Каноническое среднее

Два вида средних (микроканонические и канонические средние) величин [c.288]

Усреднение по такой цепи конфигураций дает непосредственно каноническое среднее. Метод может быть реализован не только в каноническом, но и в других ансамблях. [c.206]

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО ДЛЯ РАСЧЕТА КАНОНИЧЕСКИХ СРЕДНИХ [c.386]

Рассмотрим возможности использования метода статистических испытаний для расчета канонических средних. Прежде всего покажем, как по методу Монте-Карло можно было бы рассчитать конфигурационный-интеграл. Заранее скажем, что тот путь расчета, о котором мы сейчас будем говорить, на практике не используется. Однако, рассматривая его, мы сможем лучше уяснить особенности метода Монте-Карло. Конфигурационное пространство системы будем считать дискретным, определяя положение частицы с точностью до некоторой величины Дл = Д1/ =, Аг = по каждой из координат. Величина АУ ха- [c.388]

Хотя намеченная схема расчета канонических средних принципиально проста, применение ее на практике нерационально в связи со следующим обстоятельством. Вклад некоторой i-й конфигурации в каноническое среднее пропорционален больцмановскому множителю ехр[— Ui/kT], а этот множитель в зависимости от конфигурации системы может сильно меняться. Поэтому некоторые конфигурации дают значительный вклад в канонические средние, некоторые—практически, нулевой. При хаотическом выборе, однако, и те и другие конфигура- [c.389]

Метрополис и сотр. в 1953 г. предложили для численного расчета канонических средних использовать такой метод генерирования конфигураций, чтобы частота появления произвольной конфигурации была пропорциональна величине ехр (— i7 //eT) [c.390]

Среднее значение некоторой функции динамических переменных М(р, д) для системы канонического ансамбля (каноническое среднее) можно вычислить согласно соотношениям [c.87]

Большие перспективы для расчета свойств жидкостей открывает применение численных методов метода Монте-Карло и метода молекулярной динамики. Метод Монте-Карло используется для непосредственного расчета канонических средних на быстродействующих машинах при генерировании цепи очень большого числа конфигураций метод молекулярной динамики состоит в численном решении уравнений движения. [c.399]

Использование метода Монте>Карло для расчета канонических средних [c.420]

Рассмотрим возможности использования метода статистических испытаний для расчета канонических средних. Прежде всего покажем, как по методу Монте-Карло можно было бы рассчитать конфигурационный интеграл. Заранее скажем, что тот путь расчета, о котором мы сейчас будем говорить, на практике не используется. Однако рассматривая его, мы сможем лучше уяснить особенности метода Монте-Карло. Конфигурационное пространство системы будем считать дискретным, определяя положение частицы с точностью до некоторой величины Дд =Ду =Дг = (ДУ) /Зпо каждой из координат. Величина ДУ характеризует точность задания положения частицы в реальном физическом объеме (объем элементарной ячейки в пространстве координат X — у — г частицы). Очевидно, выбирая интервал Ах по желанию достаточно малым, можем описывать конфигурацию системы с любой желаемой степенью точности. Конфигурационное пространство системы, состоящей из N частиц, разделится на ячейки объема (ДУ) . Число конфигураций системы является конечным и равно [c.421]

По существу на примере интеграла онф мы рассмотрели стандартный вариант расчета многократного интеграла по методу Монте-Карло. Рассмотренная схема расчета канонических средних (величины М) состояла в хаотическом выборе конфигураций и последующем взвешивании их посредством умножения суммируемой величины Мф на величину ехр [—1) 1) кТ], пропорциональную вероятности /-Й конфигурации в системе, которая описывается каноническим распределением. [c.423]

Хотя намеченная схема расчета канонических средних принципиально проста, применение ее на практике нерационально в связи со следующим обстоятельством. Вклад некоторой -й конфигурации в каноническое среднее пропорционален больцмановскому множителю ехр [—и /кТ], а этот множитель в зависимости от конфигурации системы может сильно меняться. Поэтому некоторые конфигурации дают значительный вклад в канонические средние, некоторые — практически нулевой. При хаотическом выборе, однако, и те и другие конфигурации появляются одинаково часто взвешиваем их мы потом, формируя суммы. Нерациональность такого метода генерирования конфигураций видна на следующем примере. Предположим, что плотность системы велика. Тогда среди хаотически выбранных конфигураций основную долю составят такие, в которых по крайней мере две частицы перекрываются , т. е. сближены настолько, что между ними имеется сильное отталкивание. Поскольку потенциальная энергия такой пары — очень большая положительная величина, то для рассматриваемой конфигурации /г > Т и ехр [— /г// 7] 0. Так, для модельной системы твердых шариков равна бесконечности энергия всех конфигураций, при которых хотя бы два шара перекрываются (расстояния между центрами шаров больше диаметра шара). Вклад таких конфигураций в величину Z o ф равен нулю. При беспорядочном выборе конфигурации с нулевым (или очень малым) значением ехр (и1/кТ) мы получали бы очень часто, и большая часть вычислительной работы была бы практически бесполезной. В связи с указанными обстоятельствами при расчете канонических средних для плотных систем метод Монте-Карло в описанной выше модификации практически не используется. [c.423]

По методу Метрополиса можно рассчитать любые канонические средние или параметры, выражаемые через канонические средние. В частности, молярную среднюю энергию системы найдем согласно соотношению [c.428]

Таким образом, с помощью метода Монте-Карло можно определить не только термодинамические параметры, но и структурные характеристики системы. Правда, статистическую сумму, а следовательно, свободную энергию, энтропию и т. д. по методу Метрополиса непосредственно рассчитать нельзя. Эти величины можно, однако, найти при рассмотрении зависимостей канонических средних от температуры. [c.428]

Решение этих основных задач требует рассмотрения множества микросостояний, совместимых с внешними условиями, в которых находится система. Это является необходимым, так как заданному макросостоянию, т. е. условиям, в которых находится система, соответствует обычно чрезвычайно большое множество микросостояний, с помощью которых это макросостояние реализуется. Если заданы условия, в которых находится 1 моль идеального газа, например его объем и температура (его макросостояние), то с микроскопической точки зрения этим условиям удовлетворяет огромное число микросостояний. При заданном макроскопическом состоянии нельзя указать, в каком именно микроскопическом состоянии находится система, и статистическая термодинамика для решения своих задач должна применить теорию вероятностей, т. е. ее метод должен быть статистическим. Естественно допустить, что наблюдаемые на опыте величины могут быть найдены как средние величины, вычисленные по множеству допустимых микросостояний. Этим именно путем и идет статистическая термодинамика. В зависимости от внешних условий, в которых находится изучаемая система, в статистической термодинамике применяется вычисление двух видов средних а) микроканони-ческих средних, вычисляемых при условии, что энергия системы постоянна (изолированная или замкнутая система). При этом все микросостояния являются равноправными, и следует допустить, что они являются равновероятными б) канонических средних, т. е. средних, вычисляемых при условии, что температура системы постоянна (система в термостате). При этом предполагается, что система находится в состоянии термодинамического равновесия. Для системы, [c.288]

Объектом исследования является двумерная система, образованная твердыми непритягивающимися дисками диаметра а. Потенциал взаимодействия между частицами имеет ту же форму (П. 104), что и для трехмерной системы твердых сфер. Потенциальная энергия рассматриваемого флюида равна нулю для всех конфигураций, при которых никакие диски друг с другом не перекрываются, и равна бесконечности, если перекрываются хотя бы два диска. Больцмановский множитель ехр(— / //гТ), определяющий вероятность -й конфигурации для системы канонического ансамбля, в первом случае равен единице, во втором нулю. Следовательно, все конфигурации без перекрывания дисков равновероятны, и только они дают вклад в канонические средние. Температура на распределение вероятностей и конфигурационные свойства системы с заданными значениями V, N не влияет, 7 = 0. [c.223]

М (р, q) для H teivfLi канонического ансамбля (каноническое среднее) можно вычислить согласно соотношениям [c.79]

Итак, если вероятности переходов в цепи Маркова подчинены условиям (XIII.94) и (XIII.95), то частоты появления конфигураций отвечают зависимости (XIII.91). В этом случае простое усреднение величины М по цепи конфигураций дает в пределе (при Ь- оо) значение, совпадающее с каноническим средним. Действительно, среднее каноническое можем представить в виде [c.391]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология