках электронного адиабатического приближения расчет ППЭ сводится к решению квантовой задачи на собственные значения уравнения Шредингера. Однако точное решение такой задачи наталкивается на большие вычислительные трудности. Поэтому для получения информации о ППЭ наряду с теоретическими подходами используют экспериментальные данные. В зависимости от источников используемой информации методы определения ППЭ разделяют на три группы неэмпирические, полуэмпирические и эмпирические. Остановимся на каждой из этих групп. [c.89]

Итак, существуют три мира явлений. Мир одних, провозглашенный в физике Ньютоном в 1687 г., качественно неизменен. Мир других, провозглашенный в термодинамике Клаузиусом в 1850 г., деструктивен. И, наконец, мир третьих, провозглашенный в биологии Дарвиным в 1859 г. и в естествознании Пригожиным в 1980 г., созидателен и склонен к эволюционному саморазвитию. Три мира - три научных мировоззрения - три языка, на которых человечество одновременно ведет диалог с природой. Явления первой и второй групп, как уже отмечалось, подчиняются принципиально разным законам природы (детерминистическим и статистическим соответственно), совокупности которых образуют их научные фундаменты. Представления, выработанные для описания явлений одной группы, не могут быть использованы для описания другой. Так, термодинамические функции состояния (температура, энтропия, свободная энергия и др.) теряют смысл для объектов и явлений, изучаемых классической физикой и квантовой механикой. В то же время такие физические понятия, как координаты, импульсы и траектории движения микрочастиц, волновая функция, уравнение Шредингера и др., неприемлемы для равновесной термодинамики. Явления третьей, промежуточной, группы не потребовали для своего описания раскрытия новых фундаментальных законов природы. Новизна рождающихся в результате статистико-детерминистических процессов структурных образований не в особых, ранее неизвестных свойствах микроскопических элементов, а в макроскопических организациях этих элементов с упорядоченной системой связей. Качественные изменения, происходящие при спонтанном переходе системы от хаоса к порядку, возникают благодаря кооперативному эффекту, проявляющемуся в процессе реализации возможностей микроскопических [c.23]

Уравнение Шредингера (19,1) допускает точные решения только в некоторых простых случаях (см. гл. IV и VI), в остальных случаях прибегают к приближенным методам решения, которые мы рассмотрим в гл. VII. Однако ряд важных свойств квантовых систем, зависящих от их симметрии, может быть найден без непосредственного решения уравнения (19,1). Эти свойства легко установить путем использования раздела математики, носящего название теории групп (см. мат. дополн. Д). [c.85]

Случайное вырождение в кулоновском поле является следствием дополнительной симметрии гамильтониана кроме сферической. Такая симметрия допускает разделение переменных в уравнении Шредингера как в сферической, так и в параболической системах координат. Уравнение Шредингера с кулоновским потенциалом инвариантно относительно группы четырехмерных вращений 0(4). Всякое отклонение от кулоновского потенциала снимает случайное вырождение. Например, если в (38,8) за- [c.179]

Существует ряд важных заключений общего характера, которые могут быть выведены с помощью применения теории точечных групп к анализу свойств молекулы. Один из выводов касается симметрии волновой функции являющейся решением уравнения Шредингера [c.10]

Для приложения аппарата теории представлений групп к выводу правил отбора заметим, что в качестве базиса представления можно выбрать волновые функции системы в некотором стационарном состоянии. Действительно, уравнение Шредингера для молекулы должно оставаться неизменным при преобразованиях симметрии молекулы. Поэтому и собственные волновые [c.203]

Для того, чтобы теоретически установить правила отбора, необходимо рассмотреть интеграл, содержащий две волновые функции Ч и 2, описывающие состояния, между которыми происходит переход. Точ ные волновые функции, т. е. точные решения уравнения Шредингера для молекулярных систем, неизвестны. И вот тут-то на помощь приходит теория симметрии. Она позволяет только по принадлежности этих функций (а также других величин, имеющихся в рассматриваемом интеграле) к тому или иному НП группы симметрии системы — т. е. без знания аналитического или табличного вида функций Ч " и Ф г — определить, будет ли интересующий нас интеграл равен нулю или нет. А так как от этого интеграла зависит вероятность соответствующего перехода, то, определив условия, при которых он обращается в нуль, мы тем самым устанавливаем и правила отбора. [c.65]

Таким образом, по остальным квантовым числам имеется вырождение. С чем же оно связано В гл. II мы уже говорили о том, что кратность вырождения Энергетических уровней зависит от симметрии системы. Группа симметрии атома водорода — это непре рывная группа 0(3), т. е. уравнение Шредингера а определяемая им структура энергетических уровней остаются неизменными — или, как говорят, инвариантными— относительно любых вращений в обычном трехмерном пространстве. Иными словами, группа симметрии атома водорода совпадает с группой си>1-Метрии шара — как его ни поверни, он все время будет совмещаться сам с собой. Вот именно эта шарообразность атома водорода и приводит к тому, что энергия не зависит от магнитного квантового числа т. Это было установлено в первые же годы существования квантовой механики (1925—1926 гг.). [c.106]

Поведение волновых функций при выполнении операций группы симметрии определяется только функцией (ф) [см. уравнение (П1,5-10)]. Как радиальная функция / (г), так и функция 0 (9) инвариантны по отношению к этим операциям. Решение уравнения Шредингера дает [c.101]

Гибридизованные функции. В задачарс применения теории групп в квантовой химии часто применяются гибридизованные функции, полученные на основании постулатов Полинга [1, 2]. Эти постулаты, применяемые вместо решения уравнения Шредингера для определения расположения химических связей, формулируются следующим образом [c.34]

Вырождение уровней с разным / ( случайное вырождение ) в трехмерном гармоническом осцилляторе связано с тем, чго уравнение Шредингера (37,2) допускает разделение переменных как в прямоугольной, так и в сферической системе координат, следовательно, оно инвариантно относительно группы преобразований, более широкой, нежели группа трехмерных вращений. В этом легко убедиться, если записагь уравнение Шредингера с потенциалом (37,15) в представлении чисел заполнения [c.175]

Рассмотрим систему в виде подсистемы магнитных ядер и подсистемы ПМЦ, причем химический тип ядер и частиц в первом приближении не учитываем. Выделим в многокомпонентной системе две взаимодействующие подсистемы. Первая подсистема включает неспаренные электроны парамагнитных центров раз.личной структуры. Вторая подсистема включает множество магнитных ядер всех без исключения компонентов смеси. Вторая подсистема делится на ряд групп ядер, различающихся между собой величиной химического сдвига резонансных частот. В дальнейшем мы исследуем взаимодействия подсистемы неспаренных электронов с каждой из групп магнитных ядер ядерной подсистемы. Очевидно, что точное решение задачи заключается в решении системы уравнений Шредингера для соответствующих спиновых волновых функций, что представляет слолсную задачу в теории магнетизма [43]. Для многокомпонентных систем такого точного решения, как известно, не существует [44]. Поэтому мы ограничимся феноменологическим макроскопическим подходом, исклю- [c.9]

Поскольку выше шла речь о стационарных состояниях молекул, т. е. таких состояниях, когда все физические величины (ядерная конфигурация, энергия образования, диполь-ный момент и т. д.) не зависят от времени, теоретический анализ поставленных вопросов может быть проведен на основе уравнения Шредингера, не содержащего времени. Далее, поскольку поставленные вопросы строения молекул могут быть решены независимо от срав-нительно небольших изменений в их состояниях, происходящих вследствие изменений в колебательном движении атомов и вращении молекул как целого и изменений в состоянии относительного вращательного движения или крутильных колебаниях отдельных атомных групп, то достаточно рассмотреть уравнение Шредингера, определяющее электронные состояния молекул, относящееся к определенной фиксированной ядерной кон фигурации. [c.28]

Во-первых, чтобы провести постулаты 2а и За в соответствии с уравнением Шредингера для химической частицы, пришлось бы сделать в операторе Гамильтона Ядля всей частицы пренебрежения рядом членов, относящихся к взаимодействию ядер и электронов между собой и друг с другом, входящих в разные структурные элементы, в пределах которых считаются локализованными определенные группы валентных электронов. Эти пренебрежения никак не могут рассматриваться как обоснованные какими-либо квантово-механическими соображениями, как последовательные в рамках какого-либо корректно проводимого варианта одноэлектронного приближения. [c.83]

Больщая группа теоретических работ в этой области основана на представлениях квантовой механики и теории строения неорганических соединений. Так как решение уравнения Шредингера для многоатомных молекул в настоящее время невозможно, используются приближенные методы расчета, базирующиеся на теории молекулярных орбит и методе валентных состояний. Здесь надо упомянуть серию работ Уолша (метод МО) [75] и работы Маркина и Дяткиной (метод ВС) [76—78]. Согласно Уолшу, например, молекулы гидридов ЭНг с числом валентных электронов, равным пяти, восьми, должны 6rfrb нелинейными, что оправдывается для ВНг, КНг, РНг- [c.32]

Уравнение Шредингера можно точно решить лишь в нескольких простых случаях большей частью мы принуждены ограничиться приближенными методами решения, обсуждавшимися в гл. VII. Однако большая группа искомых результатов зависит только от свойств симметрии рассматриваемой системы. Для получения строгих результатов такого типа можно применять определенный раздел математики, Н0СЯШ.ИЙ название теории групп. Элементарное изложение этой теории, которое мы приводим здесь, ни в коем случае не претендует на полноту многие важные теоремы приводятся здесь без доказательств (см. список обш,ей литературы). [c.229]

В определении нормальных координат существенную роль играет симметрия системы. Действительно, так как уравнение (IV. 1) есть уравнение Шредингера с гамильтонианом, обладающим той же симметрией, что и пространственная симметрия системы, то его собственные функции и значения (а вслед за ними и Ыа) должны классифищфоваться по неприводимым представлениям группы симметрии задачи (см. раздел IX. 4). Иначе говоря, неприводимые представления группы симметрии соединения определяют типы симметрии возможных нормальных колебаний, а вместе с ними — форму колебаний, кратность вырождения частот и др. Оказывается, что, используя методы теории симметрии, можно сравнительно просто заранее определить эти харак-теристики [27, 132]. [c.95]

Зная геометрические параметры вращающейся группы и остова молекулы и потенциальную функцию /(ф), можно решить квантовомехапическую задачу о внутреннем вращении. После подстановки потенциальной функции (14.4) в уравнение Шредингера для одномерного ротатора задача сводится к решению уравнения Матье [c.276]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология