Уравнение движения для нестационарного потока

Нестационарный поток жидкости в трубопроводе можно описать математически с помощью системы дифференциальных уравнений в частных производных, которые рассматриваются в настоящей главе. Такими уравнениями являются уравнение неразрывности, выражающее закон сохранения массы (разд. 6.1), энергетическое уравнение, отвечающее закону сохранения энергии (разд. 6.2), и уравнение движения, вытекающее из закона движения Ньютона (разд. 6.3). [c.174]

Для сравнительно простых систем, таких, как гидравлические или тепловые с однофазным потоком, принцип подобия и физическое моделирование оправдывают себя, оперируя ограниченным числом критериев. Для сложных систем и процессов, описываемых сложной системой уравнений с большим набором критериев подобия, которые становятся, одновременно несовместимыми, использование принципов физического моделирования наталкивается на трудности принципиального характера. Они заключаются в том, что не существует уравнений движения двухфазных потоков общего вида, отсутствует возможность задать граничные условия на нестационарной поверхности раздела фаз. Тем более не представляется возможным написать уравнения общего вида для двухфазной системы, осложненные массообменом. [c.131]

Уравнения гидродинамики реальных потоков обычно очень сложны (например, уравнения Навье-Стокса для однофазных потоков) или даже вообще не могут быть записаны в общем виде (например, для двухфазных потоков типа газ—жидкость ) из-за отсутствия возможности задания граничных условий на нестационарной поверхности раздела фаз. Поэтому на практике прн составлении математических описаний обычно используют приближенные представления о внутренней структуре потоков. С одной стороны, это облегчает постановку граничных условий для уравнений, а с другой— позволяет наметить определенные экспериментальные исследования, необходимые для нахождения параметров уравнений движения потоков. [c.56]

Метод характеристик [2, 42] для расчета одномерного нестационарного потока совершенного газа может быть распространен [43] и на случай наличия в. газе частиц. На основе того же общего подхода, что и в случае однофазного потока, могут быть использованы шесть уравнений сохранения массы, количества движения и энергии. В упомянутой работе рассмотрены два простых примера течения в трубе и показано сильное влияние времени релаксации для частиц. [c.335]

В уравнениях (5.11)-(5.13) искомая функция - это нестационарное концентрационное поле целевого компонента в движущейся среде-носителе С(т х, у, г Z) w , w , wj, определяемое значениями независимых переменных % , х, у, г я параметров процесса D Wy, IV,. Значения параметров процесса массопереноса -коэффициента диффузии и проекции скорости потока на декартовы оси координат - должны быть известными. Если компоненты скорости неизвестны, то уравнение (5.12) следует рассматривать совместно с дифференциальным уравнением движения (1.29) вязкой жидкости, при этом уравнение (5.12) невозможно решить в общем виде аналитическими методами. Впрочем, даже при известных и постоянных величинах компонент скорости w , Wy и W, получить аналитические решения дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно четырех независимых переменных в общем случае также невозможно. [c.350]

Наиболее обоснованные сведения о влиянии нестационарного потока на работу трения даны С. А. Егоровым. Оя считает, что при пользовании уравнением Д. Бернулли с инерционным членом возникает ряд ошибок. Так, значения коэффициента осреднения скорости и аг применяются равными их значениям при установившемся движении. В этом случае они зависят только от числа Рейнольдса и относительной шероховатости [c.175]

Для независимого определения параметров гидродинамической структуры потоков в насадке предложен метод, основанный на использовании условий нестационарной гидродинамической обстановки в слое насадки [78]. Принимая, что при неустановившемся движении потока жидкости распределение его массы в насадке вдоль оси движения происходит в соответствии с механизмом, аналогичным диффузионному. уравнение распределения массы потока жидкости в слое можно записать [c.399]

Поведение реального физического процесса в данных условиях может совпадать с поведением идеального процесса, а может и не совпадать с ним. Так, при движении твердых частиц в жидкости при захлебывании наблюдается нарушение только условия стационарности. Поведение потока в данном случае может быть описано в рамках принятой нами модели идеального дисперсного потока, но с использованием нестационарных уравнений. При движении пузырей в условиях, близких к захлебыванию, в среднем поток остается стационарным (расходы фаз не изменяются), но нарушаются условия отсутствия коалесценции и монодисперсности частиц, что приводит к существенным изменениям картины течения и соответственно к кризису принятой модели идеального дисперсного потока. В частности, существенно изменяется сила межфазного взаимодействия, появляется значительная неравномерность распределения пузырей по сечению аппарата, а движение фаз, по-видимому, уже не может быть удовлетворительно описано с помощью двухскоростной модели. [c.96]

При наличии пульсации потока жидкости и различных распределительных насадок строгое математическое решение дифференциальных уравнений, описывающих движение частицы в нестационарном потоке, пока невозможно, поэтому характеристическую скорость приходится определять экспериментально.. [c.93]

Ограничиваясь для простоты движением в плоскости потока и малыми значениями , допустим, что в растворе осуществляется стационарное распределение р(ф), определяемое уравнением (7.14). В некоторый момент времени (1 = 0) поле градиента мгновенно выключается (до значения g = 0). Как следствие этого в результате вращательного теплового движения частиц преимущественная ориентация, существовавшая в потоке, также должна исчезнуть. Закономерность, согласно которой будет происходить это исчезновение во времени, может быть установлена с помощью уравнения нестационарного потока (7.11). При этом естественно принять, что в момент времени / (отсчитываемый от / = 0) функция распределения р(ф, О определяется выражением [см. (7.14)] [c.519]

Величина Гр имеет размерность времени и представляет собой характерное время установления стационарной скорости (гидродинамической стабилизации) частиц или, что то же самое время,действия сил инерции на частицы. Безразмерное число х представляет собой отношение времени гидродинамической стабилизации частиц после наложения некоторого возмущения на гидродинамические характеристики потока к постоянной времени этого возмущения и, таким образом, является мерой относительной инерционности частиц в потоке. Ясно, что при Х- 1 можно пренебречь инерционными членами в уравнении движения и решать задачу нестационарной гидродинамики в квазиравновесном приближении. Система уравнений в этом случае в безразмерных переменных примет вид [c.114]

Значительный интерес для изучения процесса экстракции представляет исследование движения капель переменной массы, так как в процессе массопередачи происходит взаимное растворение фаз, и как масса, так и объем капли являются, строго говоря, величинами переменными, зависящими от времени. Возможен двойной подход к решению задачи. С одной стороны, возможно рассмотрение процесса с точки зрения нестационарного омывания капли потоком жидкости, с другой стороны — рассмотрение движения в жидкой среде переменной массы [96]. Дифференциальное уравнение движения потока имеет вид [c.200]

Приближенное уравнение для определения длины и формы факела содержится также в работе Барона [Л. 106 ]. Следуя Райхардту [Л. 114], автор полагает, что в турбулентных струях поперечные конвективные потоки количества движения, вещества и энтальпии пропорциональны продольному градиенту соответствующих величин (плотности потока импульса ры и др.). Такое допущение позволяет привести уравнения движения, энергии и диффузии к виду уравнения нестационарной одномерной теплопроводности. В результате удается найти распределение концентраций в поле течения турбулентной струи. Считая, что местоположение фронта пламени определяется условием смешения окислителя и топлива в стехиометрическом соотношении. Барон [Л. 106] получил формулу для определения длины факела, идентичную формуле Хоттеля. Хотя конечные результаты, полученные Бароном, повторяют результаты работы [Л. 331, однако сама постановка задачи отличается большей строгостью. [c.10]

Излагается подход к моделированию движения двухфазного потока в трубопроводе при полном его разрыве. Указывается на неприемлемость использования параболической системы уравнений при расчетах нестационарных процессов в газопроводе. Разработаны алгоритм и пакет расчетных программ для ЭВМ, позволяющие определить массу вещества, выброшенного в атмосферу при разрыве конденсатопровода. [c.244]

Математическое описание моделей для нестационарных условий движения потоков дано в табл. 2.1. Приравнивая нулю производную по времени, можно получить модели для стационарных условий. При этом существенно упрощается и соответствующее математическое описание. Так, для ячеечных моделей вместо системы дифференциальных уравнений описанием будет служить система нелинейных алгебраических уравнений. В общем случае весьма трудно получить аналитическое решение системы уравнений модели. Поэтому при разработке алгоритмов решения используются аппарат передаточных функций и методы вычислительной математики. Эти методы по классам уравнений (дифференциальные в частных производных, обыкновен- [c.84]

Уравнения расхода. Для определения массовых расходов в проточной части компрессора сделаем следующие упрощающие процесс допущения 1) течение газа во всей проточной части одномерное и адиабатное 2) каждый канал, через который перемещается газ, может рассматриваться при определении его сопротивления как круглое отверстие с острыми кромками и площадью поперечного сечения эквивалентной площади канала 3) процесс движения газа в канале установившийся, соответствующий мгновенным параметрам газа до и после канала 4) коэффициенты расхода, получаемые при продувке каналов стационарным потоком, справедливы и для нестационарного течения. [c.61]

Формула (37.12) является приближенной не только потому, что был учтен лишь первый член уравнения (37.7), но главным образом потому, что при ее выводе было использовано решение для неподвижного электрода, а рост сферы учитывали только при определении поверхности. В действительности из-за движения поверхности навстречу потоку диффузии истинная толщина диффузионного слоя оказывается меньше, а плотность тока — соответственно больше, чем для неподвижного сферического электрода того же радиуса. Таким образом, для определения тока на капельном ртутном электроде необходимо рассмотреть нестационарную диффузию к растущему капельному электроду. Можно, например, предположить, что электрод неподвижен, а раствор движется ему навстречу. Однако проще всего использовать решение для движущейся плоскости, скорость движения которой соответствует закону роста капли. При этом увеличение тока по сравнению с ожидаемым по уравнению (37.12) происходит в / 1,525 раза [c.180]

Различие в переходных функциях (10.18) и (10.19) объясняется тем, что при их определении в исходных уравнениях принимали квазистационарные значения коэффициентов количества движения, сопротивления трения и касательного напряжения на стенке, а вследствие нестационарности распределения местных скоростей по сечению потока эти величины имеют другие значения. [c.262]

Рассмотрим теперь случай, когда переходная характеристика вызвана скачком градиента давления при турбулентном течении рабочей среды. Для определения переходной характеристики снова воспользуемся уравнением (10.17). Строго говоря, коэффициенты количества движения р и гидравлического сопротивления трения X в этом уравнении следует считать нестационарными, т. е. принимать р = р и Л. = А,н- Однако численные значения нестационарных коэффициентов р и при расчете переходных процессов в турбулентном потоке не могут быть определены ввиду отсутствия необходимых зависимостей. В то же время исследования приближенной модели турбулентного потока при гармонических колебаниях позволяют предположить, что влияние нестационарности коэффициентов количества движения и гидравлического сопротивления трения будет в этом случае слабее, чем при ламинарном движении среды. Ранее было показано, что даже при ламинарном потоке расчет по уравнению (10.17) с использованием квазистационарных коэффициентов дает близкие к точному решению результаты. Сравнение переходных процессов, рассчитанных при квазистационарных значениях коэффициента количества движения Рко и сопротивления трения с экспериментальными подтверждает возможность такого предположения [28]. В связи с чем примем [c.263]

Третий член в правой части уравнения (4-13) выражает сопротивление среды при стационарном движении, второй и четвертый— ту часть сопротивления, которая связана с затратой энергии на приведение в движение самой среды. При этом влияние второго члена для газопылевого потока пренебрежимо мало, а влияние четвертого (интегрального) члена незначительно для ускоренного и несколько больше для замедленного движения частицы [Л. 66]. Теоретические исследования нестационарного движения частиц при Ке2>1 неизвестны, а экспериментальные данные противоречивы [Л. 66, 81,83]. [c.121]

Представленные выше решения справедливы всюду за исключением небольшой области вблизи передней кромки, где х= 0(L). Хотя рассмотрение общих уравнений баланса энергии и количества движения позволило оценить влияние передней кромки на полный тепловой поток и полное сопротивление, достаточно строгий анализ процесса переноса в области передней кромки отсутствует. Связанная с этим задача состоит в определении картины втекания в пограничный слой /(подсасывания). Бродович [5] установил, что втекание может быть нестационарным и что оно оказывает влияние на течение в пограничном слое, особенно в области передней кромки, где скорости в пограничном слое очень малы. Эти вопросы заслуживают дальнейшего изучения. [c.142]

Когда плоская вертикальная поверхность, помещенная в неограниченную покоящуюся среду, внезапно нагревается, причем тепловой поток в дальнейшем становится постоянным, начинается нестационарный перенос, продолжающийся до тех пор, пока не будет достигнуто стационарное состояние. Этот переходный процесс часто распадается на отчетливо различающиеся стадии в зависимости от особенностей нагрева и от свойств окружающей жидкости. Уравнения сохранения массы, количества движения и энергии после использования приближений пограничного слоя и Буссинеска записываются следующим образом [c.435]

В. Соотношение (2.93) выполняется только в стационарных состояниях, и его нужно распространить на нестационарные состояния, когда не существует прямой аналитической зависимости объема парового канала от количества поступающей энергии в любой момент времени. При быстром изменении поступающего теплового потока изменение парового канала происходит не мгновенно, а канал лишь претерпевает изменения, приблизительно пропорциональные скорости изменения потока, которая соответствует средней скорости движения пузырьков пара в столбе пароводяной смеси. Скорость движения пузырьков пара в системе можно в известной мере рассматривать как показатель действительной скорости распространения объемных и фазовых изменений в паровом канале в переходных состояниях. Из некоторых экспериментальных исследований, относящихся к неоднородным пароводяным смесям, вытекает, что в первом приближении в статическое уравнение можно ввести постоянную времени Ти таким образом, чтобы изменение объема У/, 5ри переходе из одного состояния в другое описывалось уравнением первого порядка (фиг. 2.14) [c.50]

На практике явление срыва стационарного противоточного течения дисперсного потока при некоторых максимальных для данной системы значениях расходов фаз получило название явления захлебывания)). Физический смысл его заключается в следующем [26]. При однородном по д движении частиц в дисперсном потоке в среднем имеет место равновесие между силой тяжести с учетом выталкивающей силы Архимеда и силой сопротивления. Такое равновесие математически выражается уравнением (3.3.2.51) и может реализоваться при двух (или даже при трех) значениях концентрации частиц. При захлебывании оба равновесных состояния исчезают, так как сила сопротивления, действующая на частицы, становится больше движущей силы и условие равновесия перестает выполняться. При этом реальный дисперсный поток в зависимости от типа дисперсной системы ведет себя различным образом. В системе твердое вещество— жидкость захлебывание приводит к переходному (нестационарному) процессу, в результате которого дисперсная фаза выбрасывается из канала вместе со сплошной фазой. В системе газ—жидкость в среднем поток остается стационарным, однако начинается интенсивная коалесценция пузырей, которая приводит к переходу в пенно-турбулентный режим течения и снижению силы сопротивления, действующей на пузыри. В системе жидкость— жидкость может наблюдаться как выброс дисперсной фазы, так и интенсивная коалесценция капель с последующей инверсией фаз. [c.187]

Для параллельного встречного движения (противоток) процесс теплоотдачи от термоэлементов к потоку жидкости в нестационарных условиях характеризуется уравнениями [c.157]

Для простоты рассмотрим диффузию в изотермических и изобарических условиях при отсутствии химической реакции в системе и конвективного потока, вызванного принудительным движением сг.тесн. Дифференциальное уравнение нестационарной диффузии в этом случае будет иметь вид [c.70]

При любой схеме движения потока газа-носителя и дисперсного адсорбента внутри индивидуальной частицы происходит процесс нестационарной диффузии адсорбтива. Дифференциальное уравнение нестационарной диффузии, как известно, может быть получено подстановкой выражения для потока целевого компонента в закон сохранения массы этого компонента, записанный для элементарного объема внутри рассматриваемой пористой среды. Вновь следует отметить, что элементарный объем должен быть достаточно малым, чтобы в пределах такого объема искомую функцию концентрации адсорбтива в твердой или газовой фазе внутри пор можно было считать неизменной, а, с другой стороны, элементарный объем должен включать представительное число пор всех размеров. [c.196]

Разделим второе слагаемое левой части уравнения (1.66) на первое слагаемое. Получаемое при этом отношение и)(ди)/д1)/(ди)/дх) в соответствии с физическим содержанием слагаемых левой части закона сохранения количества движения (1.66) имеет смысл отношения конвективного ускорения потока к ускорению потока, связанному с его нестационарностью (см. отдельные слагаемые уравнений (1.27) и (1.28)). [c.83]

Идеальное вытеснение представляет собой, по существу, модельное представление о реальном процессе движения потока, или модель процесса. Математическое описание (математическая модель) рассматриваемого предельного режима вытеснения физически представляет собой уравнение нестационарного материального баланса (1) вещества трассера, записываемое для элементарного объема длиной <И внутри аппарата (рис. 1.55) [c.138]

Система уравнений (111.27) — (111.30) слишком сложна, чтобы можно было получить ее обш ее нестационарное решение. Существенным облегчением является то, что, как уже указывалось выше, при движении концентрационной волны вдоль слоя шихты может образоваться стационарный фронт, движущийся с постоянной скоростью Ыц ( режим параллельного переноса ). В теории идеальной хроматографии [28] образование стационарного фронта связывают с нелинейностью изотермы. Шай и сотрудники показали, что стационарный фронт может возникать и при линейной изотерме в результате убывания скорости в направлении потока. Убывание скорости следует из уравнения (111.29), так как везде да д1 0 и ди дх С О внутри фронта. [c.123]

В целом ряде случаев анализ нестационарных процессов в дисперсном потоке может быть проведен в квазрфавновесном приближении, т. е. без учета инерционных членов в уравнениях движения и диффузионных членов в уравнениях сохранения массы. Условиями для такого упрощения являются [c.192]

Попытка учета нестационарного члена в уравнении движения для рассмотренной выше двумерной модели течения была предпринята Ван Донгеном и др. [1.119], которые предположили, что элементарный ламинарный слой разрушается в момент прохождения над ним некоторого локального возмущения. Считается, что локальные возмущения движутся с постоянной скоростью i/ = 0,8(/оо и отстоят одно от другого на одинаковом расстоянии Ах = i/ Ib (Тв —период обновления течения вблизи поверхности). Таким образом, в системе координат, движущейся в направлении потока со скоростью С/с, будет наблюдаться картина, не изменяющаяся во времени. [c.85]

В основе методики - численные решен зя основных нестационарных задач движения смеси на основе системы дифференциальных уравнений. Иманацийся в настоящее время экспериментальный материал позволйег замкнуть систему уравнений, описывагадих неустановившиеся движения газожидкостного потока с мелкодисперсной структурой. [c.20]

Рассматривается конвективный массо- и теплоперенос при малых и средних значениях Ке для случаев обтекания частиц. Циркуляционное движение жидкости внутри капель играет существенную роль при расчете массопередачи в случае лимитирующего сопротивления дисперсной фазы. Для такого режима наблюдается нестационарный характер процесса массопередачи, что при больших значениях Ре приводит к зависимости критерия Шервуда или Нуссельта от критерия Фурье. Внешний массо- и теплообмен при больших Ре стационарен и описывается уравнениями диффузионного пограничного слоя. При исследовании решений этих уравнений показано, что для расчета величины массового потока достаточно знать распределение вихря по поверхности твердой сферы или касательной составляющей эрости по поверхности капли и газового пузырька. Обсуждены гранр цы применимости погранслойных решений при увеличении отношения вязкостей дисперсной и сплошной фаз. Общий случай соизмеримых фaJ0выx сопротивлений описан обобщенной циркуляционной моделью. Закономерности массо-и теплопереноса при лимитирующих сопротивлениях сплошной и дисперсной фаз и общий случай соизмеримых фазовых сопротивлений рассмотрены в разделах 4.2—4.4. [c.168]

Модели табл. 4.4 записаны для нестационарных условий движения потоков. Приравнивая нулю производную по времени, можно получить модели для стационарных условий. При этом существенно упрощается и соответствующее математическое описание. Так, для ячеечных моделей вместо системы дифференциальных уравнений описанием будет система нелинейных алгебраических уравнений. В общем случае весьма трудно получить аналитическое решение системы уравнений модели. Поэтому основными подходами к разработке алгоритмов решения являются аппарат передаточных функций и методы вычислительной математики. Эти методы по классам уравнений (дифференциальным в частных производных, обыкновенным дифференциальным, системам алгебраических уравнений) достаточно разработаны и обычно составляют эиблиотеку стандартных программ для решения задач вычислительной математики. [c.121]

Количественное исследование влияния этих параметров требует детального знания механизма собственно массопередачи, без химической реакции. При движении жидкости вдоль твердых поверхностей в дисперсной системе рассматривают главным образом стационарную диффузию через образовавшийся пограничный слой. Модель нестационарной диффузии, соответству-юш ая случаю потока по подвижной (мобильной) поверхности, удовлетворяет уравнениям пенетрационной теории. В ограниченных застойных зонах массопередача также происходит путем нестационарной диффузии. Окончательный коэффициент массопередачи р выражается безразмерным числом Шервуда ЗЬ, а порядок его величин для некоторых слзгчаев приводился выше (стр. 154). [c.162]

Существование лиминарного течения возможно только при малых Ке. При Не > Кекр устойчивость течения нарушается, и движение отдельных малых объемов газа становится неупорядоченным, пульсирующим. Мгновенное значение вектора скорости в той или иной точке потока отличается от значения, осредненного по времени. Точно так же отличаются мгновенные и средние значения давления, плотности, концентрации реагирующих веществ и т. д. Турбулентное горение представляет собой нестационарный процесс турбулентного смешения продуктов сгорания и свежей смеси и реагирование последней вследствие повышения ее температуры. В этих условиях закономерности ламинарного распространения реакции теряют свою силу. Решающими факторами становятся турбулентные пульсации и связанная с ними интенсивность перемешивания продуктов сгорания со свежей смесью. Если в теории ламинарного горения основные трудности вызваны отсутствием точных кинетических параметров, которые должны быть подставлены в систему уравнений, то в теории турбулентного горения необходимая система уравнений даже и не составлена. В настоящее время не только отсутствует возможность создания замкнутого расчета, но нет и единого понимания механизма процесса. [c.134]

Второй пример связан с расчетом течения в пограничном слое, нестационарный характер которого определяется нестациоиарностью изэнтропического п сверхзвукового внешнего потока. Синусоидальные колебания скорости и скорости звука генерируются на входе канала такпм образом, что число Маха остается постоянным. При решении задачи одновременно интегрируются две системы система одномерного нестационарного движения идеальной жидкости и система нестационарных уравнений пограничного слоя. Первая из этих систем записывается относительно скорости внешнего потока и и скорости звука а = р/р [c.159]

Обычно диффузионная нестационарность является следствием гидродинамической нестационарности. Примером последней является движение частицы в энергично перемешиваемой жидкости (аппараты с мегаалкой, взвешенный слой). Рассмотрим нестационарный процесс массообмена, возникающий вследствие движения частицы в равноускоренном вертикальном потоке жидкости. Уравнение дви ксния будет иметь следующий вид [c.60]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология