Лапласа разделения переменных

Анализу разнообразных задач нестационарной теплопроводности посвящена обширная литература (см., например, [1-9]). В [9] приводится классификация методов возможного решения дифференциального уравнения в частных производных типа (4.1.2.3) классический метод разделения переменных метод интегральных преобразований (Лапласа и др.) метод функций источников (Грина и др.) метод тепловых источников, чаще используемый при нелинейных граничных условиях вариационные методы методы линеаризации уравнений и др. Широко используются численные методы (сеточные и метод конечных элементов). [c.231]

Разделение переменных показывает, что g x2, х ) — собственная функция оператора Лапласа [c.76]

Уравнение Лапласа для объема среды решается в значительной мере так же, как и в гл. 18, когда ле было концентрационных изменений. Используются те же методы, и возникают те же трудности, связанные с конкретной геометрией. В случае плоских электродов, расположенных на стенках проточного канала [5, 12, 13], уравнение Лапласа можно решить с помощью интегрального уравнения, связывающего потенциал и нормальную составляющую его градиента на твердой поверхности. В случае дискового электрода решение можно найти путем разложения в бесконечный ряд [3], полученный методом разделения переменных, хотя можно воспользоваться и методом интегрального уравнения [14]. Эти методы и по объему вычислительной работы, и по точности следует предпочесть численному решению уравнения Лапласа методом конечных разностей. [c.426]

Это положение можно проиллюстрировать на примере уравнения Лапласа = О для стационарных течений Эйлера в пространстве и на примере уравнения Гельмгольца V i/ -Ь = 0. Было показано 2), что в обоих случаях системы координат, в которых имеет место разделение переменных, принадлежат к нескольким известным классам, большая часть которых при преобразованиях над группой, порождаемой инверсиями относительно сфер, переходит в семейство параллельных плоскостей, в пучок плоскостей, проходящих через одну прямую, и в семейство концентрических сфер, т. е. в одну из систем координатных поверхностей для декартовых, цилиндрических или сферических координат. Это наводит на мысль, что к данной задаче можно непосредственно применить метод конформных преобразований, рассматривая инвариантность относительно конформной группы. [c.188]

Аналогично обратные допущения относительно постоянства величины скорости или завихренности на линиях тока н т. д. не имеют никакого отношения к группам ). Было бы желательно определить, как это сделано для уравнений Лапласа и Гельмгольца (см. прим. 2) на стр. 188), все системы координат, в которых решения уравнений нестационарного движения жидкостей можно найти методом разделения переменных. [c.189]

Уравнение Лапласа решим методом разделения переменных. Предположим, что для (х, г) решение имеет вид = Х-1 , где X == X (л ) и R = R (г). Подставив эти функции в уравнение (15), получим [c.232]

В предельном случае Ре- -О массо- и теплообмен описывается уравнением нестационарного молекулярного переноса, решение которого можно получить обычным разделением переменных в уравнении Лапласа. Для капли такая задача рассматривалась [c.76]

Настоящий раздел начинается с обсуждения двух простейших задач нестационарного теплообмена. Целью такого рассмотрения является введение читателя в круг вопросов, связанных с расчетом неустановившихся режимов теплопередачи. Два простейших решения уравнения (11.2), которые получены ниже (примеры 11-1 и 11-2), основаны на использовании метода автомодельных переменных и метода разделения переменных. Эти методы уже применялись ранее при анализе аналогичных гидродинамических задач (см. раздел 4.1). Пример 11-3 дан для иллюстрации метода преобразования Лапласа, который оказывается весьма эффективным нри решении многих [c.327]

Точные методы. Позволяют аналитически получать искомые величины, не допуская при этом каких-либо упрощений исходной задачи. Применяют преимущественно для решения некоторых линейных задач, описываемых уравнениями в частных производных сравнительно невысокого порядка. Наиболее удобны линейные уравнения с постоянными коэффициентами, которые решаются методами разделения переменных, различных интегральных преобразований (например, Лапласа, Фурье) и др., дающих зачастую частные решения. [c.23]

Океан и атмосфера являются тонкими слоями жидкости в том смысле, что их горизонтальная протяженность гораздо больше, чем вертикальная. Поэтому неудивительно, что большая часть энергии, связанная с движением, содержится в компонентах, горизонтальный масштаб которых гораздо больше, чем вертикальный. Для таких компонент можно сделать определенные упрощения, и они используются со времен Лапласа (1778— 1779). Упрощение состоит в том, что можно использовать метод разделения переменных, т, е. решение можно выразить в виде суммы нормальных мод, каждая из которых имеет фиксированную вертикальную структуру и ведет себя в горизонтальном измерении и во времени таким же образом, как однородная жидкость со свободной поверхностью. Это справедливо даже тогда, когда вводятся эффекты вращения, и дает полезное упрощение при изучении этих явлений в следующих главах. [c.196]

Метод разделения переменных иллюстрируется примером 21. 2. Ему могут следовать читатели с ограниченными познаниями в области дифференциальных уравнений. Метод преобразования Лапласа более сложен и проиллюстрирован не будет. [c.270]

Получить рещения уравнения (XVI. 4) по методам разделения переменных и методу преобразования Лапласа. Получить выражения с х, t) при D = onst и следующих начальных и граничных условиях с = 0 при 1 = 0, X > О, с = Со при д = 0. [c.216]

С математической точки зрения метод "термического четырехполюсника" принадлежит к классу аналитических методов решения линейР1ых дифференциальных уравнений в простых геометриях. Он использует такие аналитические инструменты как интегральное преобразование Лапласа (во времени) и пространственные интегральные преобразования Фурье и Ханкеля, связанные с методом разделения переменных. Уравнения теплопроводности выражают в виде линейных матричных связей между трансформированными векторами температуры и тепловых потоков на границах многослойной системы. Это позволяет получать решения, общий вид которых не зависит от граничных условий. [c.37]

Все представленныв уравнения нестационарной теплопроводности являются дифференциальными уравнениями в частных производных. Существуют два общих метода решения таких уравнений метод разделения переменных и метод, в котором используются интегральные преобразования (обычно — преобразование Лапласа). [c.270]