Оператор одночастичный

В тех случах, когда волновая функция всей системы представляется в виде линейной комбинации слейтеровских определителей, возникает задача вычисления матричных элементов одночастичных и двухчастичных операторов между двумя слейтеровскими определителями. Рассмотрим одночастичный оператор [c.58]

В этой сумме отличны от нуля только те слагаемые, для которых наборы (2.36 а) и (2.36 б) совпадают. Как и в случае одночастичного оператора, надо рассмотреть несколько случаев. [c.61]

Реальные молекулы и кристаллы, однако, часто облагают свойствами, которые не могут быть адекватно отражены в рамках одночастичного приближения. Физическая модель электронов в реальной среде не укладывается в упрощенную модель осцилляторов среды и для сложного многообразия не может быть интерпретирована с помощью только учета средних значений математических операторов и соответствующих им динамических переменных. [c.72]

При построении секулярного детерминанта удобно выбрать базисный набор, который отражает симметрию рассматриваемой системы ровно настолько, насколько это практически обосновано. Это уменьшает число матричных элементов, подлежащих вычислению. В данном случае оптимальный базис должен быть одновременно симметризован в соответствии с группами 8И п), К(3) и К(2) [см. цепочку (17.10)] или для частиц со спином 1/2 в соответствии с группами 81/(2) или Н(3) и К(2). Чрезвычайно простым для использования является базис спин-произведений, в котором каждая одночастичная функция представляет собой собственную функцию операций группы К(2), т. е. 2-компоненты углового момента. (Обозначим соответствующий оператор как Тг.) Для частиц со спином 1/2 такие функции связаны с магнитными спиновыми числами т5 12 и = = —1/2, т. е. являются спиновыми функциями аир. Функции, представляющие собой их простые произведения, не обязательно должны быть собственными функциями операций группы К(3) (т. е. квадрата полного углового момента, которому соответствует оператор Р), но из них легко построить линейные комбинации, являющиеся такими собственными функциями. Для системы из двух эквивалентных частиц со спинами 1/2, как, например, два протона в молекуле Нг, простые произведения спиновых функций таковы [c.356]

Все матричные элементы этого гамильтониана могут быть выражены через /гг и операторы повышения и понижения, а их значения — получены без проведения численных расчетов. Поскольку базисные функции представляют собой собственные функции оператора /г , последний не дает вклада в недиагональные матричные элементы. Диагональные элементы являются простой суммой одночастичных членов X и двухчастичных [c.358]

Спектр ЯМР молекулы водорода. Воспользуемся рис. 17.1 для теоретического построения спектра ЯМР молекулы водорода. Поскольку в качестве индексов симметрии в данном случае применимы индексы представлений группы 8(2) и поскольку оператор дипольного перехода не содержит перестановочных компонент (это одночастичный оператор), единственными наблюдаемыми переходами могут быть переходы между состояниями с одинаковыми перестановочными индексами, т. е. между состояниями и (Сказанное является лишь более [c.362]

Р Проекционный оператор ф Произвольная волновая функция д, Q Произвольная координата / Произвольная операция точечной группы К (3) Группа трехмерных вращений 5 Одночастичное спиновое квантовое число [c.402]

На математическом языке возможность сохранения понятия одной частицы в релятивистской теории сводится к требованию сохранения только тех операторов, которые пе смешивают разные зарядовые состояния. Такие операторы будем называть четными, или одночастичными. Оператор [/ ] называют четным, если [c.254]

Оператор Т нечетный, поэтому четной (или одночастичной) частью оператора координаты в Ф-представлении будет [c.254]

Следовательно, в состоянии с е связь между операторами производной по времени от [л]ф и импульсом соответствует связи между скоростью и импульсом частицы в классической теории. Поэтому оператор [Хф] можно назвать одночастичным оператором координаты частицы. [c.255]

Как уже отмечалось в 53, понятие одночастичной координаты частицы и соответствующего оператора х в релятивистской теории одной частицы должно быть изменено. К этому же заключению можно прийти, вычислив оператор скорости частицы со спином 1/2. Согласно 31, при учете явного вида оператора Гамильтона (60,2) уравнения Дирака, имеем [c.273]

В обычном координатном представлении волновые функции системы N частиц с о степенями свободы зависят от N0 переменных. В представлении вторичного квантования все операторы выражаются через операторы рождения и уничтожения частиц в одночастичных состояниях с числом степеней свободы только одной частицы, а состояние всей системы описывается функциями, зависящими от чисел, указывающих число частиц в каждом одночастичном состоянии. В связи с этим метод вторичного квантования значительно облегчает исследование систем с большим числом частиц. Этот метод практически незаменим при исследовании систем с переменным числом частиц, т. е. систем, в которых происходят взаимопревращения частиц. В последнем случае используется полевое описание, а именно частицы рассматриваются как кванты некоторого поля. Взаимодействие между частицами осуществляется через другие поля, квантами которых являются другие частицы. Поля соответствующих частиц рассматриваются как динамические переменные. Они являются функциями координат и времени. Однако эти координаты характеризуют точки пространства и не являются координатами частиц. [c.372]

В системе невзаимодействующих тождественных частиц, описываемых оператором (84,2), состояние каждой из них совпадает с состояниями одночастичного уравнения Шредингера [c.392]

Оператор Гамильтона (84,12) не коммутирует с оператором числа частиц ns — Ьз Ь , поэтому число частиц в одночастичных состояниях, определяемых функциями %s V), не является интегралом движения даже при отсутствии взаимодействия меледу частицами. Таким образом, выбор функций Xi( ) характеристики одночастичных состояний нельзя признать удачным. Однако если мы не знаем решений уравнения (84,4), то можно воспользоваться недиагональным оператором (84,12) [c.393]

Правило перехода (84,10) от оператора (84,2) в координатном представлении к оператору (84,5) в представлении вторичного квантования можно перенести на любые операторы в координатном представлении, если они выражаются через сумму одночастичных операторов. Пусть, например, [c.394]

Предположим, что состояние движения отдельного фермиона в некотором внешнем поле, порождаемом другими частицами например, атомными ядрами в атомах и молекулах), определяется оператором Гамильтона Я( ), где I — совокупность пространственных и спиновых переменных. Пусть е и срз( ) —соответственно собственные значения и собственные функции оператора Я( ). Индекс 5 характеризует все квантовые числа, определяющие одночастичное состояние. Полный гамильтониан в координатном представлении [c.403]

В представлении чисел заполнения состояние системы определяется указанием числа частиц в каждом одночастичном состоянии. Пусть оператор числа частиц в состоянии 5 имеет вид [c.404]

Если перенумеровать одночастичные состояния в каком-лкбо порядке и обозначить через з — число частиц в состоянии 5, равное О, или 1, то операторы, удовлетворяющие перестановочным соотношениям (86,8), можно записать в виде следующих матриц (в представлении, где оператор диагонален) [c.405]

Если Н )—еб)фа = 0 — уравнение, определяющее одночастичные состояния, то полный оператор Гамильтона системы невзаимодействующих фермионов можно записать в виде [c.406]

Операторы поля (86,12) в дырочном представлении принимают вид (энергия одночастичных состояний отсчитывается от ер) [c.410]

Все формулы этого параграфа сохраняют свой вид, если считать, что операторы Я( ) и функции ф5( ) заданы в импульсном представлении. Тогда % определяет компоненты импульса частицы и спиновую переменную. Импульсное представление удобно, если собственные функции одночастичного оператора Гамильтона изображаются плоскими волнами. [c.411]

Предыдущие формулы относились к случаю, когда одночастичные состояния определялись движением фермионов во внешнем поле (поле ядра и т. д.). Рассмотрим теперь частный случай, когда оператор Я( ) имеет собственные значения = = Ь к 1 2т) и собственные функции = Ф а= где [c.411]

Для большей конкретности предположим, что система состоит из ферми-частиц, имеющих спин и оператор Я( ), определяющий одночастичные состояния, имеет собственные значения й /г2/(2т). Тогда одночастичные состояния определяются волновыми функциями [c.413]

Решение уравнений Хартри — Фока (5.58) или (6.59) представляет собой нелинейную задачу нахождения одночастичных функций поскольку эти функции играют роль собственных функций, они входят в кулоновские и обменные операторы. Нелинейность служит причиной того, что уравнения Хартри — Фока, как правило, решают с использованием итерационной процедуры на первой стадии расчета делается предположение о приближенном виде одноэлектронных функций, а затем эти пробные функции ф (г = 1, 2,...,/г/2) подставляют в выражения для кулоновских и обменных интегралов, которые в случае системы с замкнутой оболочкой образуют члены суммы в выражении (5.596). Этот шаг позволяет построить операторы (1) в нулевом приближении и в результате решения системы уравнений (5.59а) вычислить несколько улучшенные одноэлектронные функции ф[ >. Из них выбирают п/2 функций, отвечающих п/2 низшим собственным значениям, и повторяют вычисления столько раз, чтобы функции ф >, вычисленные на к-м шаге итерационной процедуры, отличались от функций достаточно мало, причем критерий сходимости выбирают в соответствии с необходимой точностью расчета. Функции Ц)f удовлетворяющие выбранному критерию точности, рассматриваются как решение задачи. [c.106]

Такое представление оператора в отличие от прежнего [см. (4.66)] показывает, как все операторы в правой части равенств (6.104) действуют на одночастичную функцию. Разумеется, это не проявляется в простейшем случае, когда [c.150]

Введем оператор р, как интегральный оператор, ядром которого является одночастичная матрица плотности в однодетерминаитном случае [c.86]

Подставьте в оператор Р явное выражение для Й1. Можно ли сказать, что фокиан Р имеет вид одночастичного оператора Гамильтона — Да (с. 167). Нет (с, 129). Итак, уравнение / фй = ей фА. имеет вид уравнения Шредингера для одного электрона, если гамильтониан Й=Р. [c.17]

Кроме того, пустьф] и 4 2 -Уть функции основных состояний систем с гамильтонианами Я, и Л/2 соответственно. Разность И = У, - Уз не содержит операторов кинетической энергии и операторов межэлектронного взаимодействия, она определяется только различием во внешних для данной системы одночастичных потенциалах (связанном, например, с различием ядерных конфигураций) и зависит лишь от этих потенциалов. [c.321]

До сих пор мы рассматриваем перенос частии только за счет диффузии. Как упоминалось в 12,1, непрерывное описание не является строго необходимым, потому что процесс диффузии можно описать как скачки между ячейками и таким образом включить ее в основное кинетическое уравнение для многих переменных. Теперь рассмотрим частицы, которые свободно движутся и которые в этом случае можно описывать не только координатами г, но и скоростями V. Ячейки Л являются шестимерными ячейками в одночастичном фазовом пространстве. До тех пор, пока не происходит реакции, скорость V постоянна, а координата г непрерывно изменяется. В результате распределение вероятности изменяется таким образом, что его нельзя описать последовательностью скачков, а нужно использовать диф( )еренциальнын оператор. Таким образом, мы приходим к необходимости непрерывного описания. Но и в этом случае можно воспользоваться методом составных моментов. [c.321]

Обычно достаточно указать лишь пропорциональность, поскольку интенсивности принято выражать в условных единицах.) Для многоспиновой системы операторы /+ и 1 заменяются суммами соответствующих одночастичных операторов повышения и понижения. Если волновые функции представляют собой линейные комбинации произведений спиновых функций, как в выражениях (17.25), то для нахождения переходного диполя можно воспользоваться соотношениями (17.16) и условием орто-нормированности индивидуальных спиновых функций. [c.366]

Метод канонических преобразований особенно удобно применять при нахол<дении собственных значений гамильтонианов, записанных в представлении чисел заполнения, т. е. выраженных через операторы рождения и уничтожения частиц в некоторых одночастичных состояниях. Полная (частичная) диаго-нализация гамильтониана путем канонического преобразования к новым операторам рождения и уничтожения приводит к новым одночастичным (квазиодночастичным) независимым (почти независимым) состояниям. [c.228]

По аналогии со случаем частиц нулевого спина операторы, действующие на функцию Дирака, легко разложить на четную и нечетную части. Так как все положительные функции ортогональны ко всем отрицательным функциям, то средние значения всех нечетных операторов в состояниях, соответствующих определенному знаку X, всегда равны нулю. Последовательная одночастичная теория должна использовать либо решения, соответствующие положительным состояниям (Л=1), либо рещения, соответствующие отрицательным состояниям (Я = —1). Поэтому в последовательной одночастичной теории все физические величины должны выражаться через четные ( одиочастичные ) операторы ). При выполнении этого условия, как будет показано ниже, связи между операторами (и средними значениями физических величин) релятивистской квантовой теории одной частицы будут аналогичны связям между соответствующими величинами классической теории. [c.272]

Равенство (60,28) наводит на мысль, что в качестве одночастичного оператора координаты в квазирелятивистской квантовой теории одной частицы со спином /г можно взять четную [c.274]

Итак, в системе фермионов операторы физических величин выражаются через ферми-операторы увеличения и уменьшения 8 числа частиц в одночастичных состояниях 5 такими же формулами, как в системах бозонов операторы физических величин выражались через бозе-операторы м а (см. (86,14), (86,15)). Если система состоит из фермионов разного сорта, то каждому типу фермионов сопоставляется свой оператор Ф и свои операторы рождения и уничтожения, которые действуют на числа заполнения фермионов данного сорта. Операторы относящиеся к разным сортам фермионов, антикоммутируют между собой. Если в системе имеются фермионы и бозоны, то -операторы фермионов коммутируют с операторами бозонов. [c.408]

В этом параграфе мы рассмотрим квантование электронно-позитронного поля, описываемого уравнением Дирака. Согласно 60, одночастичный оператор Гамильтона уравнения Дирака для свободного движения выражается через дираковские матрицы р и а равенством [c.427]

Амплитуда фоторождения заряженного пиона при низких энергиях имеет наиболее простую структуру. Эта амплитуда приводит к образованию 8-волновых пионов как на нейтронах, так и на протонах, и определяется большой электрической дипольной амплитудой Ео -, т.е. кролл-рудермановским членом (8.12) и (8.13). Напомним (см. раздел 7.2), что пион-ядерное взаимодействие в этой области является слабым, так что достижимо количественное описание. Ситуацию хорошо иллюстрируют реакции Не(у, гг+) Н и Не(гг , у) Н вблизи порога пионообразования. В импульсном приближении в первую реакцию вносит вклад только реакция ур - - я п с одночастичным оператором 1] сн(ур- пл )а-е т-, а во вторую — только процесс л р- пу с оператором Ш(н (уп-> ря )а е т-. [c.340]

Подавление константы аксиально-векторной связи g. Эмпирически из рис. 10.6 можно найти, что интенсивность ГТ-переходов в тяжелых ядрах, проинтегрированная до 30 МэВ, составляет только около 60% величины правила румм (10.18). Этот результат можно по-другому интерпретировать как некоторое утверждение относительно эффективной константы аксиально-векторной связи в ядрах ( а)эФф- По разделу 9.6.4 мы уже знакомы с представлением о том, что эффекты ядерной среды перенормируют константу свободного нуклона gA==l,26. Вспомним, что с точностью до множителя gA гамов-теллеровский оператор <тс совпадает с одночастичным аксиальным током (10.3.4) при q = 0 [c.406]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология