Функционалы в принципе максимума

Для системы уравнений (VII,76) уже можно применить полученную выше формулировку принципа максимума для задачи о быстродействии, которая вследствие замены переменных (VII,71) эквивалентна задаче минимизации функционала (VII,67). [c.336]

Сформулируем двухточечную краевую задачу, возникающую при использовании дискретного принципа максимума для минимизации функционала (8.56) при ограничении, задаваемом разностным уравнением состояния (8.33). Гамильтониан рассматриваемой задачи имеет вид [c.470]

Можно показать, что задача минимизации (или максимизации) функционала (VII, 67) может быть сведена к рассмотренной выше задаче о быстродействии. Доказательство этого утверждения можно найти в литературе [4] для произвольного вида подынтегрального выражения функционала (VII, 67), а ниже приведен вывод конечных соотношений принципа максимума для случая, когда подынтегральная функция ф0(ж, и) в выражении функционала (VII, 67) является положительной и ограниченной функцией для всех значений к и и. [c.325]

Тогда оптимальные задачи с заданными и неопределенными пределами интегрирования в выражении функционала (VII, 67) будут различаться между собой только заданием или отсутствием граничных условий для переменной xm+i- Более детально этот вопрос рассмотрен при обсуждении вычислительных аспектов принципа максимума (см. стр. 340). [c.326]

Целевой функционал для решения рассматриваемой задачи с использованием принципа максимума Понтрягина имеет следующий вид [c.204]

Задача об ОТП впервые была решена Билу и Амундсоном [7] для частного случая консекутивной реакции методами классического вариационного исчисления. Классическая процедура решения, однако, не является математически строгой, так как вследствие наличия технологических пределов варьирования температуры максимум функционала в аналитическом смысле может нигде не достигаться, а оптимальная температура Т (т) по крайней мере в некоторых сечениях реактора совпадать с предельно допустимой температурой Т. Вывод уравнений ОТП классическим методом к тому же весьма труден. Уже в последние годы были разработаны две новые формализации вариационного исчисления, давшие строгую процедуру разыскания экстремума функционала в ограниченной области варьирования. Один из этих взаимно эквивалентных методов основан на принципе оптимальности Веллмана (см. п. 1), а другой — на принципе максимума Понтрягина [2]. [c.243]

Мы рассмотрели несколько методов для решения одной и той же задачи—максимизации или минимизации функционала. В частности, были описаны методы динамического программирования и методы вариационного исчисления, связанные с принципом максимума Понтрягина. Как и следовало ожидать, между различными методами решения этой задачи существует тесная связь. [c.320]

Условия оптимальности в форме принципа максимума типа (П-98) будем называть сильными. Их использование н требует дифференцируемости /о по у, множество Vy может быть очень плохо устроенным, например, состоять из отдельных изолированных значений у. Эти условия сводят задачу о максимуме функционала к совокупности задач о максимуме функции /о при каждом t. [c.117]

Таким образом, равновесная функция распределения может быть найдена из условия экстремума функционала S f) с учетом дополнительных условий (1.3.36). Конкретные примеры использования принципа максимума энтропии будут приведены в последующих разделах этой главы и в ряде других глав. [c.74]

Особая группа задач оптимизации — задачи, в которых критерий оптимальности представляет собой не функцию, а функционал [см. раздел 13, обсуждение формул (13.26) — (13.27)]. Так бывает, если критерий зависит не от значений каких-то факторов, а от характера непрерывного изменения этих факторов например, если протекание переходного процесса определяется непрерывным изменением управляющего воздействия во времени, или если состав смеси на выходе из аппарата идеального вытеснения определяется профилем температуры по всей его длине. В таких задачах используют вариационные методы (вариационное исчисление, динамическое программирование, принцип максимума). [c.252]

Термодинамический подход, основанный на применении принципа максимума производства энтропии [210], позволяет исследовать устойчивость в конкретных ситуациях. Получаемый в результате критерий устойчивости сам по себе не выделяет единственного волнового числа в пределах некоторого интервала устойчивости (см. разд. 6.3). Но функционал устойчивости ф имеет в этом интервале единственный максимум, который смешается в сторону меньших к с ростом Д [209]. Впрочем, это смещение происходит гораздо быстрее, чем смещение экспериментально наблюдаемого кр. В работе [209] из общих соображений в качестве критерия отбора предложено требование [c.127]

Рассмотрим практическую иллюстрацию применения принципа максимума для решения задач оптимизации. Пусть правый конец фазовой траектории исследуемой системы не закреплен, т. е. конечное положение системы не задается и имеется только одно управляющее воздействие (чаще всего встречающийся случай). Необходимо найти такое управление, которое обеспечивало бы минимум функционала (9) при перемещении изображающей точки из начального положения Хо в течение фиксированного времени 4-Предположим, что оптимальное управление найдено и обозначается как и 1). Зная оптимальное управление и начальные условия, можно решить уравнения анализируемой системы и, следовательно, построить фазовую траекторию (рис. 15). [c.71]

В настоящее время нет общего метода решения задач циклической оптимизации. Все используемые алгоритмы основаны на классических понятиях вариации функционала и модифицированного принципа максимума. Наиболее общим и обоснованным является градиентный метод, основанный на вариационном исчислении. Суть этого метода была изложена еще в работе [7]. Задается фиксированная продолжательность периода с и определяется (численно) соответствующее ему оптимальное управление, затем задается другое значение периода и определяется соответствующее ему другое оптимальное управление. После этого сравнивают значения целевых функционалов и с помощью направленного поиска определяются значение оптимального периода. Конечно, такой подход требует больших затрат машинного времени. В работе [72] разработан другой численный алгоритм. Здесь не использовались условия цикличности. Оптимальное управление определялось на достаточно большом отрезке времени с произвольными начальными условиями. [c.292]

Буссе [44] сформулировал принцип экстремума, по которому при малых надкритичностях среди стационарных решений с различными планформами и фиксированным f = f устойчивы те, которые минимизируют некоторый функционал. При определенных условиях этот принцип эквивалентен принципу Малкуса, а также требованию максимума кинетической энергии конвекции. Однако при таком подходе предпочтительное волновое число не выявляется. [c.126]

Элементарное изложение вопросов, затрагиваемых в 11—13, в общем случае совместного действия отбора, мутаций и миграций, а такн е связи оптимизируемых при этом функций с характером стацлонарной плотностн в диффузионных моделях популяционной генетики дано в главе XII. Оказывается, что оптимизируемые функцип определяют вид стационарной плотности, которая принимает наибольшие значения, грубо говоря, в точках их максимума. В 12.12 показано, что однолокусные генетические процессы имеют градиентный характер не только при анализе отбора с постоянными приспособленностями Шц, но и при совместном действии других форм селекции (в том числе, может быть, частотно зависимой) и некоторых видов миграций и мутаций. При этом в координатах Xi = Ypi уравнения динамики (если их еще раз продифференцировать по времени) совпадают с уравнениями некоторого механического движения в силовом поле. Поэтому для рассматриваемых генетических процессов справедлив нелокальный экстремальный принцип — принцип наименьшего действия Гамильтона, причем функционал действия не только стационарен на истинных траекториях, но и минимален при достаточно малых промежутках интегрирования. [c.148]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология