Аппроксимация разностных уравнений дифференциальными

Заметим, что для не малых значений коэффициента рекомбинации в общем случае аппроксимация разностных уравнений дифференциальными некорректна. Однако вблизи положений равновесия приращения малы и [c.257]

Иногда при аппроксимации разностной схемы дифференциальной в выражении А не делается предельный переход по е с точностью до о(е). Тогда вместо (6.6) используют уравнения [c.284]

После аппроксимации дифференциальной задачи следует говорить уже об устойчивости системы разностных уравнений. Это условие цели- [c.89]

Кроме требований аппроксимации, устойчивости и сходимости к разностным схемам, предъявляется ряд других не обязательных требований. Таково, в частности, требование консервативности разностной схемы. Разностная схема должна отражать основные свойства непрерывной среды, и поэтому желательно, чтобы в схеме выполнялись разностные аналоги основных законов сохранения. Разностные схемы, обладающие этим свойством, называются консервативными. С этой целью разностные уравнения строятся на основе интегральных соотношений, выражающих законы сохранения для элементарной ячейки сетки. С другой стороны, если исходные дифференциальные уравнения записаны в дивергентном виде, то соответствующую разностную схему нетрудно сделать консервативной. [c.272]

Формально используемый метод построения разностных уравнений в значительной степени соответствует интегральному методу [69, 92]. Однако, поскольку в качестве базовых дифференциальных уравнений здесь берутся дивергентные дифференциальные выражения основных законов сохранения (для участка капала длиной сЬс ), при этом при аппроксимации дивергентных дифференциальных производных будут использованы дивергентные разностные аналоги, обеспечивающие равенство потоков па общих границах соседних ячеек, применяемый метод следует считать интегро-интерполяционным [70, 94]. Иначе говоря, при построении разностной схемы в пашем случае адекватно описываются все интересующие физические явления для рассматриваемой разностной ячейки (т.е. выполнены интегральные законы сохранения). Обобщая изложенное для произвольного участка капала, являющегося объединением соседних разностных ячеек, можно утверждать, что сумма любого разностного уравнения (например, разностного уравнения неразрывности), умноженного па произведение (Ах А/) для данных ячеек будет давать соответствующий интегральный закон сохранения применительно к рассматриваемому участку капала. [c.489]

Существенный момент применения рассмотренного метода — выбор величины шага интегрирования А/. С одной стороны, чем меньше принятое значение А/, тем точнее аппроксимация (V, 147) и, следовательно, меньше ошибка интегрирования. С другой стороны, время, необходимое для определения решения в заданном интервале [ °), №] изменения независимой переменной "t, возрастает с уменьшением величины шага интегрирования пропорционально 1/А/. По этой причине разработан целый ряд методов [6], основанный на замене дифференциального уравнения (V, 145) более точным разностным уравнением, чем уравнение (V, 148). [c.228]

Известно, что аппроксимацию дифференциального уравнения можно осуществлять различными способами. Но помимо вопроса построения конечно-разностных уравнений здесь еще возникают фундаментальные вопросы о методе их решения, устойчивости" разностной схемы при счете и точности получаемых решений. Так как мы решаем задачу на машине, то не последнюю роль играют вопросы размещения в машинной памяти необходимой информации и удобства алгоритма для программирования. [c.69]

Для любой схемы должен решаться вопрос о ее сходимости. Разностная схема называется сходящейся при стремлении h ж х к нулю, если решения системы разностных уравнений при этом стремятся к точному решению дифференциального уравнения. Вопросы сходимости и устойчивости являются центральными при выборе той или иной конечно-разностной аппроксимации дифференциальных уравнений. Мы не имеем возможности останавливаться на этих проблемах и отсылаем читателя к соответствующим математическим руководствам. [c.46]

Для расчета теплопередачи теплопроводностью в объеме заготовки и оснастки используются дифференциальные уравнения нестационарной теплопроводности для изотропного однородного тела, полученные для различных систем координат. Для численного решения указанных дифференциальных уравнений дифференциалы заменяем конечными разностями и разрешаем данные уравнения относительно определяемой температуры. При этом используем явную разностную схему с центральноразностной аппроксимацией [2]. [c.280]

Кроме ошибок аппроксимации, существует другой источник ошибок численного решения, связанный с погрешностью вычислений. В зависимости от вычислительного алгоритма могут уменьшаться и возрастать ошибки округления. В случае возрастания говорят, что вычислительный метод неустойчив, в случае убывания — устойчив. Для решения задач используют устойчивые методы. Один и тот же алгоритм может быть устойчив при выполнении некоторых условий и неустойчив при их нарушении. Условие неустойчивости является внутренним свойством разностной схемы и не связано с исходной дифференциальной задачей. Исследование устойчивости обычно проводится для линейных задач с постоянными коэффициентами, и результаты исследования, полученные для линейных систем, переносят на нелинейные уравнения газовой динамики, но при этом надо иметь в виду, что [c.271]

Уравнения (1,16) можно рассматривать как разностную аппроксимацию (при применении неявной разностной схемы) системы дифференциальных уравнений [c.53]

Если пытаться поступить подобным образом в случае дифференциальных уравнений в частных производных, то могут возникнуть по крайней мере две альтернативы либо одна из зависимых переменных разбивается на бесконечный ряд дискретных значений переменной состояния, либо состояние системы рассматривается как последовательность профилей, а в качестве траектории принимается поверхность, образованная движением линий профиля во времени в функциональном пространстве стационарных состояний. Первая из этих возможностей связана с конечно-разностной аппроксимацией, которая применяется в численном анализе дифференциальных уравнений в частных производных. Однако вторая возможность более приемлема, поскольку она приводит к удобной геометрической интерпретации. [c.116]

Рассмотрим сначала методы локального анализа чувствительности. Простейшим методом вычисления частных производных компонент решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений по параметрам является поочередное изменение каждого из параметров на некоторую величину и численное интегрирование системы ОДУ. Таким образом, для расчета разностной аппроксимации матрицы частных производных =Э/,7 требуется численно проинтегрировать систему ОДУ 7 + 1 раз. Другой путь состоит в представлении в качестве динамических коэффициентов и составлении для них задачи Коши [420] [c.156]

Переход к последующей точке на линии расширения продуктов сгорания осуществляется на основании разностной аппроксимации дифференциального уравнения (2.12) и уравнения состояния газа, которое используется для определения давления. В качестве начальных приближений состава и температуры продуктов сгорания принимаются вычисленные выше значения указанных величин на предыдущем шаге. [c.30]

Численный метод. В основе метода — конечно-разностная аппроксимация дифференциальных уравнений. Пластина делится на слои толщиной Ах=2,54 см. С помощью программы для ЭВМ, подробно описанной в гл. 6, получаем, что температура центра пластины через 5 мин составляет [c.25]

Для решения систеш уравнений, представляющей собой математическое описание идеализированной модели зоны активного теплообмена, избран разностный метод, т.е, правые части дифференциальных уравнений в частных производных и некоторые граничные условия представляются разностными аппроксимациями, что позволит для решения задачи использовать электронные аналоговые вычислительные Хт [c.166]

В результате расчет математической модели сводится к решению краевой задачи для системы уравнений (2.3-2.5). Численное решение проводилось с помощью неявной разностной схемы. Аппроксимация дифференциальных уравнений разностными имеет порядок 0 (т + где т, й-шаги по X и г соответственно. Исключающие условия задаются точно, а краевые условия аппроксимируются с точностью О (И). Разностная система уравнений решается по методу итераций. Массовую функцию распределения Ри 0) по степеням полимеризации на выходе из реактора длиной I и моменты (/0-/3) рассчитывали по формулам [c.93]

В соответствии с этим мы получаем три типа разностной аппроксимации исходного дифференциального уравнения. Выпишем одну из них [c.44]

Для узлов нулевого ряда / = О из начального условия следует и ( , 0) = Ыо (О- Замена дифференциального уравнения разностным дает связь значений функции и в нашем случае в четырех или пяти узлах. Поэтому можно использовать это уравнение для нахождения одного значения функций по трем известным. Например, для схемы, приведенной на рис. 1.12, а, если известны значения и во всех точках/-Г0 горизонтального ряда (из начального условия или из расчетов на предыдущих шагах), то значения в узлах / + 1 ряда вычисляются явным образом из конечно-разностной аппроксимации уравнения. То же относится к схеме на рис. 1.12, в. Для схемы на рис. 1.12, б уравнение (1.82) связывает не одну точку ряда 7 1, а три. Такая схема называется неявной. При использовании неявных схем нужно решать систему уравнений. [c.44]

В числовом примере был использован метод конечно-разностной аппроксимации дифференциальных уравнений, а не точные решения (5) и (6). Если даже известна аналитическая форма решений, все равно необходимо оценить члены ki при некоторых средних условиях. Преимуществом использования конечно-разностной аппроксимации по сравнению с дифференциальными уравнениями является большая общность метода. Этот метод пригоден и тогда, когда решения уравнений нельзя представить в замкнутой форме. [c.159]

В задаче о периодической реакции мы применили дискретный вариант задачи, приращения времени в которой получались из конечно-разностной аппроксимации дифференциальных уравнений, а не из дифференциального уравнения в проинтегрированной форме, та- [c.161]

Уравнение (4.8) следует рассматривать как дифференциальное уравнение с малым параметром Я = Г - В [87] показано, что классические разностные схемы не пригодны для решения таких уравнений. Чтобы сохранить преимущества равномерной сетки, в аппроксимирующую разностную схему вводятся подгоночные коэффициенты, которые и обеспечивают равномерную точность аппроксимации на равномерной сетке. [c.135]

Формулы (3.111) и (3.113) используются для контроля точности разностных методов и учета возможных поправок, вводимых при разностной аппроксимации дифференциальных уравнений около скважин. [c.72]

Рассматривая вопрос об аппроксимации разностных уравнений динамики частот полилокусных гамет дифференциальными, неренишом (3.8), принимая в качестве единицы времени длительность иоколения (Д = 1), в следующем виде [c.270]

При изложении элементов основной схемы, структура которой намечена выше, существенными являются вопросы аппроксимации одномерных и двумерных дифференциальных операторов, в особенности конвективных составляющих, способа решения двумерпых разностных уравнений, аппроксимации граничных условий, оптимизации решения уравнения Пуассона на временном слое. [c.181]

Таким образом, параметрическое разностное уравнение (2.262а) аппроксимрфует на неравномерной пространственно-временной сетке исходное дифференциальное уравнение (2.54а) с точностью не ниже первого порядка аппроксимации по времени и пространству [c.146]

Для численного решения дифференциальных уравнений теплопроводности и граничных условий дифференциаты заменяем конечными разностя ш и разрешаем данные уравнения относительно определяемой температуры. При этом строим явную разностную схему с центральноразностной аппроксимацией. Тогда дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности в цилиндрических координатах примет вид [c.70]

Таким образом, если третья, четвертая и девятая разности подобраны так, что обеспечивают порядок аппроксимации не ниже первого по времени и по пространству, то разностное уравнение (2.262г) на неравномерной пространственно-временной сетке аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение (2.54г) с точностью аппроксимации не ниже первого порядка по времени и пространству [c.150]

Величина 5 имеет первый порядок аппроксимации, и поэтому при, к. 0 уравнение (2.361) преобразуется в дифференциальное уравнение (2.360). Другими словами, разностное уравнение (2.361) имеет первый порядок аппроксимации. Однако величина 5К представляет собой дисбалансное слагаемое По данной причине разностное уравнение является не консервативным и, следовательно, система уравнений (2.359) не [c.177]

Заметим, что аппроксимация основных законов сохранения (массы, импульса и полной энергии) для трехузловой ячейки с базовым узлом (/Х-2) существует . Таким образом, при стремлении разностных уравнений к их дифференциальным аналогам (за счет уменьшения пространственно-временных шагов) в узле (/Х-1) будет наблюдаться выполнение всех дифференциальных законов сохранения (т.к. данный узел будет совпадать с узлом (/Х-2)). Это доказывает то, что для узла (/Х-1) также существует [c.197]

Следует, однако, заметить, что при использовании большинства стандартных процедур идентификации применительно к химикотехнологическим процессам возникает ряд трудностей. Эти трудности в значительной мере обусловлены тем, что при оперировании в расчетах формальным аппаратом алгебры (который является основным при дифференциально-разностной аппроксимации канонических дифференциальных уравнений состояния) недостаточное внимание уделяется специфике объектов химической технологии и характерным свойствам протекающих в них процессов (неста-ционарность шумов в самом широком смысле, распределенность параметров в пространстве, возможная нестационарность структуры функционального оператора, специфические виды нелинейностей и т. п.). В этой связи представляет интерес разработка вероятностно-статистических методов идентификации, основанных [c.16]

Кратко поясним идет метода. Она заключается в том, что разностная аппроксимация производной по времениподобной координате изменяется в зависимости от знака коэффициента А при Л > О используются левосторонние разности, а при А < О - правосторонние разности (в вычисли тельной гидродинамике такая разностная аппроксимация обычно называется о1щосторонней или разностями против потока см. Роуч [1976]). Аналогичным образом в зависимости от знака В аппроксимировалась и первая производная по переменной . Вторая производная по аппроксимировалась обычным образом. Из качественных представлений ясно, что описанная конечно-разностная аппроксимация по времениподобной координате позволяет осуществить достаточно точное соответствие между областями влияния и зависимости дифференциального уравнения (3.67) и разностной схемы. Полученная разностная схема аппроксимирует дифференциальное уравнение (3.67) с первым порядком точности. [c.127]

Разностная аппроксимация вида (3) совместно с применением метода Й>ютона была использована Джиром в его программе [16]. При этом порядок метода и величина шага менялась в процессе счета. Эта программа позволяет быстро рассчитывать системы с большим разбросом собственных значений. Кроме линейных многошаговых методов при интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений используются неявные методы типа Г нге-Кутта. [c.15]

Для моделирования динамики смеси газов используем осред-ненные по Фавру полные уравнения Навье-Стокса, записанные в обобщенной криволинейной системе координат [7]. Решение системы дифференциальных уравнений определяется на основе неявной четырехшаговой конечно-разностной схемы типа универсального алгоритма с использованием расщеплением по физическим процессам и пространственным переменным [8]. Для построения высокоразрешающей схемы для аппроксимации невязких потоков используется ТУО-под-ход, основанный на методе расщепления век тора потоков Ван Лира [9]. Для аппроксимации вязких потоков применяется схема с центральными разностями второго порядка точности. Детали и верификация численного алгоритма подробно описаны в [10]. [c.304]

Чтобы решать задачи устойчивости в трехмерных пограничных слоях газа, 1гримепяются методы, основанные иа разложении ре-нтония по полипомам Чебышева [79, 80], а также разностные методы аппроксимации дифференциальных уравнений [81]. Наиболее пшроко используются методы решепия, базирующиеся на идеях [c.77]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология