Нестационарная теплопроводность дифференциальное уравнение

Параболическое уравнение теплопроводности в декартовых координатах. Нестационарное распределение температуры в анизотропном твердом теле с внутренними источниками тепла описывается дифференциальным уравнением параболического типа [c.28]

Дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности (3.24) представляет собой уравнение второго порядка в частных производных при его интегрировании появятся три константы интегрирования, для определения которых необходимы три независимых условия однозначности. Такие условия (одно по времени и два по координате) должны быть сформулированы как независимая от самого дифференциального уравнения дополнительная физическая информация о рассматриваемом процессе. [c.222]

Если коэффициент теплопроводности к и множитель рС , не зависят от температуры, то уравнение (9.3-1) для однородного изотропного тела обращается в линейное дифференциальное уравнение в частных производных, решение которого для класса задач нестационарного процесса теплопроводности, описываемого им, значи- [c.259]

Анализу разнообразных задач нестационарной теплопроводности посвящена обширная литература (см., например, [1-9]). В [9] приводится классификация методов возможного решения дифференциального уравнения в частных производных типа (4.1.2.3) классический метод разделения переменных метод интегральных преобразований (Лапласа и др.) метод функций источников (Грина и др.) метод тепловых источников, чаще используемый при нелинейных граничных условиях вариационные методы методы линеаризации уравнений и др. Широко используются численные методы (сеточные и метод конечных элементов). [c.231]

Таким образом, дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности (3.24) и условия однозначности (3.25)-(3.27) представляют собой замкнутое математическое описание процесса охлаждения тела плоской формы. [c.223]

Наиболее полные системы уравнений для пузырькового кипения, помимо общих дифференциальных уравнений движения и неразрывности жидкой и паровой фаз (см. гл. 1) и уравнений нестационарной теплопроводности для обеих фаз, должны учитывать условия теплового взаимодействия на границе раздела фаз (процесс парообразования на этой подвижной границе). В математическое описание должны включаться условия механического взаимодействия жидкости и пузырьков в виде равенства касательных напряжений и скоростей обеих фаз на подвижной границе их раздела. Необходимо учитывать также размер фор- [c.254]

В качестве примера здесь приводится центрально симметричная задача о нестационарной теплопроводности шара, в каждой точке которого непрерывно действует источник теплоты объемной мощностью д . Соответствующее дифференциальное уравнение было приведено ранее — см. уравнение (2.17). Условия однозначности принимаются в обычной простой форме симметрия искомого температурного профиля в центре, конвективная теплоотдача между наружной поверхностью шара и окружающей средой и равномерное распределение температуры внутри шара в начальный момент [c.43]

Задачи горения, следовательно, можно охарактеризовать как нестационарные задачи турбулентной массо- и теплопроводности при наличии динамических источников вещества и тепла. Но хотя такое представление и определяет пути анализа процессов горения, конкретное решение задач теории горения при этом затруднено. Исследование процессов горения должно развиваться по пути составления систем интегро-дифференциальных уравнений, соответствие которых истинному ходу процесса следует проверять сопоставлением результатов решений этих систем с данными эксперимента. Именно так и развивается ныне теория горения, причем наиболее подробно исследуются крайние случаи, когда в сложном комплексе вопросов можно абстрагироваться от некоторых из них. В частности, установилось деление процессов горения на области протекания. Так, при анализе явлений термического распада природных топлив для мелких частиц при низких температурах можно пренебречь временем прогрева и рассматривать процесс как чисто кинетический распад сложного вещества на более простые соединения. Наоборот, при прогреве крупных кусков топлива в среде высокой температуры основным является ход нагрева. Можно принять, что сам термический распад происходит мгновенно. Появляется деление процесса на крайние области — кинетическую и тепловую, в каждой процесс может быть описан более простыми уравнениями, чем в общем случае протекания процесса в промежуточной области. [c.5]

Учет внутренней теплопроводности частиц вызывает существенные трудности уже при анализе прогрева монодисперсного материала, так как возникает необходимость решать дифференциальное уравнение теплопроводности при переменных величинах температуры газа и коэффициента теплоотдачи, которые в свою очередь являются искомыми функциями процесса. Первые попытки заменить решение уравнения нестационарной теплопроводности [c.186]

Задача о распределении температуры в монокристалле германия в процессе его выращивания сводится к решению дифференциального уравнения теплопроводности с соответствующими условиями однозначности. Выберем начало координат (точка в центре, см. рис. 37), Тогда задача может быть сформулирована следующим образом. Основное уравнение для нестационарных условий в цилиндрических координатах может быть представлено в виде [c.111]

Для торового участка пуансона с точки зрения упрощения составления алгоритма расчета удобнее использовать дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности в тороидальных координатах, которое в конечно-разностной форме имеет вид [c.283]

В процессах экстрагирования частицы инертных материалов, из которых извлекается целевой компонент, чаще всего имеют округлую форму, поэтому рассмотрим дифференциальное уравнение нестационарной диффузии для частицы шаровой формы. При этом воспользуемся полученным в главе 5 общим соотношением (5.13) конвективно-диффу-зионного переноса компонента, в котором применительно к диффузии в неподвижном растворе внутри частицы все компоненты скоростей равны нулю, а оператор Лапласа для тела центрально симметричной сферической формы содержит два слагаемых (см. раздел о нестационарной теплопроводности в главе 3) [c.488]

Экспериментальная работа, основные результаты которой приведены ниже, является частью более общего исследования по выявлению границ применимости классического дифференциального уравнения теплопроводности Фурье для описания процесса нестационарной теплопроводности дисперсных систем [1—3]. [c.3]

Явления переноса (диффузия, теплопроводность, вязкость и многие другие) в стационарных условиях подчиняются так называемому первому закону Фурье. Второй закон Фурье, который описывает теплопроводность в нестационарных условиях, когда температура в данной точке зависит от времени, представляет собой систему дифференциальных уравнений в частных производных. [c.45]

Теплопроводность при нестационарном режиме. В наиболее общем виде зависимость изменения температуры твердого тела и количества переданного тепла от времени может быть установлена путем решения дифференциального уравнения теплопроводности [уравнение (VH, 10)]. Однако аналитические решения, даже при упрощающих допущениях, оказываются громоздкими и сложными для практических целей эти решения приводятся в специальной литературе, [c.321]

Для расчета теплопередачи теплопроводностью в объеме заготовки и оснастки используются дифференциальные уравнения нестационарной теплопроводности для изотропного однородного тела, полученные для различных систем координат. Для численного решения указанных дифференциальных уравнений дифференциалы заменяем конечными разностями и разрешаем данные уравнения относительно определяемой температуры. При этом используем явную разностную схему с центральноразностной аппроксимацией [2]. [c.280]

Как известно, решением дифференциального уравнения нестационарной теплопроводности бесконечной" пластины, омыва- [c.50]

Для численного решения дифференциальных уравнений теплопроводности и граничных условий дифференциаты заменяем конечными разностя ш и разрешаем данные уравнения относительно определяемой температуры. При этом строим явную разностную схему с центральноразностной аппроксимацией. Тогда дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности в цилиндрических координатах примет вид [c.70]

Аналитический метод состоит в математическом решении дифференциальных уравнений теплопроводности. Обычно задачи теплопроводности делят на два класса — стационарные и нестационарные (или переходные). [c.17]

Наиболее эффективным и часто используемым методом приближенного численного решения уравнений нестационарной теплопроводности является метод конечных разностей (метод сеток) 6 , который заключается в замене производных в дифференциальном уравнении их приближенным значением, выраженным через разности значений искомой функции [в нашем случае — температуры Т (т, X, г/, г)] в отдельных дискретных точках по координатам и по времени (точки называют узлами сетки). Дифференциальное уравнение в результате такой замены приобретает вид уравнения, связывающего конечные разности искомой функции по времени и по координатам. Решение конечно-разностного уравнения сводится к выполнению несложных однотипных алгебраических операций при переходе от одного узла сетки к другому. [c.49]

Во всех этих примерах для нахождения нестационарного температурного поля в теле служит дифференциальное уравнение теплопроводности, а отличие одного случая от другого характеризуется начальными и граничными условиями. Для решения задачи используются методы решений уравнений с частными производными, причем сложность решения зависит от геометрических, физических, начальных и граничных условий. Эти методы (метод Фурье, метод собственных функций, метод Дюамеля, метод преобразования Лапласа и др.) подробно рассматриваются в [5, 13, 23]. [c.90]

При разработке нестационарных методов измерения исходят из решений дифференциального уравнения теплопроводности при определенных начальных и граничных условиях, которые характеризуют режимы изменения температуры иа поверхности тела. При [c.17]

Условия однозначности. Выражение (1.18) представляет собой параболическое дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка. В тех случаях, когда внутренний источник теплоты сложно зависит от искомой температуры или когда теплофизические свойства твердого тела являются функциями локальных значений температуры, уравнение нестационарной теплопроводности (1.17) становится нелинейным. [c.14]

Наконец, как будет показано ниже, при малых временах контакта пакета, характерных для практически наиболее важной задачи интенсивного теплообмена, нельзя пользоваться для пакета обычным дифференциальным уравнением нестационарной теплопроводности сплошной среды. [c.182]

Применим эти интегральные преобразования к решениям задач нестационарной теплопроводности. Предположим, что и х, t)—искомая функция (температура) и нужно найти изображение второй производной д и дх , которая входит в дифференциальное уравнение, например в уравнение теплопроводности для полуограниченной среды, (0 х<оо) [c.28]

Дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности тела шаровой формы было приведено раньше — см. уравнение [c.32]

Наибольшие аналитические трудности представляет дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности, которое получается нелинейным при наиболее часто встречающемся на практике случае зависимости теплофизических свойств материалов от искомой температуры [c.48]

Эллипсоидную форму наружной куполообразной поверхностпу-ансона представляем в виде торосферической, так как получение дифференциального уравнения нестационарной теплопроводности в эллиптических координатах представляет большую сложность. Эллиптический профиль сечения пуансона заменяем овальным (рис. 2), который описывается двумя дугами окружностей. Первая дуга РЕ представляет собой образующую сферической части, а дуга ЕО — то-ровой части пуансона. [c.281]

Установлепо, что нри зажигании горючей смеси плоским слоем нагретого газа необходимое для воспламенения количество подведенной к газу энергии (па единицу площади слоя) должно быть большим некоторого определенного минимального значения. С теоретической точки зрения задача о воспламенении слоем горячего газа является просте11шей из возможных задач о воспламенении, потому что в этом случае процесс может быть описан одномерными нестационарными уравнениями сохранения. Эту задачу решил Сполдинг [ ], который численно проинтегрировал приближенно описывающие процесс дифференциальные уравнения в частных производных для слоев различной толщины, имеющих начальную температуру, равную температуре адиабатического пламени. Он установил, что в случае тонких слоев температура слоя вследствие теплопроводности снижается до температуры окружающей среды, в то время как в случае толстых слоев начинается распространение ламинарного пламени ). [c.251]

Согласно еще одному методу развязки системы дифференциальных уравнений совместного тепломассообмена в капиллярно-пористых влажных материалах [18], вводятся дополнительное соотношение между локальными значениями влагосодержания и температуры, а также некоторые эффективные коэффициенты, благодаря чему система диффе-ренциальных уравнений может быть сведена к одному эквивалентному 1 уравнению нестационарной теплопроводности. Полученные в результате решения такого уравнения поля температур далее пересчитываются в нестационарные поля влагосодержаний на основе постулируемой линейной связи величин ы и [см. соотношение (1.46)]. [c.17]

В этой главе излагается математический метод, называемый интегральным, который позволяет получить приближенные решения нелинейных задач нестационарной теплопроводности. При решении данных задач нет необходимости их линеаризовать, ибо сам метод достаточно эффективен и позволяет успешно преодолеть все трудности, связанные с нелинейностью задачи. С помощью интегрального метода уравнение в частных производных с нелинейными граничными условиями удается привести к обыкновенному дифференциальному с заданными начальными условиями, решение которого часто может быть получено в замкнутой аналитической форме. [c.41]

Приведем математическую формулировку задачи. Найти на отрезке х е [ - , +5] решение 1 х, т) нестационарного дифференциального уравнения теплопроводности [c.114]

Развивается еще один метод анализа задач нестационарной теплопроводности для полубезграничных тел, основанный на понятии дробной производной [10]. Этот оригинальный метод позволяет теоретически находить потоки теплоты внутрь полубезграничного тела без предварительного решения задачи о нахождении нестационарного температурного поля внутри тела. При этом рассмотрение уравнения (4.1.2.3) нестационарной теплопроводности в частных производных оказывается возможным заменить более простым анализом граничного соотношения, представляющего собой обыкновенное дифференциальное уравнение с дробными производными по времени. За счет относительно более простого анализа условий на границе тела класс решаемых задач может быть расширен вплоть до некоторых типов нелинейных условий на границе тела с окружающей средой. [c.234]

Приведены основные результаты экспериментальной работы, которая является частью более общего исследования по выявлению границ применимости классического дифференциального уравнения теплопроводности Фурье для описания процесса нестационарной теплопроводности дисперсных систем. Сравнение экспериментальиы.ч и расчетны.ч данных выполнено с привлечением известного решения задачи об охлаждении пластины в неограниченной сплошной среде при гранично.м условии рода. [c.183]

Из дифференциального уравнения конвективно-кондуктивно-го переноса теплоты (3.47) для частных случаев отсутствия конвекции = iVy= w = 0) получаются уравнение нестационарной теплопроводности (3.24) в твердом плоском теле, если дополнительно для плоской стенки положить d t/dy = S t/dz = О, а также уравнение стационарной теплопроводности (3.10) при дополнительном условии dtfdx = 0. [c.229]

Существенно, что приведенные выше ана штиче-ские решения [1-10] и многие другие справедливы лишь при постоянстве теплофизических свойств вещества (теплопроводности X, теплоемкости с) и коэффициента внешней теплоотдачи а. Однако если диапазон изменения температуры велик настолько, что зависимостью этих параметров от температуры пренебречь нельзя, то уравнение (4.1.2.3) заменяется на более сложное, учитывающее зависимость теплофизических свойств вещества от температуры в каждой точке внутри нагреваемого (охлаждаемого) тела [3, 8, 9, 12, 13]. Нелинейное дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности в общем случае решается только численными методами. [c.234]

Количественная оценка влияния особенностей нестационарной теплопроводности дисперсного материала на развитие температурного поля показывает, что отношение o i/0 расч, характеризующее величину ошибки, которую может повлечь за собой применение классического дифференциального уравнения теплопроводности при определении температуры охлаждающейся в дисперсной среде плоской поверхности, имеет характерный максимум (при т=4,0 сек для частиц диаметром 2,07 мм), величина которого составляет свыше 135 /о. [c.7]

С практической точки зрения представляет интерес рассмот-феть процесс нагревания с учетом потерь тепла за счет теплопроводности электродов. Разберем частный случай, когда начальная температура пленки, а также температура электродов во время работы поддерживается на уровне комнатной. В данном случае применимо дифференциальное уравнение, описывающее процесс нестационарной теплопроводности. Полагая при этом, что выделение тепла происходит в объеме свариваемой пленки, а тепловой поток вследствие теплопроводности материала распространяется в одном направлении, тепловые потери [c.397]

Первые две главы книги посвящены выводу дифференциальных уравнений взаимосвязанного и несвязанного кон-дуктивно-конвективного тепломассопереноса в твердых, жидких и газообразных проводящих средах. Для уравнения нестационарной теплопроводности приведены формулы, позволяющие записать условия однозначности при различных внешних тепловых нагружениях, заданных на поверхности тела. [c.5]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология