Фробениус

IIА 11/г — норма Фробениуса (евклидова норма) матрицы Л Л = 5] а%- = Тг (ЛМ) [c.6]

Нам потребуется математическое понятие нормы Фробениуса матрицы А порядка гех п [c.275]

Полученное выражение эквивалентно п линейным уравнениям. Таким образом, число неизвестных превышает число уравнений. Имеющимися степенями свободы мы можем воспользоваться, выбрав элементы матрицы Е наилучшими с точки зрения какого-либо критерия. Очень важен выбор критерия, который, с одной стороны, должен приводить к хорошей сходимости метода, а с другой, обеспечивать не слишком большую сложность получающихся методов. В последнее время в качестве такого критерия используется минимум нормы Фробениуса матрицы Е [27 28] [c.34]

Возникает вопрос — почему взят такой критерий Можно ли строго доказать, что надо использовать именно этот критерий, а не другой На это может быть дан только один ответ — отрицательный не может быть строгого обоснования выбора в качестве критерия нормы Фробениуса. Однако в качестве обоснования обычно приводят следующие качественные соображения. Минимизация критерия (П, 41) обеспечивает наименьшее из возможных изменение матрицы В при наложении некоторых дополнительных ограничений, т. е. использование такого критерия обеспечивает максимальную близость матрицы В +1 к матрице В . Отсюда, если В обладала какими-либо хорошими свойствами (например, была близка к матрице Якоби), то матрица В + должна в какой-то степени их сохранить. Конечно, приведенные рассуждения ни в коем случае не являются строгим обоснованием выбора критерия (II, 41). Единственным действительным обоснованием может служить эффективность тех алгоритмов, которые могут быть получены на основе этого критерия (11,41), т. е. только вычислительная практика. Не исключено, что практика подскажет [c.34]

В дальнейшем назовем принципом наименьшего изменения матрицы 5 способ определения матрицы из условия минимума нормы Фробениуса при наличии каких-либо дополнительных условий, зависящих от конкретной задачи. [c.35]

Получим выражение для В] при условии, что в качестве критерия минимизации будет использована норма Фробениуса некоторой взвешенной матрицы [c.38]

Я будем иногда писать В, Н и В, Я, соответственно. Для построения квазиньютоновских методов 1-го рода используем вариационный подход, а для построения квазиньютоновских методов 2-го рода — технику псевдообратных матриц. При применении вариационного подхода необходим критерий, минимизация которого дает возможность определить матрицы Е, О. Прежде всего, конечно, применим принцип наименьшего изменения аппроксимирующих матриц на каждой итерации, при котором в качестве критерия используется норма Фробениуса матриц Е или В. Основное отличие вывода квазиньютоновских методов минимизации 1-го рода от выхода квазиньютоновских методов 1-го рода, предназначенных для р е -шения систем нелинейных уравнений, будет состоять в требовании симметричности матриц В , Я , т. е. в выполнении условий (III, 47). [c.88]

Получим теперь выражение для Bj+i, исходя из условия, что в качестве критерия минимизации при определении матрицы Е использована норма Фробениуса некоторой взвешенной матрицы [c.90]

Получим теперь выражение для Я,-, исходя из условия, что в качестве критерия минимизации при определении матрицы D будет использована норма Фробениуса некоторой взвешенной матрицы WDW (где W — симметричная, невырожденная пХ/г-матрица). В данном случае матрица D будет определяться как решение задачи [c.91]

Эти формулы будут получены также при рассмотрении квазиньютоновских методов 2-го рода. Там же будет показано что несмотря на то,что в обоих случаях матрица Bt, Hi удовлетворяет только одному квазиньютоновскому условию (II, 25), (II, 31) в текущей точке поиска, оба эти метода обеспечивают нахождение минимума положительно определенной квадратичной формы за конечное число шагов. Таким образом, если при конструировании квазиньютоновских методов расчета систем нелинейных уравнений лучшие результаты дает минимизация нормы Фробениуса матрицы Е при аппроксимации самой матрицы Яко(5и, то при конструировании квазиньютоновских методов минимизации лучшие результаты дает минимизация нормы Фробениуса взвешенной матрицы Е при аппроксимации самого гессиана и минимизация взвешенной матрицы D при аппроксимации обратного гессиана. [c.92]

При рассмотрении квазиньютоновских методов 1-го рода было показано, что лучшие результаты дает подход, при котором берется норма Фробениуса от некоторой взвешенной суммы (ТП, 66). Легко видеть, что в данном случае определение матрицы Е сведется к решению следующей задачи [c.177]

Норма Фробениуса матрицы Е должна быть минимальной. Таким образом, матрица Е должна быть определена решением следующей задачи [c.178]

В заключение можно отметить, что, так как матрицы четности смежности (в отличие от таких матриц для хюккелевских графов) содержат отрицательные элементы, их собственные значения и собственные векторы, вообще говоря, не обнаруживают известных характеристик, предсказываемых теорией Перрона — Фробениуса для неотрицательных матриц [16], хотя, конечно, поскольку матрица M(G) [= А (G )] вещественна и симметрична, все значения х, при которых Pq(x) обращается в нуль, вещественны. Одно из следствий неприменимости теоремы Перрона — Фробениуса состо- [c.319]

Если морфизм Фробениуса алгебраического многообразия V заменить диффеоморфизмом / компактного гладкого многообразия, то получится функция [c.193]

Такие матрицы называются стохастическими , они были изучены Перроном и Фробениусом. Ясно, что у матрицы Т имеется левый собственный вектор (1, I,. .., 1) с собственным значением, равным 1, и, следовательно, правый собственный вектор р такой, что Тр --=р . В соответствии с (4.3.9) это и есть функция Pi y) [c.95]

Из теорем Перрона и Фробениуса следует, что это справедливо практически всегда, кроме нескольких исключений Однако мы не будем развивать здесь этот подход, потому что в следующей главе выведем все соответствую щне результаты для непрерывного времени другим способо.м. [c.96]

Математики вводят дискретное время, задавая конечный временный шаг Ы, и тем самым сводят процесс к марковской цепи с матрицей перехода =ехр (WA/). Тогда теоремы Перрона и Фробениуса, упомянутые в 4.5, дают полный ответ. Для физиков такой подход кажется довольно искусственным и к тому же переносит проблему на доказательство теорем Перрона — Фробениуса. [c.109]

Для того чтобы решить (1.68), используем метод Фробениуса. Предполагаем, что искомое решение можно записать в форме степенного ряда по независимой переменной х. Пусть это разложение имеет вид [c.60]

Таким образом, система, описываемая формулой (4.43), отличается от системы, описываемой формулой (4.2), для которой все элементы матрицы О положительны и, следовательно, матрица G, согласно теореме Фробениуса, имеет максимальное по модулю собственное число. В случае системы, описываемой формулой (4.43), матрица О может иметь отрицательное вещественное собственное число к или два таких сопряженных комплексных собственных числа >-2, к , что I Xj I = I Ад I =Ai. При этом статистическая сумма цепи вместо уравнения (4.10) будет выражаться уравнением [c.153]

Известной также под названием теоремы взаимности Фробениуса. [c.277]

Пропустим сто лет, в течение которых ряд математиков улучшал эти результаты. Заметим только, что в их числе был и Фробениус, один из математиков, внесших суш,ественный вклад в теорию групп. Обш,ими усилиями рассматриваемый случай Софи Жермен был доказан для всех показателей степени вплоть до астрономического числа 714 591416 091398 (1991), но все же не для абсолютно всех показателей. [c.23]

Тогда элементы матрицы D будем искать таким образом, чтобы ее норма Фробениуса была минимальна и при этрм выполнялись ус- [c.37]

Семейство (111,107)—(111,108) преобразований матрицы Я с произвольным Р рассматривалось Бройденом [67]. Интересно отметить, что преобразования DFP и BFGP, содержащиеся в уравнениях (111,107), (111,108) соответственно при 0 s О и 6 = y]H y были получены ранее [см. формулы (111,81), (111,84)] с использованием минимизации нормы Фробениуса. [c.97]

У этого подхода имеется еще один недостаток. В его основе лежит формула Гринштадта, которая, как показывает опыт решения задач безусловной минимизации, не дает хороших результатов [27]. Интересно обобщить этот подход на более эффективные методы, типа ОРР, ВРОЗ. Для этого так же как и при выводе квазиньютоновских методов безусловной минимизации 1-го рода необходимо заменить критерий (111,64) нормой Фробениуса взвешенной суммы (111,76). В этом случае, применяя подход, использованный при решении задачи (111,68), можно получить выражение для Я/+1. [c.156]

Алхимики подвергали превращешшл самые разнообразные вещества и любили работать с винным спиртом. В частности, перегонкой его с кислотами они получали в том числе и диэтиловый эфщ), однако не выделили его в чистом виде описал же его впервые в 1730 г. Фробениус. Название эфир поначалу применялось ко всем легколетучим веществам (вообще, по воззрениям древних, нас окружает более легкая, чем воздух, субсташщя - эфир). [c.49]

В этой статье нами вводится новая теоретико-графовая трактовка мёбиусовских систем [15], основанная на рассмотрении непланарных графов, которые, хотя и непредставимы адекватно на плоскости (поскольку могут иметь место пересечения), могут быть уложены на римановой поверхности. Будет видно, что при таком формализме отрицательные элементы полученных матриц смежности обусловлены совершенно естественным образом топологией римановых поверхностей, а не вводятся искусственно, как это было в прежнем подходе [5], в результате более случайных и более интуитивных физических соображений. Подчеркнем также, что условия теоремы Перрона—Фробениуса [16] для неотрицательных матриц неприменимы к матрицам смежности мёбиусовских графов нами обсуждается важность этого обстоятельства для собственных значений и собственных векторов таких графов. [c.310]

Трансфер-матрица, отвечающая взаимодействию Ф сопряжена с оператором ii для трансфер-матрицы справедлив аналог теоремы Перона-Фробениуса . Е имеет положительное собственное значение, которое совпадает со спектральным радиусом это собственное значение равно ехр Р . Спектральные свойства if связаны с кластерными свойствами гиббсовского состояния и аналитическими свойствами дзета-функции. Приведенные факты оправдывают изучение оператора if, которое мы провели при помощи нового метода. [c.124]

Теория растягивающих отображений, развитая в параграфах 7.26 - 7.31, служит приложением теории пространств Смейла. Она является более общей (и, следовательно, менее богатой), чем теория растягивающих диффеоморфизмов Шуба [1] и Хирша [1]. Исследование итераций оператора Ы1а в параграфе 7.31 приводит к обобщению теоремы Перрона-Фробениуса (см. предложение 5.16). Развитие этой темы можно найти у Уолтерса [3], [4] и, в другом направлении, у Ласоты и Йорка [1]. [c.182]

Пусть у и X - характеры грзгап а и н, соответственно. Тогда на основе теореш Фробениуса и транзитивности индуцирования характеров [2], получаем [c.198]

В этой форме она справедлива и в тех случаях, когда матрица V не имеет обратной (так как максимальное собственное число матрицы О, согласно теореме Фробениуса,. всегда невырождено). [c.151]

И сейчас еще изучение пространственных групп связано с некоторыми интересными математическими задачами, пока не решенными эти задачи касаются в основном теории групп и топологии. Необходимо подчеркнуть, что в этом сообщении речь шла только о методе геометрического наглядного представления математической кристаллографии, но не об абстрактном алгебраическом методе, который получил развитие только за последнее время (Вороной, Фробениус, Бибербах, Бурз рдт, Зейц, Штейгер). К сожалению, недостаток места не позволяет нам остановиться ни на этих задачах, ни на описании кристаллических структур разйых веществ (из которых мы здесь привели только несколько кратких примеров), ни на методах рентгенографического определения кристаллических структур и значении этого вопроса для физико-химических исследований. [c.336]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология