Точное решение разностно-дифференциального уравнения

Точное решение разностно-дифференциального уравнения [c.165]

В своей работе [70] Г. Л. Поляк и В. Н. Адрианов графически сопоставляют величины (безразмерных тепловых потоков излучения сквозь поглощающую и излучающую среду, находящуюся между двумя параллельньши бесконечными изотермическим абсолютно черными (61 = 62=1) плоскостями, подсчитанные по различным формулам, с кривой X. Хоттела 1, которую он получил путем точного решения интегрального уравнения на ЭВМ. Из сравнения видно (рис. 22,а), что к этой кривой довольно близки, но лежат несколько ниже (кривая 2) значения, найденные по формуле (4-6) П. К. Конакова, которую авторы работы [70] также выводят дифференциально-разностным методом. [c.64]

Существенным моментом при выборе метода является размерность задачи. Некоторые методы эффективны при решении небольших задач, однако с увеличением числа переменных объем вычислений настолько возрастает, что приходится от них отказываться. Такого класса задачи обычно имеют место при решении систем уравнений, поиске оптимальных значений параметров многомерных функций. Соответствующим выбором метода можно уменьшить время решения задачи и объем занимаемой памяти. Так, при решении систем линейных алгебраических уравнений объем вычислений для точных методов (типа метода Гаусса) пропорционален а для итерационных (типа простой итерации) — Л , где N — число неизвестных. При решении дифференциальных уравнений разностными методами матрица коэффициентов системы при числе узловых точек N содержит N элементов (при N = 100 для исходной информации необходимо отвести свыше 10 ООО слов оперативной памяти). Однако при [c.24]

Метод интегральных тождеств. Опишем метод построения разностных уравнений на основе интегральных тождеств, которым удовлетворяет точное решение дифференциального уравнения. Впервые метод интегрального тождества был предложен Г. И. Марчуком [1, 3] для численного решения диффузионного уравнения с разрывными коэффициентами. В работе [7] дан более общий метод построения интегральных тождеств, использующий вспомогательные дифференциальные операторы, которые допускают обращение в явном виде на каждом интервале разностной сетки и учитывают те или иные особенности дифференциального оператора исходной задачи. Частный случай такого подхода применялся в [10] при построении схем высокого порядка точности для одномерного уравнения теплопроводности. [c.145]

Рассматриваются два дополняющих друг друга подхода для численного решения краевых задач с большими градиентами. Предлагается метод построения специальных разностных схем, учитывающий те или иные особенности в поведении точного решения дифференциальной задачи. Исследуется корректность и сходимость метода. Для уравнений с малыми параметрами при старшей производной строятся разностные схемы второго порядка точности, равномерного по малому параметру. Для решения нестационарных краевых задач с большими, меняющимися во времени градиентами предлагается метод нестационарных (зависящих от номера временного слоя) пространственных сеток. Исследуется его устойчивость и сходимость. [c.168]

Существенный момент применения рассмотренного метода — выбор величины шага интегрирования А/. С одной стороны, чем меньше принятое значение А/, тем точнее аппроксимация (V, 147) и, следовательно, меньше ошибка интегрирования. С другой стороны, время, необходимое для определения решения в заданном интервале [ °), №] изменения независимой переменной "t, возрастает с уменьшением величины шага интегрирования пропорционально 1/А/. По этой причине разработан целый ряд методов [6], основанный на замене дифференциального уравнения (V, 145) более точным разностным уравнением, чем уравнение (V, 148). [c.228]

В конце предыдущего параграфа были рассмотрены дифференциальные уравнения в частных производных гиперболического типа (21) и (22) и иллюстрированы трудности получения точного численного решения разностными методами. [c.191]

В результате расчет математической модели сводится к решению краевой задачи для системы уравнений (2.3-2.5). Численное решение проводилось с помощью неявной разностной схемы. Аппроксимация дифференциальных уравнений разностными имеет порядок 0 (т + где т, й-шаги по X и г соответственно. Исключающие условия задаются точно, а краевые условия аппроксимируются с точностью О (И). Разностная система уравнений решается по методу итераций. Массовую функцию распределения Ри 0) по степеням полимеризации на выходе из реактора длиной I и моменты (/0-/3) рассчитывали по формулам [c.93]

Для любой схемы должен решаться вопрос о ее сходимости. Разностная схема называется сходящейся при стремлении h ж х к нулю, если решения системы разностных уравнений при этом стремятся к точному решению дифференциального уравнения. Вопросы сходимости и устойчивости являются центральными при выборе той или иной конечно-разностной аппроксимации дифференциальных уравнений. Мы не имеем возможности останавливаться на этих проблемах и отсылаем читателя к соответствующим математическим руководствам. [c.46]

В числовом примере был использован метод конечно-разностной аппроксимации дифференциальных уравнений, а не точные решения (5) и (6). Если даже известна аналитическая форма решений, все равно необходимо оценить члены ki при некоторых средних условиях. Преимуществом использования конечно-разностной аппроксимации по сравнению с дифференциальными уравнениями является большая общность метода. Этот метод пригоден и тогда, когда решения уравнений нельзя представить в замкнутой форме. [c.159]

При больших скоростях движения газа, т.е. при больших Ке, на коэффициент оказывает влияние шероховатость стенок трубы, степень которой выражается отношением Д/с/. В этом случае Х определяют по (5.16). Использование (5.19) - (5.21) для расчета движения газа в длинном трубопроводе может привести к существенным ошибкам, связанным с изменением по координате коэффициентов гидравлического сопротивления, сверхсжимаемости и температуры. Для точного численного решения уравнения (5.18) интервал изменения аргумента 2, т.е. длина трубопровода, разбивается на отдельные малые участки, на которых изменение указанных параметров несущественно. Обозначим начальную точку такого участка точкой А, конечную — В. Соответствующими индексами будем помечать значения переменных в этих точках. Тогда разностная запись дифференциального уравнения (5.18) примет следующий вид [c.141]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология