Стационарные решения

Проследим ход итераций на рис. VII.6. Вычислив имы нашли ординату кривой при Т = Т . Тогда — абсцисса точки на прямой линии с той же ординатой. Таким образом, мы придем к стационарному решению через последовательность точек А, В, С, О и т. д. Если, однако, Т выбрано меньшим, чем то мы придем к другому стационарному решению через последовательность точек А, В, С, В и т. д. Ни в одном случае итеративный процесс не приведет нас к средней точке Г,а, также являющейся стационарным решением. Так как величина Т,2 заранее неизвестна, никогда нельзя сказать, находится ли пробное значение Г выше или ниже этой точки. Очевидно, чтобы убедиться в том, что все решения найдены, необходимы дальнейшие исследования, если только нет способа показать, что найденное решение единственно [c.163]

Т. И. 3 е л е н я к, О стационарных решениях смешанных задач, возникающих при изучении некоторых химических процессов, Диф. ур.,2, 205 (1966). [c.303]

Ограничение т действительными значениями т необходимо только для стационарных решений уравнения (XIV.6.5) (т. е. тех, которые не приводят к взрыву). Это также означает, что Л < О для стационарных решений, так что т > kf jDy/ . Отметим, что для Л > OF (t) будет расти без предела. Решение уравнения (XIV.6.5) для случаев, приводящих к взрыву ввиду больших градиентов температуры и концентраций, вероятно, не имеет зна- [c.387]

Для стационарного решения критерий Шервуда равен [c.182]

Когда дело касается динамических характеристик, то накладываются более жесткие ограничения, чем в случае экономической оптимизации. Расчет последней основан на стационарном решении системы дифференциальных уравнений. [c.53]

Стационарное решение получающегося дифференциального уравнения дает уравнение для профиля движущейся жидкости. [c.222]

Для равновесной функции распределения / (Е) стационарные решения имеют вид (2.104). Обращаясь к (2.65), из (2.75) с учетом (2.104) получим уравнение для к [c.82]

Задача, в сущности, сводится к тому, чтобы решить (2.103) в общем виде. Стационарное решение (2.103) = О в случае сплошного спектра очевидно [c.94]

С точки зрения проблемы самоорганизации, т. е. образования диссипативных структур и автоволновых процессов, важным является вопрос об устойчивости зе и существования кроме х периодических по пространству стационарных решений задачи (7.7)— [c.307]

Положения равновесия этого уравнения соответствуют средним значениям стационарных решений задачи (У.34). Поэтому, если при некотором наборе значений параметров положение равновесия 0 скачком перейдет в положение равновесия 02 > 01, следовательно, система (У.35) скачком переходит в высокотемпературный режим, что соответствует тепловому взрыву системы. [c.171]

Здесь все производные вычисляются в условиях исследуемого стационарного решения и, если последнее известно, являются заданными функциями координаты X. Величины параметрической чувствительности X = Щ вычисляются решением системы линейных уравнений ( П1.40), ( П1.41) с граничными условиями [c.337]

Для реакции п-го порядка (и > 0) / (с) = с", и у о могут изменяться в пределах О i/o <С этом случае при Уо функция Ф (уо) логарифмически расходится и при любых значениях параметров 0, [г, а существует по крайней мере одно стационарное решение. При монотонном возрастании функции tp (у о) стационарное решение всегда единственно (рис. VIH.И). Если же функция ф (уо) имеет максимум и минимум, то существует область значений параметров, при которых число стационарных решений равно трем. При фиксированных значениях параметров 0 и а можно найти значения параметра ц, нри которых появляются множественные режимы, из условия [c.356]

Стационарным решением уравнения (8.28) являются равновесные функции распределения [c.44]

Иными словами, в этом случае значение функции ф (г/д) в точке перегиба должно равняться единице, а её производная — нулю. В области, расположенной между критическими кривыми, система имеет три стационарных решения, а вне этой области — одно. [c.357]

