Уравнений плохая обусловленность

Речь идет о проблеме, на которую впервые обратил внимание Гаусс, но которая, несмотря на давность, остается все еще не разрешенной до конца. Мы имеем в виду вопрос о зависимости решений систем линейных неоднородных уравнений от коэффициентов при неизвестных и от свободных членов. В зависимости от того, как ведут себя решения при изменении коэффициентов и правых частей, системы делятся на хорошо обусловленные и плохо обусловленные . Для хорошо обусловленных систем характерно то, что малым изменениям в коэффициентах и правых частях соответствуют малые изменения в решениях. Плохо обусловленные системы этим свойством уже могут и не обладать, так что для плохо обусловленных систем малым изменениям в коэффициентах и правых частях могут соответствовать большие изменения в решениях. Приведем примеры хорошо обусловленных и плохо обусловленных систем. [c.99]

Итак, при решении прямой кинетической задачи основные трудности вызываются плохой обусловленностью матрицы Якоби. Суш ествуют два принципиальных подхода к решению этой проблемы. Первый из них состоит в том, чтобы развязать исходную систему взаимосвязанных уравнений и превратить ее в систему несвязанных одиночных уравнений, каждое пз которых затем решается отдельно. В этом случае не возникает проблемы выбора шага, так как говорить об определении жесткости для системы (3.78) или (3.79) не пмеет смысла, и каждое уравнение решается со своим шагом. [c.173]

Аппроксимация экспериментальных данных произвольной линейной зависимостью. Выше уже отмечалось, что нормальная система линейных уравнений в случае многочленного приближения иногда бывает плохо обусловленной и ее определитель близок к нулю. Это означает, что между отдельными уравнениями системы имеется слабо выраженная линейная зависимость, т. е. одно уравнение может быть заменено линейной комбинацией других с некоторой поправкой. С увеличением порядка системы, т. е. с ростом степени аппроксимирующего полинома в силу разброса ко- [c.328]

Для плохо обусловленной матрицы 5 1 величина е близка к единице и сходимость может быть чрезвычайно плохой. Однако если не очень велико, то подход к методу минимизации с точки зрения решения градиентных систем оказывается более эффективным, так как позволяет перейти от довольно неясной проблемы выбора шага А к более ясной проблеме выбора границы точности решения системы дифференциальных уравнений [27]. [c.215]

Основная трудность многочленной аппроксимации по методу наименьших квадратов заключается в решении нормальной системы уравнений. Поскольку коэффициентами системы являются суммы аргументов в соответствующих степенях, то при высокой степени многочлена они могут иметь значительный разброс по абсолютной величине, в силу чего система может быть плохо обусловленной и ее определитель близок к нулю. Поэтому решение таких систем итерационными методами без соответствующего преобразования редко бывает успешным, поскольку для них, как правило, не выполняются условия сходимости (стр. 258). [c.321]

Таким образом, вычисление нестационарной функции распределения сводится к решению линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, а вычисление квазистационарной функции распределения — к решению неполной проблемы собственных значений для матрицы коэффициентов этой системы дифференциальных уравнений. При решении этих задач приходится иметь дело с плохо обусловленной матрицей, разброс собственных значений которой составляет 10— 15 порядков. Заметим, что величина этого разброса мало зависит от способа дискретизации, так как определяется физикой процесса, т.е. константа скорости (минимальное по модулю собственное значение) отличается от других собственных значений обычно на несколько порядков. [c.197]

Этот метод требует значительно меньших вычислений, чем метод всех возможных регрессий. Однако, поскольку вычисления начинаются с максимального набора переменных, результаты могут оказаться бессмысленными вследствие больших погрешностей округления причина этого — плохая обусловленность систем нормальных уравнений. [c.111]

Анализ применяемых численных методов решения контактных задач показывает, что в некоторых вариантах возможны такие вычислительные трудности по сравнению с решением классических краевых задач со смешанными граничными условиями, как нарушение положительной определенности систем алгебраических уравнений, появление неустойчивости их решения из-за плохой обусловленности, применяется численная реализация некорректно поставленных задач. Здесь предлагается алгоритм решения задачи контакта деформируемых тел, свободный от указанных недостатков, дающий в ряде случаев более быструю сходимость по сравнению с применяемыми методами. В качестве иллюстрации рассмотрено решение задачи контакта шероховатых тел с нелинейной податливостью шероховатого слоя. [c.141]

Плохая обусловленность нормальных уравнений. [c.88]

Для решения этого уравнения необходимо обратить матрицу В УВ, что возможно только тогда, когда определитель матрицы отличен от нуля (в противном случае обратной матрицы не существует). Если определитель, хотя и не равен нулю, но достаточно мал, то матрица считается плохо обусловленной . Это часто встречается в работах, посвященных расчету констант устойчивости [37—39]. Читатели, знакомые с методикой уточнения силовых постоянных, вероятно, встречались с подобной ситуацией [40—42]. Она возникала также в связи с проблемами подгонки уравнений в хроматографии [43] и при конструировании оптических линз [44—47]. [c.89]

Плохая обусловленность иногда проявляется в том, что сумма квадратов случайных ошибок 5 изменяется в широких и непредсказуемых пределах, вместо того чтобы прямо сходиться к минимальному значению [46]. Во многих практических случаях это связано с особой формой поверхности параметров. В рассматриваемом примере трехмерного пространства эта поверхность имеет форму узкого изогнутого оврага, похожего на тот, что изображен на рис. 5.1. Здесь использование уравнения (5.9), полученного сохранением только линейной части в рядах Тейлора, приводит к быстрым осцилляциям поперек узкой части оврага особенно ярко это проявляется, когда выбранные [c.89]

Этот метод применяют с целью уменьшения больших поправок, которые могут возникнуть вследствие плохой обусловленности нормального уравнения. В работе [52] изложенная выше схема получила развитие, но, вероятно, она все же не так эффективна, как алгоритмы второй группы, поскольку требует вычисления добавочных значений функций на каждой итерации. [c.91]

Концентрации свободного лиганда и свободного металла обычно получаются из итерации методом Ньютона — Рафсона по уравнениям материального баланса. Программа, вероятно, работает хорошо даже от плохих начальных приближений констант устойчивости, если итерации проводятся непосредственно с константами устойчивости, а не с их логарифмами, поскольку в последнем случае задача может быть плохо обусловленной. [c.101]

Итак, мы пока лишь обратили внимание на то, что системы могут быть хорошо обусловлены и плохо обусловлены. Ясно, что плохо обусловленные системы лучше совсем не использовать для определения постоянных из экспериментальных данных. Если в нашей первоначальной системе число уравнений равно числу неизвестных, то в случае плохой обусловленности системы лучше отбросить некоторые уравнения и определить меньшее число постоянных (если это возможно). [c.101]

Если в первоначальной системе число уравнений больше числа неизвестных и система нормальных уравнений, получающаяся из такой системы, оказывается плохо обусловленной, то надо отбросить одно или несколько уравнений первоначальной системы, с тем чтобы получающаяся система нормальных уравнений стала хорошо обусловленной. Это как раз тот случай, когда уменьшение числа экспериментальных данных повышает точность полученных постоянных. [c.101]

Если решить эту систему на ЭВМ, которая выполняет арифметические операции с точностью до 8 значащих цифр, и подставить в приведенную выше систему уравнений w = 1Е — 10, то в результате получится X = 1, у = 1. Этот результат не вызывает никаких возражений. Если же уравнения поменять местами, то по программе Г—Ж получится х = О, > = 1. Ясно, что этот результат ошибочный. Если в исходной системе уравнения поменять местами и разделить оба уравнения на w, то при решении полученной системы по программе Г—Ж получится х = 4,671875, = 1. Таким образом, операции, которые не должны были бы отражаться на решении системы уравнений, приводят к различным и, следовательно, ошибочным результатам. Появление ложных корней связано с тем, что ЭВМ производит арифметические действия с конечной точностью и в процессе вычисления накапливаются ошибки округления. Системы уравнений, которые ведут себя так же, как рассмотренная в этом примере, назьшают плохо обусловленными. Для систем уравнений с числом неизвестных больше двух, как правило, невозможно сразу установить, является ли эта система плохо обусловленной. Поэтому надо обязательно проверять, удовлетворяют ли в действительности найденные значения неизвестных исходной системе уравнений. [c.185]

Для адаптивной ММ выбирается метод минимизации функции (1-4) или (1-4а), позволяющий при сравнительно малых затратах машинного времени получать оценки а ( ). Обычно для нахождения а (г) используют итерационные процедуры метода наименьших квадратов и его модификаций, а также процедуры стохастической аппроксимации. При выборе конкретного метода адаптации, помимо объема вычислений на каждой итерации, учитывают необходимый объем запоминающего устройства ЦВМ, предназначенного для хранения программы адаптации, исходных и промежуточных данных. При высокой размерности вектора а учитывают способность метода решать системы плохо обусловленных конечных уравнений (см. четвертый раздел гл. V). [c.38]

Пример У.4. Чувствительность решения плохо обусловленной системы к ошибкам расчета. Пусть задана точная система уравнений [c.276]

Таким образом, заменяя в уравнении (V-20) плохо обусловленную матрицу В матрицей В а, критерий обусловленности которой однозначно определяется величиной параметра а, можно из системы [c.282]

Вследствие слабой изученности сложных объектов многие входные координаты, включенные в ММ, оказываются сильно коррелированными, что приводит к плохой обусловленности системы нормальных уравнений типа (У-20). Высокая размерность вектора а делает невозможным какой-либо предварительный анализ степени обусловленности матрицы В системы (У-20), [c.308]

Отметим, что согласно уравнению (5.2.13) на каждой итерации требуется обращать матрицу, а следовательно, чтобы избежать плохой обусловленности, необходимо использовать эффективную вычислительную программу. Сходимость метода Ньютона гарантируется, если функция ф (Р) дважды дифференцируема и если матрица [Уф 1 является положительно определенной. [c.159]

А5о Ср,2 зависят от одних и тех же коэффициентов. Поэтому, если исходить из взаимной независимости коэффициентов, можно прийти к абсурдному выводу о взаимозависимости термодинамических свойств. Следовательно, коэффициенты в уравнениях не являются независимыми параметрами, что приводит к плохо обусловленным решениям [27]. [c.228]

Выбор подходящей модели по результатам решения, например по максимальному правдоподобию, сильно осложняется тем, что сами результаты при плохой обусловленности задачи сильно зависят от входных данных. Покажем это на конкретном примере. Результаты компиляции данных по свойствам сплавов галлия и мышьяка, полученные в [28], можно выразить следующим уравнением кривой ликвидус соединения ОаАз [29] [c.22]

Метод согласования при определении силовых постоянных отличается своей простотой по сравнению, скажем, с широко распространенным методом наименьших квадратов. Прежде всего, этот метод имеет более простое математическое оформление. Здесь удается избежать технических трудностей, связанных с решением плохо обусловленных систем уравнений, т. е. трудностей, которые в методе согласования непосредственно не проявляются. При определении силового поля по методу согласования практически при всех проведенных расчетах оказывалось достаточно экспериментальных частот по двум изотопическим видам молекулы, полностью замещенным одним или другим изотопом. Этот метод не исключает, конечно, возможности включения в расчет более двух молекул, однако в этом, как правило, нет необходимости. В силу свойств матриц Г- и U все частично-замещенные молекулы будут полностью охарактеризованы найденной таким образом матрицей U. В ряде других методов (метод вариаций, метод наименьших квадратов и метод скорейшего спуска) необходимо знание экспериментальных частот по большему числу изотопических молекул. [c.376]

Вследствие лимитирующего влияния колебательной релаксации двухтемпературная константа скорости диссоциации слабо зависит от вариации предэкспоненциального множителя константы к (Т, Т), входящего в уравнение баланса (13.13), и от фактического положения границы колебательного квазиравновесия е . Чем больше предэкспоненциальный множитель, тем ниже (при прочих равных условиях) колебательная температура в квазистационарной стадии реакции. В этом заключается одно из конкретных проявлений лимитирующей роли релаксации колебательной энергии при диссоциации в среде собственного газа. Благодаря такой отрицательной обратной связи погрешность вычисления двухтемпературной константы скорости диссоциации Ак (Т, Ту)1к (Т, Ту) примерно вдвое меньше исходной погрешности Ак [Т, Т)/к (Т, Т) (см. 13). Это упрощает задачу вычисления к (Т, Ту) при известной зависимости времени колебательной релаксации от температуры. Однако это также означает и плохую обусловленность обратной задачи — определения эффективных сечений колебательных переходов и диссоциации по данным о к при высоких температурах. Для решения такой задачи наряду со скоростью диссоциации необходимы достаточно точные измерения заселенности нижних колебательных уровней или колебательной температуры [c.85]

Так как обусловленность систем уравнений полуэмпирических методов сильно влияет на точность определения постоянных, то естественно возникает вопрос можно ли рассчитывать с удовлетворительной точностью физико-химические свойства новых соединений рассматриваемого ряда по формулам с постоянными, найденными из плохо обусловленных систем уравнений. [c.285]

Для устранения плохой обусловленности систем линейных уравнений существуют различные алгоритмы регуляризации, некоторые из которых обсуждались в гл. 2, ч. I. Поэтому мы не будем на них останавливаться в настоящем разделе и перейдем к обсуждению еще одного вопроса, возникающего при решении задачи о нахождении постоянных в линейных формулах. [c.287]

Как уже говорилось, хорошая или плохая обусловленность системы линейных уравнений влияет на изменения величин постоянных при изменении правых частей уравнений, связанном, например, с уточнением экспериментальных величин по данному свойству для некоторых соединений. Изменения постоянных зависят согласно формуле (2.85) линейно от изменений правых частей, причем коэффициенты перед 6i/, будут элементами фиксированной для данного набора соединений матрицы = (А А) [c.287]

При расчете физико-химических свойств первостепенное значение имеет вопрос о влиянии ошибок в экспериментальных данных на получаемые значения постоянных, т. е. устойчивость решения системы уравнений в зависимости от используемого метода решения. Для плохо обусловленных систем уравнений, каковыми и являются рассматриваемые системы (det(9I 91)лг = 2- 10- при расчете по подтипам связей), малые ошибки экспериментальных данных могут вызвать большие погрешности в значениях постоянных. Среди экспериментальных данных могут встретиться и резко ошибочные измерения. [c.308]

Если протекание реакции описывается кинетическим уравнением (5.74) или (5.75), уравнение (7.17) легко линеаризуется (логарифмированием). В то же время корректный учет погрещностей при политермическом кинетическом эксперименте может быть проведен только при сопоставлении результатов нескольких экспериментов с различными скоростями нагрева. Это достаточно сложная (так называемая плохо обусловленная ) математическая задача. [c.285]

Аналогичная проблема возникает и в случае, когда система уравнений составлена из сингулярных или плохо обусловленных уравнений. Говорят, что уравнения сингулярны, если они содержат на вид больше информации, чем зто есть на самом деле. Например, следующие два уравнения [c.258]

В действительпости же ситуация резко осложняется тем, что в систему (1) обычно входят величины г, отличающиеся друг от друга в разных опытах и по скоростям различных процессов на порядки. Реальная ситуация состоит в том, что max rj /min rj 10 -1-10, в тех же примерно пределах могут изменяться величины С. Погрешность при определении больших г сопоставима со значениями малых г. Это приводит к очень плохой обусловленности системы нормальных уравнений в МНК даже для линейных относительно К систем. Фактически получается, что очень значительная часть информации не вносит никакого вклада в сумму квадратов, т. е. никак не учитывается в конкретных расчетах. [c.86]

После того как будут выбраны центры и нелинейная функция, необходимо произвести обучение сети. Логично поиск весов ко,..., Хпг осуществить с применением метода наименьщих квадратов (МНК). При этом определение коэффициентов X сводится к решению системы уравнений, которую можно записать в следующей матричной форме Х Х = X, (4) где л, - оценки коэффициентов X,. Доказано, что данная система имеет решение, если ее определитель отличен от нуля. Также известно, что при увеличении числа оцениваемых параметров система (4) становится плохо обусловленной, что затрудняет оценк> параметров либо делает ее вообще невозможной. Однако при практической реализации МНК на ЭВМ может оказаться, что определитель системы (4) близок к нулю даже при небольшом числе оцениваемых параметров, особенно когда точки Х равномерно распределены на интервале [а,Ь]. Учитывая специфику нейронных сетей, а именно большое количество оцениваемых весов, применение МНК в традиционном виде оказалось непригодным, что было подтверждено практическими испытания.ми. В случае использования ортогонального метода наименьших квадратов удается получить точные оценки параметров модели независимо от их числа. Более того при данном подходе возможно произвести оценку влияния каждого параметра сети на точность аппроксимации, что при использовании обычного МНК невозможно из за наличия корреляции. [c.175]

Для определения численных значений коэффициентов в эмпирических уравнениях чаще всего используется линейный метод наименьших квадратов, который в процессе решения позволяет минимизировать дисперсию предсказания средних значений получаемых концентраций. Однако более важной может быть устойчивость при плохо обусловленной системе. Характеристикой обусловленности системы является величина конд-минимума сонс А. Для уравнений типа (14.170) и (14.171) соп(1 А имеет наименьшее значение, когда матрица параметров уравнений связи ортогональна. При анализе Л -компонентного образца на содержание (уУ-1)-компонентов можно построить ортогональную матрицу коэффициентов. При анализе на все компоненты матрицу можно привести к квазиортогональному виду. Таким образом, для обеспечения минимальной погрешности анализа и высокой устойчивости уравнений связи к экспериментальным ошибкам необходимо, чтобы матрица параметров уравнений связи была орто-или квазиортогональной, а система для определения этих параметров также имела орто- или квазиортого-нальную матрицу концентраций. Чтобы избавиться от неопределенности в значениях коэффициентов уравнения, необходимо состав градуировочных образцов выбирать по схеме ортогонального планирования. Для этой цели можно воспользоваться планами симплекс-решетки Шеффе. [c.35]

Плохая обусловленность матрицы А [23] тесно связана с тем явлением, что матрица А обладает одним или несколькими собственными значениями 1 -, равными или почти равными нулю. Среди компонент вектора АК будут находиться и те, которые особенно чувствительны к ошибкам входных данных. Пайдем зависимость малых собственных значений матрицы А от ошибок входных данных. Для этого рассмотрим уравнение [c.340]

Коптев Г. С., Татевский В. М. О необходимости исследования систем линейных алгебраических уравнений на обусловленность и некоторые попытки устранения причин плохой обусловленности. Вестн. Моск. ун-та , химия, Хо 2, 10—18, 1966. [c.316]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология