Решение нестационарных задач

Нестационарные задачи. Аналитические решения нестационарных задач теплопроводности получают, решая (1.3). При отсутствии внутренних источников тепла оно сводится к (1.4). Процедура аналитического решения очень похожа на использованную при решении двумерной стационарной задачи. Рассмотрим плоскую пластину, неограниченную в направлениях у и 2. Пусть координата х=0 соответствует одной поверхности плг.стины, а х=Ь — другой (т. е. толщина пластины равна Ь). В начальный момент вся пластина имеет однородную температуру 1о. Требуется определить распределение температуры в пластине, после того как ее поверхности мгновенно охлаждаются до =0. [c.20]

Уравнение (11.22) служит основой для построения нелинейной теории упругого режима фильтрации. При решении конкретных задач фильтрации для уравнения (11.22) формулируются обычные начальные и граничные условия (см. гл. 3 и 6), вытекающие из условий задачи. Вместе с тем следует иметь в виду, что при решении нестационарных задач на основе модели фильтрации с предельным градиентом в пласте образуется переменная область фильтрации, на границе которой (пока она не достигнет границы пласта) модуль градиента давления должен равняться предельному градиенту у, а давление - начальному пластовому. [c.344]

Для моделей динамических процессов мы приведем результаты исследования вопросов устойчивости стационарных решений, стабилизации решений нестационарных задач, о максимально допустимых отклонениях, не вызываюш их выхода из области устойчивости , т. е. критерии так называемой технической устойчивости . [c.84]

Графический метод решения уравнения теплопроводности, называемый иногда методом Шмидта [12], не требует сложных вычислений и позволяет получить практические решения нестационарных задач с различными граничными условиями. Однако он применим лишь для тел простейших геометрических форм или простых составных тел, таких как ряд параллельных плоских стенок. [c.24]

Задача управления. Основной целью нашего исследования является конструирование такого управляющего воздействия, которое с помощью обратной связи изменит динамические характеристики системы возле интересующего нас стационарного режима и сделает его устойчивым. Синтез регулятора базируется на анализе линеаризованной в окрестности выбранного стационарного решения системы, поведение в целом изучалось путем решения нестационарной задачи методом, изложенным в разд. 2. [c.123]

Рассмотрим процедуру численного решения нестационарной задачи. После дискретизации кинетического уравнения задача сводится к решению линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Таким образом, задача сводится к вычислению матричной экспоненты от плохо обус- [c.197]

При решении нестационарных задач должны быть заданы распределения температур в потоке и, в общем случае, внутри частицы в начальный момент времени. [c.14]

Нестационарный массообмен в случае объемной химической реакции первого порядка.. Отметим, что результаты решения нестационарных задач конвективного массопереноса к каплям, пузырям и твердым частицам могут быть использованы для исследования более сложных нестационарных задач, соответствующих протеканию в жидкости объемной химической реакции первого порядка. Действительно, рассмотрим уравнение [c.279]

Автор стремился во втором издании подробнее изложить теорию вопроса и еще теснее связать ее с практическими применениями. Даны основы термодинамической теории процессов переноса и подробно развита гидродинамическая теория многокомпонентной диффузии, включающая приближенный метод описания термодиффузии. Для решения нестационарных задач диффузионной кинетики применено преобразование Лапласа. Дано строгое математическое обоснование метода равнодоступной поверхности для ламинарного потока. Очень многие результаты, которые в первом издании настоящей книги получались приближенными методами, были с тех пор проверены и подтверждены с помощью трудоемких расчетов на быстродействующих вычислительных машинах. Результаты таких расчетов отражены во втором издании. [c.6]

Численные результаты. Для обоснования точности и вычислительной устойчивости приведенного выше подхода были рассмотрены задачи, для которых имеются решения в замкнутом виде, приведенные, например, в [ 11]. Так, влияние краевых условий и схемы дискретизации по пространству исследовалось на примере решения задачи (5.4), (5.2) о стационарном нагреве бесконечно длинного толстостенного цилиндра. Особенности использования МКЭ для решения нестационарных задач теплопроводности исследовались на примере о мгновенном нагреве поверхности длинного сплошного цилиндра до заданного значения температуры. [c.175]

Классический метод разделения переменных Фурье состоит в том, что решение нестационарной задачи для распределения концентрации целевого компонента в неоднородном теле ищется в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от времени, а другая — от координаты. Использование такого проекта решения приводит к разделению уравнения в частных производных (1.45) на два дифференциальных уравнения в полных производных, каждое из которых, как правило, сравнительно легко решается, после чего общее решение оказывается возможным представить в виде бесконечного сходящегося ряда, коэффициенты которого определяются из начального условия задачи. [c.53]

Нестационарные задачи теплообмена развитых поверхностей являются математически более сложными, нежели исследованные ранее стационарные задачи. Все рассматриваемые в настоящей главе случаи, начиная с задачи теплопроводности для радиального ребра прямоугольного профиля, у которого мгновенно повышается температура в основании (а температура окружающей среды постоянна и однородна), не могут быть решены аналитически. Поэтому значительная часть представленного в этой главе материала отведена методу конечных разностей и описанию обобщенной программы решения нестационарных задач. [c.259]

Реализация нестационарного метода предусматривает проведение процесса экстрагирования с частицами материала правильной геометрической формы при условиях, для которых имеется аналитическое решение нестационарной задачи. Среднее значение концентрации целевого компонента в частицах материала, определенное экспериментально, сравнивается с ана- [c.144]

Пример 1.1. Сравнение различных методов решения нестационарной задачи теплопроводности. [c.25]

Полное решение нестационарной задачи (7.5) представляет собой сумму уравнений (7.11) и (7.12) [c.261]

Это соотношение говорит о том, что решение будет колеблющимся, если только выбранный временной интервал Ат не удовлетворяет неравенству (7.32). Вид соотношения (7.32) меняется в зависимости от конкретного способа передачи тепла. Выбор надлежащего интервала времени входит в обобщенную программу решения нестационарных задач, детальному описанию которой посвящен следующий параграф. [c.265]

ОБОБЩЕННАЯ ПРОГРАММА РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ [7.2] Принцип расчета [c.265]

Форма записи входной информации по существу та же, что и в описанной в гл. 6 программе решения стационарных задач. Многие комплекты входных данных в этих программах взаимозаменяемы. Поэтому в настоящей главе при описании обобщенной программы решения нестационарных задач учитывается уже изложенный в гл. 6 материал и анализируются лишь специфические и дополнительные стороны программы. [c.265]

Нулевой комплект входных данных, содержащий демпфирующие множители, не нужен в программе решения нестационарных задач. Время в этой программе выступает в качестве независимой переменной. Все итерации проводятся по времени. Тепловые потоки рассчитываются как функция времени, и большие колебания решения из-за малых разностей температуры не возникают. [c.267]

В программе решения нестационарных задач не задаются оценки начальных значений температуры. Приводимые в комплекте 5 значения являются действительными начальными значениями температуры узлов. [c.268]

Используя модель с 10 ячейками, с помощью обобщенной программы решения нестационарных задач определить профиль температуры в ребре через 1 мин после того, как температура в основании ребра скачкообразно повышается до 200°Р . [c.272]

Таблица П-7 Обобщенная программа решения нестационарных задач

В девятой главе рассмотрены методы оптимизации, предлагаемые для расчета ступенчатых и непрерывных систем. Здесь под ступенчатыми понимаются многостадийные процессы, происходящие, например, в последовательности реакторов и т. п. Для рещения задачи оптимизации таких систем предлагаются методы вариационного исчисления, принципа максимума Понтрягина, динамического программирования. После описания этих методов рассматривается возможность их применения для различных задач. Изложены принципы решения нестационарных задач. В заключение проводится сравнение методов оптимизации, описанных в четвертой и девятой главах, и даются некоторые рекомендации по их использованию. [c.8]

Как указывалось выше, большинство уравнений математического описания представляют собой дифференциальные уравнения с краевыми условиями, заданными на разных границах слоя катализатора. Вообш,е говоря, решать такие уравнения можно как начальные задачи, подбирая ряд условий на одной границе, чтобы в результате расчета выполнить их на другой. Однако подбор краевых условий ( пристрелка ) связан с значительным числом решений одной задачи и поэтому не всегда целесообразен. Кроме того, описанный метод из-за возможной неустойчивости не всегда позволяет получить решение. Более эффективным методом решения стационарной краевой задачи является переход к сложной нестационарной. Оказывается, что при усложнении исходной системы уравнений нахождение решения в стационарном режиме значительно упрощается. В этом случае трудности, связанные с заданием краевых условий, отпадают, поскольку анализируется переходный процесс одновременно во всем слое катализатора из начального состояния в конечное стационарное, определяемое заданной исходной системой уравнений. При помощи рассмотренного метода удается создать общий подход к использованию численных методов, применение которых не зависит от числа уравнений, входящих в математическое описание встречающихся видов граничных условий, кинетических закономерностей процесса и знания приближенного решения. Помимо этого достигаются простота осуществления алгоритма на вычислительной машине, ограничение объема перерабатываемой информации, быстрая сходимость расчетов и т. п. Решение нестационарных задач дает также возможность рассчитывать переходные режимы и влияние различных возмущений на течение процессов. [c.486]

Для рассмотренной нестационарной модели построен интеграл энергии , показана диссииативность граничных условий и доказана единственность решения нестационарной задачи. [c.126]

Решение нестационарной задачи значительно упрощается в условиях регулярного теплового режима, когда для описания температурного поля достаточно использовать первую моду ряда Фурье. Для решения задачи просева заготовки в виде цилиндра с эксцентричным отверстием используется преобразование Лапласа, решение в области изображений обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка методом Галеркина и переход в область оригиналов. Теплофизические свойства материала считаются постоянными. На поверхности принимается граничное условие первого рода. [c.72]

К методам второй группы относятся явные (полуявные) схемы метода конечных разностей для решения нестационарных задач теплопроводности и распространения волн. Конечно, это раз-биепие методов иа две группы в значительной мере условно, тем не мепее оно позволяет сориентироваться пользователю в выборе метода решения нужной задачи, исходя из имеющихся в его распоряжении машинных ресурсов. Так, методы первой группы требуют больших затрат машинной памяти, но по количеству операций они экономичнее методы второй группы могут быть реализованы на машинах с небольшой оперативной памятью (с многочисленными прерываниями, причем информация в конце каждого шага или этана имеет, как правило, практическую ценность), однако для достижения высокой точности требуются боль- [c.157]

В то же время теория процессов горения до настоящего времени развита недостаточно полно, отсутствуют методы расчета должной точности. В результате возникает необходимость длительной кропотливой опытной доводки почти всех устройств и агрегатов, в которых протекает процесс горения. Можно назвать причины существующего положения. Во-первых, главный участник процесса горения — топливо — является комплексом природных органических веществ очень сложного химического строения. Правда, при нагреве и взаимодействии с окислителем происходит распад этих комплексов на простые соединения и элементы, но при анализе процесса горения невозможно обойтись без учета поведения горючего в его исходной форме и промежуточных состояниях. А это крайне, затрудняет изучение процесса. Во-вторых, в процессе горения, так же, как и в других химических пронессах, обязательны два этапа создание молекулярного контакта между горючим и окислителем (физический этап) и само взаимодействие молекул с образованием продуктов реакции (химический этап). При этом второй этап протекает только у молекул, находящихся в особом энергетически или кинетически возбужденном состоянии. Возбуждаются же молекулы в результате начавшегося процесса. Поэтому при изучении процесса горения нельзя рассматривать участвующие в нем вещества как однородную массу одинаковых средних молекул. Даже при рассмотрении простейших реакций горения необходимо учитывать различия между отдельными молекулами, составляющими сложную полисистему. В-третьих, горение принципиально не является равновесным процессом. При горении обязательно возникают неоднородности состояния молекул, их концентраций, неравномерности полей температур и скоростей потоков. Из этого вытекает необходимость одновременного решения нестационарных задач массо- и тепло-переноса и химической кинетики в движущихся потоках, причем наиболее часто при турбулентности, вызванной самим процессом горения. [c.4]

На рис. 6.1, а показаны линии ф = onst стационарного ноля течения в квадратной выемке при Re = 300, полученные нри решении нестационарной задачи методом установления. Начальные данные имели вид (6.6.2), использована равномерная разностная сетка с числом узлов п = 20, т = П. Из рис. 6.1, а видно, что течение пмеет циркуляционный характер его интенсивность, определяемая по плотности расположения линий тока, наибольшая в верхней части области, где жидкость вовлекается в движение дви кущейся крышкой за счет сил трения. В связи с. увлечением жидкости крышкой движение несимметрично центр вихря, в котором значение функции тока максимально, смещен по направлению движения, т. е. в сторону [c.195]

Простейший вариант основной схемы, рассматривавшийся в 6.3—6.5, применялся для решения задач о течении однородной песжимаемой жидкости в работах Т. В. Кусковой [6]. Использовались симметричная аппроксимация на равномерной сетке и граничные условия типа (6.5.6), (6.5.7). В специальных методических расчетах получено, что основной причиной неустойчивости отой схемы являются приближенные граничные условия для вихря. Этот вариант схемы применялся в работе [6] для решения внутренних и впешпих стационарных задач однородной изотермической жидкости (и отчасти задач конвекции в [10]). В дальнейшем близки11 вариант этой схемы широко использовался в работах [11] — [13] для решения нестационарных задач конвекции. Успех расчетов ио схемам этого типа в значительной степени определяется правильным выбором сеточных параметров, которые зависят также и от конкретной.задачи (класса задач), п от значений критериев подобия. Наиболее полно методические эксперименты на этом этапе выполнены в работах [6], [И]. Отметим также ряд [c.247]

Сотрудником ВЦ СО АН СССР В. Кузиным и студентом Томского государственного университета В. Братчиковым составлена программа для расчета неподвижного слоя катализатора с учетом продольного переноса тепла и вещества. В программе использовано решение нестационарной задачи. Пример решения задачи (6) дан на рис. 4 и 5. [c.65]

Решение нестационарной задачи ищут в виде последовательности решений стационарных задач с шагом во времени (метод Либмана), Пусть нестациоиарность создается изменением температуры на границах области. Исходное состояние до внесения изменений принимается за нулевое, В граничные точки подают потенциалы граничных условий для времени Т1=ДТ, а на свободные концы сопротивлений — потенциалы этих узловых точек в предыдущем (исходном) состоянии. Измеряют и записывают потенциалы во всех узловых точках, относящиеся к моменту времени Т], Затем в граничные точки подают потенциалы граничных условий для момента Т2=2ДТ, э на свободные концы сопротивлений Я —потенциалы этих точек в предыдущий момент времени Т . Измеряют и записывают потенциалы во всех узловых точках, относящиеся теперь к моменту времени Та, Процедуру повторяют до нужного момента времени Хп = пАх. Для двухмерных температурных полей устойчивые решения получаются при значениях чисел Ро 1/4, Этим соотношением определяется связь между шагом во времени и размерами ячейки. [c.402]

Остановимся на анализе полученных решений нестационарных задач. В этих решениях граничные условия не зависят от времени. Поэтому с ростом т распределение температур в кристалле будет стремиться к стационарному. Следовательно, задание начального распределения температуры в полубескоиечном стержне влияет только па изменение температуры в начальный период. Через некоторое время температура в фиксированной точке пространства будет постоянной, несмотря на различные начальные распределения температуры. Однако характер изменения температуры в первый момент времени будет существенно зависеть от начального распределения температуры. Проиллюстрируем сказанное на примере задачи ( .94). Па рис. 52 приведены результаты изменения температуры во времени в точке с координатой 2 = 0,035 м, полученные из решения ( .94) при [c.152]

Общая расчетная схема решения нестационарной задачи неустановившегося течения вютючает выполнение следующих этапов. [c.205]

Кроме того, при каждом решается нестационарная итерационная задача, в результате получается стационарное решение, соответствующее данному Каждая из этих нестационарных задач характеризуется своим временным шагом dtj . Оказалось, что сходимость нестационарной задачи зависит от соотношения величин и dtj . В данной задаче наблвдалась хорошая сходимость при dtj = o , где 0,5-0,7. Следует отметить также, что величина dtj не должна превышать величиг шага сетки интегрирования dXj . При выполнении этих условий наблвдалась устойчивая равномерная сходимость решения нестационарной задачи к решению исходной стационарной задачи. Число последовательно решаемых аппроксимационннх задач, соответствущих для выполнения заданной точности не превышало 4. [c.128]

Одномерное стационарное решение й х ) молчет быть найдено неносредственным решением стационарной задачи, соответствующей задаче (1.1), (1-2), или, в случае устойчивости решения й х ) по отношению к одномерным возмущениям, решением нестационарной задачи. В численном методе решения предусмотрены обе возможности. [c.86]

Решение нестационарных задач диффузии при наличии химического прввраще- ния затруднительно, В последнее время ИкП.Выродовым была предпринята попытка решть нестационарные задачи, приводящие "к уравнениям (5) и (8), однако им была рассмотрена только реакция первого порядка, и вряд ли можно признать удобным решение в виде бесконечного тригонометрического ряда, [c.463]

Решение нестационарной задачи продставлено в виде графиков на рис, 4-. По этим дaниыIvI было вычислено значение эффективной глубины проникновения в различные моменты времени и результаты представлены в виде графика на рис.5. [c.468]