Не все найденные таким образом стационарные режимы являются устойчивыми относительно малых возмущений. Если считать, как обычно, что в случае, когда существует единственное решение, оно всегда устойчиво, а в случае, когда стационарных решений три, устойчивы только два крайних — высоко- и низкотемпературное решения, то выявляется следующая картина перехода между режимами процесса при постепенном увеличении параметра [х. При (X < (Ха существует единственное низкотемпературное решение. При 2 < <С М существуют два устойчивых режима — высоко- и низкотемпературный. Так как, однако, для перехода между этими режимами необходимо возмущение большой амплитуды, реактор будет оставаться в низкотемпературном режиме вплоть до значения параметра [х = [х , выше которого существует только высокотемпературный режим. При обратном ходе (уменьшение параметра (х) реактор скачком перейдет из высокотемпературного режима в низкотемпературный при Х = х . [c.357]

Особое место среди других занимает метод релаксации, заключающийся в том, что стационарное решение получается в результате решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений материального и теплового балансов. Метод обладает устойчивой сходимостью независимо от сложности задачи, однако по мере приближения к решению скорость сходимости очень низкая. В конкретных случаях иногда удается, исходя из специфики решаемой задачи, все-таки ускорить сходимость [47]. [c.135]

Для определения числа стационарных решений строят функциональное уравнение на основе теплового баланса аналогично процедуре при нахождении числа стационарных решений каталитического процесса на внешней поверхности зерен. Это уравнение характеризует начальные и конечные температуры в частице или в слое катализатора. Оно позволяет выявить области существования одного или нескольких решений исходных уравнений, а также точки ветвления, определяющие критические условия перехода от одного стационарного режима к другому. [c.514]

Если балансовые соотношения выполняются с заданной точностью, то проверяется условие стационарности решения [c.405]

Мы рассмотрим только стационарные решения этого уравнения и будем считать коэффициент диффузии постоянным. В качестве граничных условий выберем следующие [c.66]

Существование нечетного Числа стационарных решений следует из более общих соображений Действительно, при непрерывной зависимости решений от начальных данных совокупность исходных данных, которым соответствует то или иное устойчивое состояние, представляет собой открытое множество. При помощи двух открытых непересекающихся множеств нельзя составить связного множества всех начальных данных, не предположив наличия хотя бы совокупности исходных данных, не приводящих ни к одному из трех стационарных состояний. Третье состояние, как подтверждает дополнительное исследование, является неустойчивым. Это рассуждение показывает, что общее число стационарных решений обычно бывает нечетным. Только при критических условиях перехода одного режима в другой два решения из трех сливаются в одно. [c.513]

Решения общих краевых задач для уравнения (XV,87) обладают свойством стабилизации ограниченное решение 1/ X, I) каждой такой задачи при tоо имеет предел, являющийся стационарным решением Физически это означает, что всякий нестационарный процесс [математическая модель которого описывается уравнением (XV,87) с соответствующими граничными условиями и учитывающая конкретный закон сохранения (ограниченность решения) устанавливается, т. е. для больших значений времени весьма близок к стационарному режиму. Скорость выхода на стационарный режим, как правило, экспоненциальна, что оправдывает метод вычисления стационарного решения с использованием нестационарной задачи. [c.514]

При сравнении стационарных решений уравнений Бернулли и Риккати вьшвлено, что имеет место незначительное изменение стационарной численности частиц, которым в инженерных расчетах можно пренебречь. [c.118]

Рис. ХУ 36. Стационарные решения для областей начальных температур.

Второе условие означает, что молекулы ПАВ, которые подходят к частице, не могут сразу адсорбироваться на ее поверхности, так как они для этого должны преодолеть бронирующую пленку из эмульгирующих веществ. Это проникновение деэмульгатора через слой эмульгатора можно рассматривать как реакцию первого порядка, происходящую со скоростью к на поверхности капли. В работе 182] было показано, что когда число Не для частицы значительно меньше единицы, то при некоторых общих предположениях стационарное решение уравнения конвективной диффузии на равномерно движущуюся сферическую частицу можно записать в виде [c.66]

Это вытекает из граничных условий у стенки [уравнение (XIV.6.4)]. Когда Г> = k w, т.е., когда каждый ударившийся радикал захватывается (е= 1), тогда nirg равно нечетному числу я/2 или т= (2п + 1)я /2го при га = О, 1, 2,. . . Когда сш О, т. е. нет обрыва на стенках, стационарное решение становится невозможным. В этом случае тго равно интегральному множителю я. Таким образом, решение для тго лежит в первом и третьем квадрантах, причем наименьшее значение ту лежит между О и я/2, если kblDY < т . Если то наименьшим решением т будет Ш2, [c.388]

В случае прямоточного движения фаз против сил гравитации анализ стационарных решений не дает возможности обосновать необходимость огршичивающего устройства для существования второго режима. Однако эта необходимость становится ясной из следующих рассуждений. Полагая правую часть уравнения (2.74) равной нулю и учитывая, что при равновесном движении фаз 81 п(рс-рд) =-sigп(гг( -г/д), полученное уравнение равновесия в безразмерных переменных можно представить в виде [c.99]

Иванов Е. А., Б е с к о в В. С., С л и н ь к о М. Г., Число стационарных решений и устойчивость адиабатического процесса в потоке с продольным смешением, 1еор. основы ли > , те.чпол., , Л" 4. 489 (1967). [c.181]

Так, например, если в окрестности неустойчивого режима увеличивают начальную температуру или начальные концентрации исходных реагирующих веществ, то новый стационарный режим отвечает более низким значениям температур. Общий анализ устойчивости стационарных решений указанным методом удается провести для пористого зерна, адиабатического слоя неполного смешения и реактора с внутренним теплообменом. Некоторь1е результаты нахождения области устойчивых стационарных режимов для экзотермических реакций первого порядка приведены на рис. 27 и в табл. 62. [c.515]

Таким образом, задавая значения параметра можно определить. стационарные температуры в центре катализатора, пересекая график У (0 ) прямыми = onst. На рис. III.13 изображена зависимость от 0 при 0 = 5 и Bix = oo, 20 и 10. При различных значениях параметра может существовать одно, три или пять соответствующих ему значений 0, и соответственно одно, три или пять стационарных решений, которым отвечают внутрикинетический [c.139]

В этом случае переменные I — астрономическое время и х — длина слоя катализатора заменяют новыми переменными i и у = х — (где У) — скорость движения фронта выгорания). Такая замена эквивалентна переходу к новой системе координат, которая движется относительно слоя катализатора со скоростью ю в направлении движения потока. В этой системе возможно стационарное решение уравнений материального и теплового балансов, которое, опуская выводы, ямеет вид [c.300]

Возникновение неустойчивости возможно в экзотермических процессах, а также в процессах, где имеют место явления автокатализа или торможения исходными веществами и, вследствие этого, г с <0. В тех же случаях возможно возникновение множественных режимов процесса. Оба явления — неустойчивости и неоднознач--ности решений — тесно связаны между собой. На рис. III.3 видно,, что условие (VIII.16) перестает выполняться в точке касания кривой тепловыделения и прямой теплоотвода в этой жё точке изменяется число стационарных решений. Когда прямая теплоотвода на рис. III.3, сдвигаясь вправо, переходит через положение 2, появляются два новых решения, одно из которых оказывается неустойчивым. Эта связь между нарушением условий единственности и устойчивости решений сохраняется и в пространственно распределенных -системах. [c.329]

Заметим, что при 0 >4 процесс может иметь т,ри, стационарных решения (см. раздел II 1.3). Область множественных режимов ограничена кривой 3. Точкам, лежащим между верхними ветвями кривых 1 и 3, соответствует высокотемпературный режим, точкам, лежащим между нижними ветвями этих кривых — ниакотемцера-турный, а точкам, заключенным между двумя ветвями кривой 1 — промежуточный режим, неустойчивый в силу условия (VIII.23) или (III.51), При уменьшении параметра вначале теряет устойчивость высокотемпературный режим в области больших значений 0, затем, по мере движения точки пересечения кривых 1 т 2 влево, область неустойчивости высокотемпературного режима сдвигается в сторону меньших значений 0. При S <9/16 кривая 2 заходит в область слева от кривой 3, где существует только один стационарный режим. В этой области значений параметров процесс, таким образом, не будет иметь ни одного устойчивого стационарного режима. Наконец, при S <1/2 кривые 1 ш 2 начинают пересекаться ниже точки 0 = 4, 0=2, разделяющей высокотемпературную и низкотемпературную ветви кривой 1. В этих условиях появляются неустойчивые низкотемпературные режимы процесса, причем на мере уменьшения ё такие режимы становятся возможными нри вс больших значениях параметра 0. [c.331]

В частности, если варьируемым параметром П является температура исходной смеси Гвх.то ,(0) = 0 ( = 1,2,..., К), Со (0) = 1, а производные по параметру в правой части уравнений (VIII.40), ( 111.41) пропадают, так что последние становятся однородными. Если варьируемым параметром является температура теплоносителя Тс, то все величины (0) ( = О, 1.. . ., К) равны нулю обращаются в нуль и производные дг дП, дг /дП, и только в правой части уравнения ( 111.41) остается член дд/дТс, делающий задачу неоднородной. Задача ( 111.40)—( 111.42) всегда имеет единственное решение и, если это решение найдено, то изменение значений переменных на выходе аппарата при малом отклонении параметра П от его исходного значения определяющего исследуемое стационарное решение (Сгсп Т ), может быть вычислено по формулам [c.338]

Если имеется три стационарных решения, то среднему из ннх соответствует величина параметрической чувствительности х > Хо Такой стационарный режим должен быть неустойчивым, поскольку в этих условиях малые возмущения стационарного режима усиливаются, проходя реактор и теплообменник (так как Хо ) В общем случае, когда имеется 2и+1 точек пересечения кривой и прямой линий на рисунке типа рис. VIII.8, п промежуточных решений обязательно должны быть неустойчивыми. Соблюдение неравенства X <С Хо является необходимым условием устойчивости процесса , однако, чтобы доказать достаточность этого условия, нельзя ограничиваться анализом одних только стационарных уравнений и необходимо исследовать поведение процесса в нестационарных условиях (см. ниже). [c.347]

График функции ф (уд) при а = 2 и (i = 0,25 представлен на рис. VIII.11. Из рис. VII.11 видно, что при рассматриваемых значениях параметров задача имеет два стационарных решения. Если [c.355]

Хотя система уравнений (5.18) имеет несколько необычную форму, она может быть решена с помощью стандартного метода интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. В нашем случае, когда ищут одно стационарное решение, нет необходимости использовать методы интегрирования со специально настраиваемыми параметрами, поскольку глобальная устойчивость и квадратичная сходимость может быть получена и без них. Некоторые исследователи проводили эксперименты с интефаторами относительно высокого порядка, но их опыты подтвердили ранее сделанное предположение о том, что для получения решения достаточно простого явного интефирования методом Эйлера. [c.270]

Строгое математическое доказательство свойств СГациЬнаряых решений (устойчивых и неустойчивых) отражает 4шзическую особенность неустойчивых стационарных решений — отрицательное значение параметрической чувствительности технологического режима к изменению начальных условий. [c.515]

Устойчивость колонн синтеза аммиака с внутренним теплообменом. Число стационарных состояний и их свойства можно найти по методу, примененному для анализа стационарных режимов в зерне и в слое катализатора. Аналогичная задача об устойчивости колонн синтеза решена В. И. Мукосеем Он провел численный анализ системы уравнений знаковой модели колонны синтеза и построил зависимость конечной температуры реакционной смеси от начальной (рис. ХУ-35). Как видно из рисунка, имеются области начальных температур, для которых суш,ествует одна или три температуры на выходе из колонны и соответственно одно или три стационарных решения (рис. ХУ-Зб). Верхняя кривая отвечает норхмальному режиму (/ к), средняя —неустойчивому, а >лижняя кривая (Тд ) не представляет практического интереса. Анализ устойчивости колонн синтеза аммиака методом исследования параметрической чувствительности выполнил В. С. Бесков [c.520]

Зеленяк Т. И., О стационарных решениях смешанных задач, возника- [c.535]

Иванов Е. А., Бесков В. С., Слинько М. Г., Число стационарных решений и устойчивость адиабатического процесса в потоке с продольным смешением. Теоретические основы хим. техн., 1, № 4, 488 (1967). [c.591]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология