Система разностных уравнений

Полученные системы разностных уравнений испытывались тестовым методом. В результате получено необходимое условие для устойчивости этих разностных схем. На рис. 2.2 приведена блок-схема алгоритма решения системы уравнений (2.29) — (2.32) на ЭВМ. [c.163]

Алгоритм решения системы разностных уравнений. Метод Ньютона — Канторовича. Применим для решения разностной схемы (14) метод Ньютона — Канторовича (индекс п опущен, 2 = = Г"- , X = Х" ) [c.141]

Будем считать, что приближенное решение задачи (1), (2) удовлетворяет полученным равенствам точно. Исключив из них с помощью равенств (9) п — i неизвестную, получим систему из 2п алгебраических уравнений, содержащую 2п + 2 неизвестные. Недостающие два уравнения дают граничные условия (2). Более простая система разностных уравнений получается из равенств [c.148]

Как показано в Приложении Б, элементы -ой строки матрицы , используемые в формуле (У,16), являются решениями системы разностных уравнений см. уравнения (70), стр. 2351 с граничными условиями [c.155]

Для определения производных (У,6) и (У,7) существуют два метода. Легко видеть, что онп являются дискретными аналогами методов вычисления производных (1У,45) и (1У,46) для случая, когда реакторы описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Действительно, формулы (У,15) и (У,16) представляют собой соответственно дискретные аналоги формул (ГУ,72) и (ГУ,73) а формулы (У,21) и (У, 22) — дискретные аналоги формул (ГУ,42). В частности, систему уравнений (У,17) по аналогии с системой (ГУ,37) можно назвать сопряженной системой разностных уравнений. [c.156]

Здесь Рн к) удовлетворяют системе разностных уравнений [c.159]

Таким образом, при применении этого метода экстремальная задача сводится к решению краевой задачи для системы разностных уравнений, которое аналогично решению краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Некоторые методы решения таких краевых задач рассмотрены в главе УП, посвященной применению принципа максимума Понтрягина. [c.159]

Таким образом, систему (1Х,4) — (IX,10) можно представить следующим образом имеется разветвленная система разностных уравнений (IX,4), (IX,5), (IX,7), (IX,8), (IX,10) с краевыми условиями (IX,6) в начале (во входных блоках схемы) и условиями (IX,9), в конце (для выходных блоков). Следовательно, решение системы (IX,4) — (IX,10) можно трактовать как решение своеобразной краевой задачи. Отсюда возникает естественное желание обобщить разработанные методы решения данной задачи для уравнений принципа максимума Понтрягина на решение указанной системы уравнений. [c.201]

В численных конечно-разностных методах дифференциальная задача заменяется или, как говорят, аппроксимируется системой разностных уравнений. Совокупность разностных уравнений и краевых условий, записанных в разностной форме, называется разностной схемой ). Методы решения системы разностных уравнений, возникаюш ей при записи разностных операторов для всех точек сетки, представляют самостоятельную проблему. [c.268]

Начальные условия для этой системы разностных уравнений имеют [c.31]

Найдя соответствующие производные, можно показать, что система разностных уравнений будет иметь прежний вид (15а — 15в). Краевые условия будут иметь вид [c.32]

Соотношения (10—12) вместе с соответствующими начальными условиями и являются формулами метода прогонки, представляющими собой модификацию метода исключения Гаусса, использующую специфику нашей системы разностных уравнений. [c.72]

Пример 10. При проектировании ректификационных установок определение таких технологических параметров, как флегмовое число,число тарелок, положение тарелки питания, производится по некоторым критериям путем проведения многократнйгх расчетов с использованием определенной стратегии (см. с. 146). Процесс итеративного поиска этих параметров, как правило, приводит к существенным затратам машинного времени. Решение этой задачи более эффективно с использованием метода квазилинеаризации. В этом случае для описания ректификационной колонны используется система разностных уравнений с граничными условиями, решение которой возможно приведением ее к линейному виду и определением частного и однородных решений. При этом одной из переменных является и флегмовое число. Таким образом, удается исключить итерации по флегмовому числу, определяя его совместно с другими переменными задачи [18]. [c.61]

Рассмотренную выше модель можно представить в виде системы разностных уравнений [c.151]

Если для двухатомных молекул использовать модель квантовых осцилляторов, то вместо соответствующего кинетического уравнения следует рассматривать систему разностных уравнений для заселенности уровней (см. 22). Сопряженному уравнению в квантовом случае также будет отвечать система разностных уравнений для t) — вероятности достижения границы за время I с уровня к. [c.134]

УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ [c.148]

Система разностных уравнений зуя только что насчитанные [c.478]

После аппроксимации дифференциальной задачи следует говорить уже об устойчивости системы разностных уравнений. Это условие цели- [c.89]

Из системы разностных уравнений (IV-10) получаем систему диф ференциальных уравнений [c.85]

Для любой схемы должен решаться вопрос о ее сходимости. Разностная схема называется сходящейся при стремлении h ж х к нулю, если решения системы разностных уравнений при этом стремятся к точному решению дифференциального уравнения. Вопросы сходимости и устойчивости являются центральными при выборе той или иной конечно-разностной аппроксимации дифференциальных уравнений. Мы не имеем возможности останавливаться на этих проблемах и отсылаем читателя к соответствующим математическим руководствам. [c.46]

Опишем кратко метод решения системы (6.28) — (6.33) при заданном вдоль струйки тока распределении давления [79, 94, 143]. Пусть требуется определить решение в точке Хт при известном решении в точке Xm-i и известном значении давлепия в точке х,п. Тогда система(6.28) — (6.33) (без уравнений (6.30) и (6.32), которые используются на заключительном этапе расчета для определения р а F) аппроксимируется со вторым порядком точности следующей системой разностных уравнений [c.263]

Среди возрастных моделей следует, прежде всего, выделить дискретные модели, в которых популяция делится на конечное число возрастных групп. Если время также моделируется дискретным образом, то динамика таких систем описывается системой разностных уравнений Лесли [2] [c.80]

Необходимо отметить, что существует бесконечное число преобразований системы разностных уравнений (2.359), дающих аппроксимацию уравнения кинетической энергии. Например, для аппроксимации скорости, на которую умножается уравнение движения при получении искомого разностного уравнения кинетической энергии, мож- [c.178]

Доказательство гладкости функций при использовании предложенного подхода моделирования ГУ основано на гладкости решения для внутренних узлов расчетной сетки. К сожалению, данное свойство решения наблюдается не всегда. Иногда решение системы разностных уравнений носит так называемый пилообразный характер. В этом случае значения параметров, полученные с использованием разностной схемы, поочередно располагаются сверху и снизу относительно истинного решения. Подобная рябь может объясняться отсутствием монотонности разностной схемы (см. также [95]). Пилообразный характер решения может наблюдаться при сколь угодном измельчении [c.198]

СИСТЕМА РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ [c.147]

Процесс итеративного поиска этих параметров, как правило, приводит к существенным зат4затам машинного времени. Решение этой задачи более эффективно с использованием метода квазилинеаризации. В этом случае для описания ректификационной колонны используется система разностных уравнений с граничными условиями, решение которой возможно путем приведения ее к линейному виду и определения частного и однородных решений. При этом одной из переменных является и флегмовое число.Таким образом, удается исключить итерации по флегмовому числу, определяя его совместно с другими переменными задачи [20]. [c.277]

Для решения линейной системы разностных уравнений первого порядка можно воспользоваться формулами (7.29), т. е. искать его как комбинацию частного и однородных решений. При этом константы I определяются в результате решения системы линейных уравнений, образованной граничными условиями (7.33)—(7.36). Хотя количество дистиллята — переменная величина, определяемая в процессе расчета, для каждой последующей итерации эта величина является константой, вычисленной по результатам предыдущей итерации. Для этого необходимо решать на каждой итерации уравнение с одной неизвестной, например, методом Вегстейна. Этим самьт удается свести задачу поиска коэффициентов а,- к решению системы линейных алгебраических уравнений. Заметим, что в формулах (7.29) конечное значение индексов суммирования равно количеству недостающих начальных условий. [c.279]

Алгоритм решения системы разностных уравнений. ТГростая итерация. На каждом временном шаге реализация разностной схемы (14) требует решения системы алгебраических уравнений с нелинейной правой частью и с матрицей специфической структуры. Применим для ее решения метод простой итерации (индекс п опущен, Г = Г"-, X = Х"- ) [c.138]

Из (2.19) следует система разностных уравнений, которая имеет такой же вид, как и (2.16). и также решается методом матричной прогонки. Однако при этом линейность уравнений позволяет нам значительно сократить вычисления, так как нет необходимости на каллдой итерации вьшолнять обращение матриц, что является обязательным в методе прогонки — обратные матрицы вычисляются лишь вначале и не изменяются в процессе итерации. В ходе итераци компоненты могут неограниченно расти либо стремиться к нулю. Как только значения комнонент выходят из некоторых границ, производится нормировка /7 . [c.91]

Возникающие на кеждом временном слое две независимых системы разностных уравнений решаются методом прогонки. Более тщательно методы численного расчета рас -смотрены Б докладе (4). [c.475]

Это уравнение называется характеристическим, а его корни — собственными значениями матрицы Л118. Пусть полином (15) имеет п различных корне11 У , ч Т - Тогда общее решение системы разностных уравнений (12) может быть записано в впде [c.316]

В работах [134, 135] был разработан метод численного решения прямой задачи сопла Лаваля, использующий схему разностной аппроксимации, предложенную в [153]. Рассматривается уравнение второго порядка смешанного типа для коэффициента скорости в ортогональной системе координат, связанной с линиями тока, что позволяет при формулировке задачи в полуполосе изучать сопла с крутыми стенками. Система разностных уравнений с изменяющимся в зависимости от типа уравнения шаблоном решается методом итераций с использованием прогонки на каждой итерации. В качестве примеров рассчитаны течения в соплах спрофилированных методом годографа. (Метод предназначен для расчета течений в хороших соплах (без скачков уплотнения), поэтому его неконсервативность не важна.) [c.124]

Процесс интегрирования уравнений движения частиц также требует определенной осторожности. В частности, вместо разностных уравнений высокого порядка, следует брать системы разностных уравнений, минимизирующие ошибки округления малых добавок к координатам и скоростям на каждом шаге т. Более подробно методические вопросы ЧЭДТ рассмотрены в [И, 16, 17, 201. [c.74]

Для вычисления У [п) нуяшо знать функции Q (и), II (п), Т (п). Выведем для них уравнения. Любая из пор, отходящих от рассматриваемого узла, может привести к поверхности лишь в том случае, если, во-первых, первое звено надкритическое и, во-вторых, от узла, к которому это звено приводит, отходит хотя бы одна надкритическая пора, приводящая к поверхности. Ясно, что пора, приводящая к этому узлу, уже не должна рассматриваться. Рассуждая таким образом, моишо показать, что Q, II и Т удовлетворяют следующей системе разностных уравнений [c.148]

Рассмотрим теперь конкретный алгоритм решения разностных уравнений для сложных неравновесных систем. Пусть имеется N неравновесных параметров для определения которых имеется N релаксационных уравнений тина (2.1). Пе ограничивая обш,но-сти, примем, что т, и сс суть функции только i и а, и не зависят от р Т1 Т. Тогда, согласно (2,3), система дифференциальных уравнений (2.1) анироксимируется следуюш,ей системой разностных уравнений [c.63]

Дискретный аналог закона изменения механической энергии горизонтального движения. Дискретный аналог (2.4.6) имеет место для системы разностных уравнений (2.5.24)—(2.5.26) при условии, что для аппроксимации по времени использована схема Кранка— Николсона. Чтобы получить вместо чисто неявной схемы (2.5.24)— (2.5.26) схему Кранка—Николсона, следует в сумматорных тож- [c.99]

Как правило, математические модели экосистем водоемов, если учитывать только процессы биохимической трансформащш, цред-ставляют собой балансовые соотношения, записанные в виде дифференциальных уравнений, согласно которьш, например, скорость изменения биомассы группы гидробионтов складывается как баланс между скоростью прироста собственной биомассы — продукцией, скоростью отмирания, тратами на дыхание и процессы метаболизма, а также скоростью потребления биомассы этих гидробионтов гидробионтами, стоящими выше в трофической цепи экосистемы. Наиболее фундаментальной и бесспорной основой этих уравнений служит закон сохранения (изменения) массы вещества. Математические модели экосистем формулируются иногда не в вдце систем дифференциальных уравнений, а в виде их дискретных аналогов — систем разностных уравнений. Впрочем, при реализации моделей на компьютерах реально используются системы разностных уравнений — дискретные аналоги систем дифференциальных уравнений. Здесь уместно заметить, что лучшими средствами описания экологических моделей на современном этапе развития этой области знаний исследователи, по-видимому, не располагают. [c.176]

Далее, в определенной таким образом решетке расчитывается поле давлений при однофазном течении, то есть решается уравнение (4.2) при условии равенства нулю функции /,,. При этом используется консервативная аппроксимация на пятиточечном шаблоне и применяется метод бисопряженных градиентов [5], который был выбран для решения уравнения (4.2) в силу следующих соображений система разностных уравнений, выписанных для каждого узла сетки, приводится к матричному виду [c.9]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология