Предельные распределения Гиббса

ГЛАВА 1 ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА [c.9]

ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА [ГЛ. 1 [c.10]

ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА 1ГЛ. 1 [c.16]

ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА 17 [c.17]

Предельные распределения Гиббса [c.17]

Определение 1.3. Распределение вероятностей Р на пространстве 2 называется предельным распределением Гиббса, отвечающим гамильтониану Я, если для любого конечного V <=Z [c.18]

ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА 19 [c.19]

Основная проблема равновесной статистической физики — описать для данного гамильтониана все отвечающие ему предельные распределения Гиббса. Эта проблема полностью решается лишь в отдельных сравнительно простых случаях. По существу, все последующее содержание книги посвящено изложению ряда известных строгих результатов, относящихся к этой проблеме. [c.19]

Определение 1.3. Предельным распределением Гиббса, построенным по гамильтониану Я и мере [Хо, называется распределение вероятностей Р, для которого индуцированные условные вероятности почти всюду абсолютно непрерывны относительно хо(-1ф(2 — [c.20]

В качестве меры )io можно взять предельные распределения Гиббса, отвечающие потенциалу с конечным радиусом взаимодействия. По существу, определения 1.3, 1.3 указывают естественный способ перехода от одной вероятностной меры к другой. [c.20]

ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА 21 [c.21]

Цепи Маркова как предельные распределения Гиббса. Гамильтониан, отвечающий цепи Маркова, был уже описан ранее. Возьмем в качестве меры % меру Бернулли, при которой вероятность любого значения ф ж) равна 1/г (г — общее число состояний). Тогда стационарная цепь Маркова будет предельным распределением Гиббса. Обычную эргодическую теорему Маркова можно переформулировать так, что из нее будет следовать единственность предельного раснределения Гиббса в этом случае. [c.22]

Гауссовские стационарные поля как предельные распределения Гиббса. Рассмотрим гауссовское стационарное случайное поле па -мерной решетке Ъ . Пространство реализаций 2 такого поля с принятой здесь точки зрения состоит из бесконечных конфигураций Ф = ф(х), X е Ъ , где отдельная переменная ф(а ) принимает произвольные действительные значения. Гауссовское распределение вероятностей Ро в 2 — это [c.22]

Теорема 1.1. Гауссовское распределение Рв является предельным распределением Гиббса, отвечающим гамильтониану [c.23]

Для предельного распределения Гиббса, отвечающего гамильтониану (1.4), плотность условного распределения ф (7) при фиксированных ф(х), — У имеет вид [c.24]

Решетчатые модели двумерной квантовой теории поля. Пусть d = 2. Рассмотрим, как и в конце предыдущего примера, решетку hZ с шагом h- Здесь мы воспользуемся способом построения предельного распределения Гиббса, описанным в определении 1.3. А именно, возьмем в качестве меры цо гауссовское стационарное распределение с нулевым средним, отвечающее гамильтониану [c.26]

Здесь X = ( i, Х2) пробегает точки решетки hi . Гамильтониан Яо имеет радиус взаимодействия h, и поэтому отвечающие ему условные распределения Ло(-1ф(2 — F)) определены всюду и зависят только от точек множества Z — V, отстоящих от V на расстояние, не превосходящее h. Поэтому Ло можно использовать для построения с помощью него предельных распределений Гиббса. [c.26]

При исследовании моделей двумерной квантовой теории поля естественно возникают предельные распределения Гиббса, строящиеся при помощи свободного поля [1о и гамильтониана взаимодействия Если ар = О при нечетных р, то гамильтониан обладает -симметрией. Можно было бы строить сразу предельные распределения Гиббса, беря в качестве % прямое произведение мер Лебега на прямой, а в качестве гамильтониана [c.27]

Коэффициент т-о называется массой свободного или голого поля, % — константа взаимодействия. Свойства предельных распределений Гиббса зависят от безразмерного параметра Я/пг . [c.27]

ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА [ГЛ. f [c.30]

Существование предельных распределений Гиббса [c.31]

Первая проблема, которая возникает в связи с определениями 1—3, есть проблема существования для каких гамильтонианов существует хотя бы одно предельное распределение Гиббса. Мы начнем с первого простого результата, относящегося к этой проблеме. [c.31]

Теорема 1.2. При описанных условиях для гамильтониана Я существует, по крайней мере, одно предельное распределение Гиббса. [c.31]

Перейдем теперь к теореме существования предельных распределений Гиббса в случае, когда пространство Ф значений переменных ф(ж), есть сепарабельное полное метрическое пространство. Тогда для любого конечного V пространство Q(F) конечных конфигураций ф(F) = ф(a ), x V) также, очевидно, представляет собой полное сепарабельное метрическое пространство. [c.32]

ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА 33 [c.33]

ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА 35 [c.35]

Тогда для гамильтониана Я множество предельных распределений Гиббса не пусто. [c.35]

ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА 37 [c.37]

Книга состоит из четырех глав. В первой главе приведены определения гамильтониана, его группы симметрии и предельного распределения Гиббса, отвечающего данному гамильтониану. Изложение ведется для решетчатого случая, поскольку только этот случай в дальнейшем в основном обсуждается. Мы приводим различные примеры гамильтонианов гамильтониан модели Изинга, гамильтонианы с непрерывной симметрией, гамильтонианы решетчатых моделей квантовой теории поля, гамильтонианы решетчатых полей Янга — Миллса и т. п. Далее излагаются общие результаты о существовании предельных распределений Гиббса. В качестве примера показывается существование предельных распределений Гиббса для решетчатых моделей квантовой теории поля. [c.5]

Во второй главе рассматриваются фазовые диаграммы решетчатых моделей при низких температурах. Здесь вводятся понятия основного состояния гамильтониана и устойчивости множества основных состояний. В случае периодических конфигураций основные состояния можно определить как конфигурации с наименьшей удельной энергией. Условие устойчивости основных состояний, которое мы называем условием Пайерлса, состоит, грубо говоря, в том, что разность энергий локального возмущения основного состояния и самого основного состояния пропорциональна площади границы, разделяющей области, занятые различными основными состояниями. В предположении конечности числа периодических основных состояний и выполнения условия Пайерлса доказывается общее утверждение, связывающее структуру множества периодических предельных распределений Гиббса с множеством основных состояний. Этот результат получен при помощи обобщения так называемого контурного метода Пайерлса, предложенного им для доказательства существования дальнего порядка в модели Изинга прп больших значениях параметра р. Из педагоги-ческ11х соображений в начале главы мы приводим отдельно доказательство для модели Изинга. В конце главы обсуждается понятие основного состояния для двумерных моделей квантовой теории поля. Несколько неожиданным оказывается, что когда константа взаимодействия стремится к бесконечности, число основных состояний не зависит от части гамильтониана, описывающей взаимодействие. [c.6]

В третьей главе приводятся основные теоремы о фазовых переходах в решетчатых моделях с непрерывной симметрией в двумерном случае теорема Добру-шина — Шлосмана о симметрии любого предельного распределения Гиббса относительно группы симметрии гамильтониана, являющаяся естественным обобщением теоремы Мермина — Вагнера, и теорема Саймона — Спенсера — Фрелиха о наличии спонтанного нарушения непрерывной симметрии в моделях размерности три и выше при больших р. Перед доказательством этих теорем дается эвристическое объяснение роли размерности в духе общей теории Голдстоуна. [c.6]

Предельные распределения Гиббса и группы симметрии гамильтониана. Пусть S — группа симметрии гамильтоппана Я. Предположим, что мера ,io также инвариантна относительно группы S. Б таком случае при некоторых естественных дополнительных предположениях группа S действует и па множестве предельных распределений Гиббса. Таким образом, все мно- [c.20]

Предельные распределения Гиббса строятся с но-мош[ью гамильтонианов или порождаюш[их их потенциалов. Таким образом, гамильтонианы естественно рассматривать как параметры, задаюш[ие предельные распределения Гиббса. Эти параметры достаточно нро- [c.21]

Системы с конечным радиусом взаимодействия как марковские поля с многомерным временем. Если радиус взаимодействия гамильтониана Н 1 онечен и Ф — конечное множество, то условные вероятности (1.2) определены всюду. Формулы (1.2) показывают, что условная вероятность конфигурации ф(7) зависит не от всей конфигурации ф(2" — V), а лишь от конфигурации в / -окрестности границы, К — радиус взаимодействия. Таким образом, предельные распределения Гиббса для таких гамильтонианов можно рассматривать как марковские поля памяти К с многомерным временем. Теория таких полей при й > 1 существенно отличается от теории при й = 1, т. е. от теории слоншых цепей Маркова памяти К. В следующей главе будет показано, что при й > 1 во многих естественных случаях одному гамильтониану отвечает несколько предельных распределений Гиббса. [c.22]

Перейдем теперь пепосредствеппо к формулировке условий теоремы существования предельных распределений Гиббса. [c.34]