Независимые переменные уравнение изменения

В выражении (VII, 92) величины Яг- (i=l,. .., m-fl) рассматриваются как функции независимой переменной /. Уравнения, описывающие изменение величин Я в зависимости от t, могут быть получены из системы уравнений (VII, 82), если принять во внимание выражение (VII, 74), определяющее дифференциал d o через дифференциал dt, что дает [c.329]

Если любые две из четырех переменных в уравнении (6.13) фиксированы (постоянны), в нем остается только одна независимая переменная. Любое изменение этой независимой переменной вызывает точно определенное изменение (рис. 6.3) четвертой переменной, которое можно предсказать. [c.221]

Если во время реакции не происходит достаточно большого изменения объема, то В = В, ж можно рассматривать как независимую переменную Т. Уравнение (11-79, б) преобразуется теперь следующим образом [c.218]

Возможны случаи, когда скачкообразное, быстрое изменение какой-либо независимой переменной в непрерывном стационарном процессе нарушает установившийся режим процесс при этом становится нестационарным и остается таким до тех пор, пока не установится непрерывное стационарное состояние уже с другими параметрами. Такое переходное состояние можно представить как диффузию величины помехи (возмущения). Эта проблема особенно важна в технике регулирования (динамика процесса). Характерные переменные системы, таким образом, зависят от времени. В общем проблему можно сформулировать так стационарное состояние элемента процесса нарушается тем, что на входе изменяется значение переменной (мы считаем безразличным, нроизводится ли изменение намеренно с целью приближения к техническому или экономическому оптимуму или же оно происходит самопроизвольно) важно определить, какое значение примет эта переменная на выходе из единичного элемента процесса или из их совокупности. Этот переход в системе описывается дифференциальным уравнением, в котором присутствует (на выходе) производная упомянутой переменной. Появившаяся функция возмущения сама может быть любой функцией времени и содержать производные высших порядков. В общем виде она выражается следующим образом [c.305]

В, Химический состав концентрация реагирующих веществ. Первоначальные кинетические исследования были начаты с изучения влияния концентраций реагирующих компонентов на скорость реакции. Для реакций между газами концентрации непосредственно связаны через уравнение состояния с давлением, объемом и температурой. Для жидкофазных реакций давление как переменная представляет второстепенный интерес (объем системы очень нечувствителен к изменениям температуры и давления). Поскольку стехиометрия реакции определяет соотношения между концентрациями различных участвующих в реакции веществ, концентрация каждого конкретного компонента не обязательно является независимой переменной. Так, при образовании иодистого водорода (Нг +12" 2Н1) числа израсходованных молей водорода и иода должны быть равны друг другу, в то время как число молей образовавшегося Н1 в два раза больше каждого из них. [c.16]

Поскольку в реакторе идеального вытеснения каждый из элементов реагирующей смеси ведет себя, как замкнутая реакционная система, то естественно, что соотношение (1,11) играет роль уравнения материального баланса не только для реактора идеального вытеснения, но и для реактора периодического действия, работающего в условиях идеального смешения. Однако, если для реактора периодического действия уравнение (1,11) описывает изменение концентрации со временем, то для реактора идеального вытеснения оно позволяет также судить о распределении концентрации по длине реактора. Для этого нужно произвести замену независимого переменного по формуле I = = //у. [c.18]

Если реакция не простая, а сложная, то возникает проблема связи различных химических потенциалов (точнее, их изменений) между собой. Для этого необходимо построить новое характеристическое уравнение по независимым переменным. Используем то обстоятельство, что, например, свободная энергия Гиббса есть, во-первых, однородная функция первого порядка но отношению к n , и, во-вторых, что она является величиной экстенсивной. Тогда сразу можно записать [c.38]

Уравнение (11.73) формально не отличается от (11.61). Его правая часть по-прежнему есть некоторая функция от концентрации и температуры. Более того, его можно привести к форме (11.4), если использовать в качестве независимой переменной условное текущее время контакта I = Х/ид. Таким образом, изменение объема в ходе реакции может быть учтено при составлении функции скорости образования данного вещества, что в случае единственной реакции равносильно введению в выражение для г, множителя (1 — [c.77]

Дифференциальные уравнения, устанавливающие связь между независимыми переменными, неизвестными (искомыми) функциями и их производными, широко используются в химической технологии для описания нестационарных процессов, а также процессов с распределенными параметрами. Например, концентрация реагента, вступающего в реакцию, является функцией времени пребывания, условий ведения процесса, и для того чтобы определить закон ее изменения во времени, необходимо составить дифференциальное уравнение, решение которого и устанавливает необходимую функциональную зависимость. Аналогично для определения числа ступеней разделения в процессе периодической ректификации необходимо определить состав кубового остатка и дистиллата как функции степени отгона. Это можно осуществить путем решения системы дифференциальных уравнений материального и теплового балансов. [c.347]

Допустим, что по технологическим соображениям давления Р1 и Рз на входе и выходе системы являются независимыми переменными. Тогда к зависимым переменным следует отнести потоки и Q2, а также давление Р - Информационный поток системы можно организовать тремя различными способами (см. схему 3.7, б). Каждая из трех представленных блок-схем математически корректна, однако с физической точки зрения имеет смысл только первая схема. В этой блок-схеме порядок решения уравнений соответствует естественной форме физических связей в системе. Изменение расходов и 2 оказывает непосредственное влияние на величину давления Р , которое, в свою очередь, определяет входной [c.206]

Чтобы вывести второе уравнение, зададим температуру и рассмотрим вариацию критической фазы на изотермах. Из рис. 28 или рис. 33 следует, что такая вариация ни при каких обстоятельствах не может привести в нестабильную область. Это значит, что изменение детерминанта О, определенного уравнением (46.3), не может быть отрицательным. Но оно не может быть также и положительным, так как в противном случае за счет простой перемены знака независимых переменных оно стало бы отрицательным. Таким образом, для рассматриваемой вариации имеем оба уравнения [c.231]

Интервал изменения независимой переменной I (г , г ) разбит на ряд интервалов точками /ц. . ., На каждом интервале tj., у определена система дифференциальных уравнений в частных производных (11,56). В точках ( = = 1,. . ., — 1) в общем случае выполняется соотношение (11,66). [c.59]

В работе [921 показано, что при работе установки на одном и том же сырье и при неизменной активности катализатора выходы бензина и легкого каталитического газойля адекватно описываются уравнениями регрессии, квадратичными относительно температуры в реакторе, массовой скорости подачи сырья и кратности циркуляции катализатора. Выходы газа, тяжелого каталитического газойля и кокса в исследованной области изменения независимых переменных адекватно описывались линейными уравнениями. [c.99]

Из четырех переменных в этом уравнении (р, V, п, Т) две мо гут быть закреплены, тогда заданное изменение значения одной из остальных переменных (независимой) приводит к вполне определенному изменению значения другой (зависимой). Выбор закрепляемых параметров и независимой переменной принципиально произволен, но, конечно, определяется возможностями проведения исследования. [c.24]

Введем основные математические понятия и соотношения, характеризующие функцию состояния. Функция z = f x, у) описывает некоторую поверхность (функции трех и более независимых переменных нельзя геометрически изобразить в трехмерных координатах). Например, на рис. Б. 18 представлена поверхность, построенная в соответствии с термодинамическим уравнением состояния v=f(T, р). Изменение функции состояния системы (в данном случае объема и) в общем случае сопровождается одновременным изменением других параметров системы (давления р и температуры Т). Геометрически это со- [c.209]

В отличие от фазовых переходов при химической реакции массы отдельных реагентов не являются независимыми переменными. Изменение числа молей пропорционально стехиометрическим коэффициентам в уравнении реакции. Взаимную пропорциональность всех величин dni можно выразить совокупностью уравнений [c.133]

I условна, так как фактическими переменными являются только массы компонентов п, и их изменения d ,. Дифференциальные уравнения термодинамики удается использовать наиболее эффективно, когда они приведены к виду уравнений от независимых переменных. Поэтому фундаментальное уравнение Гиббса [c.134]

Рассмотрим случай прямоточного теплообменни-к а. Пусть направление координатной оси ОХ совпадает с направлением движения жидкости. При исследовании динамики теплообменника представляет интерес поведение температур потоков на выходе из аппарата в зависимости от изменения во времени независимых переменных процесса (расходов теплоносителей и их начальных температур). Для получения этих зависимостей необходимо располагать уравнениями поля температур в обеих движущихся средах. Так как рассматривается одномерная задача, [c.6]

Поверхностный слой так же может подвергаться воздействию изменений температуры и состава. Поэтому для определения его состояния необходимо, кроме s, задать еще две независимые переменные. При выборе в качестве переменных энтропии 5 и состава л мы получим фундаментальное уравнение (VI.6) для U кото- [c.54]

Поверхностный слой также может подвергаться воздействию изменений температуры и состава. Поэтому для определения его состояния необходимо, кроме 5, задать еще две независимые переменные. При выборе в качестве переменных поверхностных энтропии 5 и состава п мы получим фундаментальное уравнение (V. 6) для 7% которое, как показал Гиббс, подобно известному уравнению (V. 5) для объемной фазы [c.49]

Переходные процессы в объектах с сосредоточенными параметрами описываются дифференциальными уравнениями в обыкновенных производных, в которых в качестве независимой переменной рассматривается время I. Например, изменение концентрации С[ 1) вещества С[ в непрерывно работающем реакторе идеального смешения характеризуется уравнением [c.37]

Пример 1У-2. Моделирование емкости с учетом влияния уровня жидкости в ней на расход, В этом случае (рис. 1У-6) поток идет через установленный на входе вентиль из системы с давлением Р . Давление после входного вентиля равно Ра и зависит от уровня Я и давления Р Отбираемый поток ( >2 проходит через установленный на отводном трубопроводе вентиль, давление после которого равно Р . На потоки и оказывает влияние изменение уровня Я в емкости, поэтому взаимосвязанные расходы так же, как и уровень, становятся зависимыми переменными, в то время как независимыми переменными (кроме времени) остаются лишь давления 1, Р и Р. . Всего в этой физической системе имеются четыре зависимые переменные величины Ql, Q , Я и Р для их нахождения, как мы заметили ранее, требуется составить четыре уравнения. Первым является то же самое уравнение материального баланса, что и в предыдущем примере [c.65]

Пренебрегая изменением теплоемкости газа и учитывая тепло, передаваемое им охлаждающей жидкости в рубашке, требуется составить уравнения математической модели для случая стационарного ведения процесса. В качестве независимой переменной принять длину реактора. [c.213]

Нами были построены модели ряда химико-технологических процессов, протекающих в аппаратах идеального смешения, в которых параметры во всех точках считаются равными между собой и одинаково меняющимися во времени (независимая переменная — время). Мы моделировали также стационарные процессы тепло-и массопередачи в системах, в которых изменение параметров в каком-то одном направлении намного значительнее, чем в остальных. Исключая из рассмотрения время и ограничиваясь решением одномерной задачи, мы могли с достаточной точностью описать такой процесс обыкновенными дифференциальными уравнениями, в которых независимой переменной является пространственная координата. [c.220]

В зависимости от того, входит время в качестве независимой переменной в уравнения математического описания или нет, все модели принято разделять на стационарные и нестационарные. Для стационарных моделей математическое описание определяет значения внутренних параметров модели, соответствующих стационарному состоянию объекта при заданной совокупности внешних параметров. Для нестационарных моделей математическое описание характеризует временное изменение внутренних параметров при изменении внешних. Тип математической модели существенно влияет на вид уравнений, используемых для построения математического описания. [c.50]

Очевидно, что число m соотношений (IV,2) в постановке экстремальной задачи должно быть меньше числа независимых переменных п, так как, например, при т = п диапазон изменения переменных Хг = (i = 1,. . ., /г) по существу сведется лишь к определенному набору дискретных точек х№ (/= 1,. .., q), ко торый может быть найден решением системы уравнений (IV, 2), поскольку для данного случая число уравнений равно числу неизвестных. При этом решение оптимальной задачи в конечном итоге сведется к проверке значений функции R только в дискретном множестве точек, т. е. экстремальную задачу можно решить перебором допустимых точек, удовлетворяющих ограничивающим условиям (IV, 2). [c.149]

Существенный момент применения рассмотренного метода — выбор величины шага интегрирования А/. С одной стороны, чем меньше принятое значение А/, тем точнее аппроксимация (V, 147) и, следовательно, меньше ошибка интегрирования. С другой стороны, время, необходимое для определения решения в заданном интервале [ °), №] изменения независимой переменной "t, возрастает с уменьшением величины шага интегрирования пропорционально 1/А/. По этой причине разработан целый ряд методов [6], основанный на замене дифференциального уравнения (V, 145) более точным разностным уравнением, чем уравнение (V, 148). [c.228]

Дальнейшее усовершенствование отмеченных выше алгоритмов численного расчета достигается выбором новых независимых переменных—относительных летучестей компонентов и факторов отпарки Sni, мало меняющихся при изменении температур и потоков [40]. В целом уравнения и алгоритмы расчета остаются неизменными, за исключением того, что уравнения изотерм записываются через относительные летучести [см. уравнения (П.42)], и поэтому температуры.потоков определяются по константе равновесия ведущего компонента къ- [c.159]

Устанопление основного уровня и программы изменений двух независимых переменных для определения коэффициентов уравнения (12-36). [c.261]

В выражении (VII,92) величины Я,- (/ = 1,. . пг 1) рассматриваются как функции независимой переменной t. Уравнения, описывающие изменение величин Я,- в зависимости от /, могут быть получены из системы уравнений (VII,82), если принять во внимание выражение (VII,74), определяющее дифференциал со через дифферец,-циал (И. [c.338]

Соотношение максимума (VII,47) или в более общем виде (VII,91) позволяет определить оптимальное управление Uom. (О Д- 1я любого значения независимой переменной i, если известны соответствующие величины xit) и Я(/). Таким образом, для нахождения указанного управления в и 1тервале изменения независимой переменной от до /< > нужно знать значения переменных л (О и Я (О во всем исследуемом интервале. Другими словами, необходимо выполнить совместное интегрирование системы уравнений математического описания зптимизируемого процесса (VII,1) или (VII,70) и системы уравнений для функций (/) (VII,48) или (VII,93). [c.339]

Полное изучение процесса юстигается редко. Оно основывается на нахождении системы уравнений, описывающих зависимости интересующих нас зависимых переменных от изменений независимых параметров. Проведение систематических исследований, называемых также однофакторными, с целью полного изучения процесса, в котором зависимая переменная у является функцией независимых переменных Х, Х2, Хз,. .Хп [c.24]

В выражениях (V, 26) и (V, 27) величины Д(У и ЛИ — не экспериментально определяемые энергии активации, а изменения внутренней энергии и эн -альнпи при переходе исходных молекул в состояние активного комплекса. Для практических расчетов целесообразно ввести в эти выражения экснерн-ментально определяемую энергию активации. Если в качестве независимых переменны.х выбрать давление и температуру, то для расчета скорости реакции удобно пользоваться уравнением (V,27). [c.149]

В трехкомпонентной системе имеются две независимые переменные концентрации жидкости. Поэтому проинтегрировать уравнение (188) возможно лиш ь при каком-нибудь определенном способе изменения состава жидкой фазы. При этом значение интеграла правой части уравнения (188), как это следует из свойств функции Ф,зависит только от начального и конечного состояний системы и не зависит от способа изменения состава между этими предельными состояниями. [c.161]

Теперь обобщенные силы Ph определены через изотермические производные от функций F п G по соответствующим координатам. Сказанное совсем не означает, что благодаря введению новой функции F или G можно избавиться от необходимости рассматривать энтропию. В действительности это только позволяет для изотремических процессов в явном виде не использовать энтропию в качестве независимой переменной. Прежнее название функции F— свободная энергия в настоящее время не рекомендовано ИЮПАК, но еще широко используется. Это связано со следующими обстоятельствами. Рассмотрим изменение энергии для изотермического процесса. Интегрирование уравнения (П.1) дает [c.54]

В случае одкокомионентпой системы в уравнение состояния входят три переменные например температура Т, давление р и концентрация С или Т, р и мольный объем V. Любые две из них можно рассматривать как независимые переменные, а третью — как их функцию. В большинстве случаев в качестве независимых переменных принимают температуру и давление. Откладывая значение этих двух переменных по двум осям прямоугольной системы координат, получаем двумерную (плоскую) диаграмму, кал<дая точка на плоскости которой выражает условия (сочетание температуры и давления), при которых находится система. Плоская диаграмма состояния однокомпонентной системы позволяет определить возможное число и характер фаз при выбранных условиях, но никак не отралоет объем системы, а следовательно, и изменения объемов при переходе от одной фазы к другой. Эти изменения могут быть очень значительными, например при переходе жидкости или кристаллов в пар. Так, при 273 К Упар/ вода=1240. [c.269]

Первый вопрос более прост. Качественно мы сразу же можем дать на него отрицательный ответ. Действительно, для сосуда с водой в атмосфере пара, если поверхность разрыва считать отдельной фазой, подсчет по правилу фаз дает ответ, лишенный физического смысла / =14-2 — 3 = 0. Это происходит потому, что-вывод правила фаз основывается на рассмотрении изменений изобарного потенциала 6(3 и подсчете числа степеней свободы по-разности между числом независимых переменных и числом связывающих их уравнений. Поскольку в выражение для G входит член as, то при s = onst оба числа увеличиваются одинаковым образом. Действительно, в системе, состоящей из г объемных и и г поверхностных фаз, число независимых переменных. (Г, Р, а<2>. .. < >,. .., nf>, nf. . .) равно 2 + + [c.74]

Первый вопрос более прост качественно па него сразу же можно дать отрицательный ответ. Действительно, для сосуда с водой в атмосфере пара, если поверхность разрыва считать отдельной фазой, подсчет по правилу фаз дает ответ, лишенный физического смысла / =1 + 2 — 3 = 0. Это происходит потому, что вывод правила фаз основывается на рассмотрении изменений потенциала Гиббса 6G и подсчете числа степеней свободы по разности между числом независимых переменных и числом связывающих их уравнений. Поскольку в выражение для G входит член os, то при s = = onst оба числа увеличиваются одинаковым образом. [c.68]

Пример Х-4. Моделирование процесса теплопередачи в теплообменнике типа труба в трубе . В этом примере рассматривается стационарный процесс теплопередачи в теплообменнике типа труба в трубе , который описывается уравнением в частных производных, причем обе независимые переменные являются пространственными координатами. Тепло передается от жидкости, текущей по внутрен-тей трубе теплообменника, к жидкости, перемещающейся противо-твком по наружной трубе (рис. Х-24). Течение жидкости во внутренней трубе — ламинарное, а в наружной — турбулентное. Будем считать также, что температура в каждом сечении наружной трубы, перпендикулярном продольной оси теплообменника, одинакова, а во внутренней зависит от расстояния от оси трубы и уменьшается от центра к стенкам. Предположим также, что профиль изменения скорости жидкости по сечению внутренней трубы известен. [c.230]

Соотношение максимума (VII, 47) или в более общем виде (VII, 91) позволяет определить оптимальное управление м0пт(0 для любого значения независимой переменной /, если известны соответствующие величины x(t) и h(t). Таким образом, для нахождения указанного управления в интервале изменения независимой переменной от /(0) до № нужно знать значения переменных x(t) и k(t) во всем исследуемом интервале. Другими словами, необходимо выполнить совместное интегрирование системы уравнений математического описания оптимизируемого процесса (VII, 1) или (VII,70) и системы уравнений для функций ki(t) (VII,48). или (VII, 93).- [c.329]

Таким образом рассматриваемая оптимальная задача сведена к интегрированию систем уравнений (VI 1,283) и (VII, 294) в заданном интервале изменения" независимой переменной 0 t ТА, в пррцессе которого необходимо подобрать начальные значения для функций hi(t) (i = 1,. . .., m), чтобы удовлетворить заданным конечным значениям (VII, 95). [c.358]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология