Решение нелинейных уравнений и систем

Основной идеей метода релаксации является внесение искусственных поправок к неизвестным системы нелинейных уравнений, и затем сведение этих поправок к нулю в п]роцессе итерационно о решения системы уравнений. [c.21]

Конкретная структура математических уравнений и способов обработки данных зависит от экспериментального метода проведения кинетических исследований. Для дифференциальных реакторов это будет система алгебраических уравнений, для изотермических интегральных реакторов — система дифференциальных уравнений, сравнительно просто линеаризуемых в отношении констант, для неизотермических интегральных реакторов — система дифференциальных уравнений, нелинейных относительно констант. Следует отметить, что успехи в области решения нелинейных задач химической кинетики и поисковых методов [4, 15—17] позволили создать эффективные алгоритмы, обеспечивающие практически одинаковую достоверность в определении структуры кинетических уравнений и входящих в них констант для любого экспериментального метода кинетических исследований. [c.77]

Система уравнений (7.116) — (7.119) является замкнутой и может быть решена одним из методов решения нелинейных уравнений. Так, в [48] для решения уравнений материального баланса [c.309]

Некоторые авторы применяли неявный метод Рунге — Кутта [35, 57, 58]. В этом случае расчеты у, включают решение нелинейного уравнения (или системы уравнений), таких, как у/ = / (у,), с использованием численного метода. [c.175]

Общий вид нелинейных уравнений системы (1.3) по-прежнему соответствует уравнениям (1.2), и решение ее связано с теми же трудностями. Число уравнений возросло и теперь равно 2nR (где п —число реакторов в каскаде, Я — максимальная длина цепи). [c.17]

П. 1.2. Определение аналитически производных при решении системы нелинейных уравнений, описывающих процесс ректификации, дифференциальным методом при закреплённых отборах продуктов разделения [c.125]

Решения нелинейных уравнений (9.32) —(9.34) при j) = О по своему характеру аналогичны решениям системы уравнений для конкурентных реакций (9.2) — [c.217]

Методика расчета ректификационных колонн на ЭВМ построена на математических методах решения системы уравнений, описывающих процесс разделения. Решение нелинейных уравнений осуществляется методами Тилле [c.207]

Таким образом, метод последовательных приближений позволяет свести решение нелинейного уравнения (6.14) к бесконечной системе линейных уравнений. Отметим, что все эти уравнения первого порядка с правой частью. Применение их проще всего проследить на примере плоских одномерных волн, распространяющихся в трубах. Пользуясь уравнением (6.17), найдем решение уравнений первого приближения. Примем во внимание только колебания основного тона, полагая, что более высокими частотами при удовлетворительном гашении можно пренебречь. [c.148]

Более экономными по затратам времени являются методы, обеспечивающие одновременное решение всех уравнений системы. К таким методам относится алгоритм совместного решения системы уравнений ячеечной модели с обратными потоками при нелинейной равновесной зависимости [348], Метод расчета [c.169]

Таким образом, следует еще раз подчеркнуть, что методы нелинейного программирования служат не только для решения специфических задач, ио, кроме того, являются необходимым средством, к которому приходится обращаться и при решении оптимальных задач другими методами, а также задач вычислительной математики. Простейший пример — проблема решения системы нелинейных уравненнй с большим числом неизвестных, где практически единственными общими методами решения служат методы нелинейного программирования. [c.547]

Если же хотят применить аналитический метод, то для каждой отдельной системы нелинейных дифференциальных уравнений нужно разрабатывать собственные методы решения. Много работ такого типа было уже проведено, однако наши сведения по указанному вопросу весьма поверхностны. Хиггинс в прекрасном обзоре на эту тему приводит обширный список возможных подходов к решению. Здесь кратко дано несколько методов решения нелинейных систем. [c.106]

Предлагаемая методика первоначального задания 7) и обеспечивает устойчивую сходимость к решению системы нелинейных уравнений, описывающих процесс ректификации нефтяных смесей. [c.66]

При решении относительно независимых переменных 7), система нелинейных уравнений (3.1)-(3.5) разбивается иа две подсистемы уравнений [c.68]

Пусть адиабатический потенциал г Qi, Ск) нелинейной симметричной молекулы, являющийся формальным решением электронного уравнения Шредингера, имеет несколько пересекающихся в точке ветвей. (Для примера, на рис. 24 представлен случай двукратного вырождения, т. е. когда двум электронным состояниям Ф[ и Фг нелинейной симметричной молекулы отвечают в точке С одинаковые значения г , т. е. имеет место пересечение ветвей адиабатического потенциала). Тогда в этой точке потенциал не имеет минимума. Иными словами, для нелинейной симметричной многоатомной системы в случае электронного вырождения всегда найдутся такие ядерные смещения, для которых (дг дQ)Qo ф 0. [c.112]

Понятно, что решение системы (V.1) значительно сложнее решения одного нелинейного уравнения, но и для нее можно предложить итерационную процедуру. Прибавив х, к правой и левой части каждого -того уравнения системы (V.1), перейдем к системе вида (р = /с) [c.143]

Число возможных режимов работы ячейки при заданных определяющих параметрах и условиях Т ,. равно числу решений нелинейной системы алгебраических уравнений (VI.136), (VI.137). Эти уравнения формально эквивалентны хорошо исследованным уравнениям процесса на равнодоступной поверхности изолированного зерна (см. раздел 111.3), отличаясь от них только заменой истинных коэффициентов тепло- и массопередачи а и р на эффективные (меньшие) величины а и р. Скорость переноса вещества к поверхности ячейки меньше, чем скорость подачи вещества к равнодоступной поверхности изолированного зерна, так что переход ячейки от кинетического к диффузионному режиму должен происходить при больших числах Ке или меньших температурах потока. [c.250]

Решение системы нелинейных уравнений (П,72), (11,6) или (И, 7) осуществляют с использованием либо локальных, либо глобальных методов. [c.93]

Трудоемкость вычислительных процедур по решению системы нелинейных уравнений (II, 72) будет зависеть от порядка п данной системы. При этом селективное влияние переменных (разрываемых обратных технологических потоков) на вид нелинейных уравнений системы, что в общем случае может вызвать появлеине дополнительных трудностей в реализации вычислительных проце дур, не учитывают. Так как преобразование замкнутой многоконтурной ХТС в эквивалентную разомкнутую систему может быть осуществлено не только путем разрыва одной обратной технологической связи в каждой взаимосвязанной простой замкнутой подсистеме, то необходимо определить такие особые технологические потоки ХТС, чтобы величина п была минимальной и замкнутая ХТС при их разрыве превращалась бы в эквивалентную разомкнутую систему. Особыми технологическими потоками ХТС могут являться только те потоки, которые одновременно входят более чем в одну простую замкнутую подсистему. [c.94]

При решении уравнений фильтрации используются два метода (по выбору). По умолчанию используется полностью неявный метод решения, обеспечивающий устойчивость вычислений при больших временных шагах. При использовании этого метода обеспечивается заданная точность решения нелинейных уравнений, и погрешность материального баланса сохраняется пренебрежительно малой. Для решения нелинейных уравнений используется метод итераций Ньютона, при этом матрица фильтрационных коэффициентов разложима по всем переменным, что обеспечивает квадратичную (высокую) скорость сходимости. При решении сильно нелинейных задач используются различные методы ускорения сходимости. Система линейных уравнений на каждой ньютоновской итерации решается методом Nested Fa torisation с ускорением за счет применения метода Orthomin. [c.178]

Решение нелинейного уравнения (6) из [9] можно искать также и для членов вида (З ехр [Т (со1 псоа) Л ехр [Т 1 (сй1+ (02)(параметрическое возбуждение квантовой системы), которое имеет вполне определенное конечное значение, например [c.200]

Для компьютерного решения нелинейной многокомпонентной системы уравнений материального баланса - уравнений в частных производных, использован метод конечных разностей. Ранее разработан метод решения многокомпонентных уравнений динамики для S T-теории [10, 11] и составлена соответствующая явная численная схема ( предиктор-корректор ) расчета концентращш на (/ + 1)-ом временном слое по известным значениям на предыдущем -ом слое (и на промежуточном j + 0.5 слое). Теперь дополнительно к этому подходу в рассмотрение [c.74]

Гидродинамическая аналогия, основанная на тождественности в формально математическом смысле между функцией тока и потенциалом скорости идеальной жидкости в невихревом потоке и между функцией теплового потока и температурой в системе без источников тепла, была использована Муром и другими авторами для решения двухмерных задач стационарной т.еплопроводностм [83]. В даль-нейшем область применения этой модели была расширена на системы с распределенными источниками [111]. В 1928 г. Эмануэлем и несколько позднее Д. В. Будриным были сконструированы и построены модели, основывающиеся на аналогии математических соотношений, описывающих распределение температуры в твердом теле и распределение напоров в воде, движущейся через капиллярные трубки [3]. Установки, названные гидравлическими интеграторами, позволили решать задачи нестационарной теплопроводности. В. С. Лукьяновым позднее был разработан ряд интеграторов для решения двух- и трехмерных задач теплопроводности [39], а Будриным [3] — гидростатические интеграторы для решения нелинейных уравнений переноса параболического типа. [c.67]

В работе Амундсона, Коста и Рудда (см. библиографию на стр. 305) показано, что модель ячеек идеального смешения с N = PJ2 дает хорошее приближение к решению не только простого дифференциального уравнения, но и системы нелинейных уравнений для степени полноты реакции и температуры при Р = Р а. Это позволяет искать решение с помош ью алгебраических, а не дифференциальных уравнений. Полученные значения переменных у выхода реактора Г (1) и (1) можно затем использовать в качестве начальных условий при интегрировании дифференциальных уравнений в обратном направлении (от выхода к входу). Так как в этом направлении интегрирование численно устойчиво, можно найти путем итераций точное решение дифференциальных уравнений. [c.297]

При представлении нефтяных смесей в виде условных фракций, гфоцесс рекгиф1икации описывается системой алгебраических уравнений. Системы уравнений обычно записываются для теоретических тарелок, на которькх предполагается выполнение условия равновесия между уходящими с тарелки потоками пара и жидкости. Рассматриваемые системы уравнений обладают сильной степенью нелинейности. Решение их любым из известш.гх методов является трудоемкой вычислительной задачей и не всегда прж(), 1ит к заданной сходимости. [c.8]

Из приведён яого литературного обзора следует, что надёжность математической модели зависит от вы(5ора метода решения системы нелинейных уравнений, описывающих пропесс ректификации нефтяных смесей. Исходя из этого, ни е приводится краткая характеристика существующих методов решения сисгем нелинейных уравнений. [c.18]

Для всех квапиньютоновских и(лодов последовательные приближения при решении системы нелинейных уравнений (1..1) строятся следующим образом [c.22]

Выбор независимых пер к1епных и методов решения системы нелинейных уравнений, описывающих процесс ректи( икации в сложны.г разделительные системах [c.50]

Для решения дифференциальных уравнений с помош ью неявной разностной схемы требуется, чтобы эта матрица была близка к единичной, для минимизации же достаточна лишь ее положительная определенность. Очевидно, что это требование выполняется для выпуклой поверхности Ф(0) при сколь угодно большом Т. В этом случае траектория, даваемая неявной разностной схемой, обеспечивает достижение инфинума. При Г —оо неявная разностная схема приводит к известному условию (3.159), и задача опять может быть сведена к решению системы нелинейных алгебраических уравнений. Известно довольно много методов минимизации, основанных на решении этой системы [8, 69]. Однако сходимость подхода обеспечивается далеко не всегда даже для выпуклой поверхности Ф(0). [c.218]

Система Хартри — Фока (51) является системой нелинейных интегродифференциальных уравнений. Нелинейность уравнений означает, что их решения ф1 есть собственные функции оператора Р, который, в свою очередь, определяется через эти орбитали ф/. Эта особенность уравнеций Хартри — Фока позволяет решать их методом итераций. Однако мы не будем останавливаться здесь на вычислительной стороне дела. [c.79]

Этот подход может быть обобщен и на нелинейные системы (скорости реакций в матрице и наполнителе нелинейно связаны с концентрацией и температурой) и на существенно неизотерми-ческие реакции. Однако в этих случаях он просто сведется к алгоритму решения нелинейной системы уравнений, который, кстати, [c.290]

Это связано также с необходимостью проводить итерационные процедуры на основе предварительной оценки значений переменных вектора обратного технологического потока, чтобы свести расчет замкнутой многоконтурной системы к расчету эквивалентной разомкнутой системы, для которой справедливо соотношение (11,71). С математической точки зрения метод разрыва обратных технологических связей сводится к огаределению вектора 1/1 на основе решения системы нелинейных уравнений вида [c.93]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология