Эйлера формулы

Метод Рунге — Кутта позволяет получить более высокую точность, чем метод Эйлера при меньших п. В этом методе итерационная формула имеет вид [c.146]

Здесь Ей — критерий Эйлера [формула (1-21)] Пе — критерий Рейнольдса [c.397]

Но выражение, стоящее в левой части последнего уравнения, есть критерий Эйлера (формула 63а, гл. I) [c.265]

Элементарная струйная теория центробежных машин была создана в России Л. Эйлером. Формула Л. Эйлера (2.4) является основной теоретической схемой при расчетах центробежных машин. В соответствии с этой теорией движение жидкости в канале между лопастями центробежного колеса при достаточно большом их числе (откуда эта теория получила и другое название — теория бесконечного числа лопастей) и незначительной ширине колеса приближенно может рассматриваться как струйное. Из уравнения неразрывности может быть определена средняя относительная скорость и ее направление как касательное к средней пинии тока. При бесконечно большом числе бесконечно тонких лопастей поток в области колеса становится осесимметричным (рис. 2.9, а). Относительная скорость, которая определяется уравнением неразрывности уже для каждой точки области, оказывается направленной по [c.18]

Преобразуем формулу Эйлера (2.4), подставляя в нее значение Са,, из плана скоростей на выходе рабочего колеса (см. рис. 2.3, в) [c.40]

Здесь Ей—критерий Эйлера [формула (1-21)] Ке — критерий Рейнольдса [формула (1-22)] Г =- , где I — длина трубы, м йэ — эквивалентный диа- [c.397]

В описываемом методе используются простые формулы, основанные на уравнении Эйлера и правиле трапеций. [c.269]

Это и есть основная формула явного метода Рунге — Кутта второго порядка точности. В зависимости от выбора а получаются различные конкретные виды этой формулы. При С2 = О (3.101) переходит в известную формулу Эйлера Уп + 1 = Уп + kf t, у), для которой при а = 1 имеем Уп + 1 = Уп + л/(г + 1/2А, [c.183]

Математическое пояснение. При написании формулы (7) мы воспользовались известным соотношением Л. Эйлера [c.20]

Если т фО и поворот совершается на угол кп к = 0, 1, 2,. ..), то, используя формулу Эйлера [c.194]

Продольный изгиб Формула Эйлера (стержни большой гибкости, для которых о- р о- ц) [c.359]

Ф на краю (фиг. 26). Заметив, что —d d заключаем, что уравнение (160) не изменит своего вида. Следовательно, мы можем ввести в окончате.яьный результат со вместо ф. Переходя от показательных функций к тригонометрическим (по формуле Эйлера), [c.89]

При интегрировании по методу Эйлера полагается, что производная по X от Х) до — постоянная величина, что соответствует кусочно-линейному представлению интегральной кривой на отдельных участках интегрирования. Из формулы (12—12) следует, что для получения решения используется ряд Тейлора с точностью до членов первого порядка малости по к, поэтому ошибка на каж- [c.353]

Полагая, что в сечении О поток не закручен (с = 0), а средний момент скорости в сечении 2 равен моменту средней скорости с 2 2, получим одночленную формулу Эйлера [c.35]

Основной задачей при использовании формул Эйлера, Рунге— Кутта и т. д. для решения системы (7.288) является выбор шага интегрирования, или фактора релаксации. При малых значениях последнего сходимость решения монотонная, но медленная. В случае же больших значений л возможно появление колебательности и даже расходимости решения. Система уравнений баланса является жесткой, т. е. имеет сильно различающиеся по абсолютной величине собственные значения. Поэтому ее решение существенно зависит от величины шага интегрирования. Очевидно, должно существовать оптимальное значение фактора релаксации, величина которого определяется собственными значениями матрицы системы уравнений и в конечном итоге количеством и концентрацией компонентов на тарелке. При расчете по формулам (7.288) фактор релаксации определяется через собственные зна- [c.367]

Интегрирование по методу Эйлера заключается в последовательном применении формулы (12—17) к уравнению (12—8), начиная = 1. При наличии начального условия = для [c.353]

Формула (12—19) и есть формула модифицированного метода Эйлера. Она может быть записана иначе, если промежуточная точка, производная в которой определяет направление отрезка интегральной кривой, отстоит от соседних точек на величину шага [c.354]

Оценка точности формул Эйлера. Для того чтобы оценить точность улучшенных формул Эйлера, можно сравнить их с разложением решения в ряд Тейлора. [c.356]

Плодотворный подход к моделированию пористых сред с привлечением математического аппарата комбинаторной топологии сформулирован в работе [40] на примере построения математического описания процесса спекания металлического порошка. Главным достоинством данного подхода является его инвариантность по отношению к непрерывным деформациям, происходящим в процессе спекания частиц порошка. Параметрами в топологической модели (Рине) являются число частиц Р и число связей между ними С, через которые по формуле Эйлера определяется род поверхности С, ограничивающий спекающееся тело С = = С — Р + 1. Род поверхности С связан с ее Гауссовой кривиз- [c.133]

Из сравнения (12—16) и (12—24) мо/кно заключить, что видоизмененные формулы Эйлера согласуются с разложением в ряд Тейлора с точностью до членов стенени /г включительно, т. е. обеспечивают точность на порядок выше, чем формула (12—17). Можно также показать, что формула Эйлера—Коши с итерационным уточнением на каждом шаге нозволяет получить точность порядка к [271. [c.356]

Модифицированные формулы Эйлера относительно часто применяются в практике вычислений. Рассмотрим устойчивость решения, полученного по этим формулам. [c.357]

В зависимости от знака величины А один из корней характеристического уравнения (12—28) оказывается по модулю большим единицы. Поэтому при I оо общее решение неоднородного уравнения и, следовательно, модифицированный метод Эйлера является неустойчивым. Так же как и для простой формулы Эйлера, ошибка может быть уменьшена только за счет уменьшения шага интегрирования. [c.358]

Т. е. получила вид формулы Эйлера. [c.360]

Если же положить, что рг,1 = О, то из (12—44) получим р2,г = = 1 2,1 = СС2 = 1/2. Тогда после подстановки полученных значений в (12—39) последнее преобразуется к виду (12—19), т. е. получим формулу модифицированного метода Эйлера. Отсюда следует, что формулы Эйлера являются частными случаями формул Рунге—Кутта первого и второго порядков. [c.361]

Пример 2. Рассмотрим сравнительную оценку различных формул интегрирования на простейшем примере. Пусть в сосуд объемом V, заполненный жидкостью состава Хд, с постоянной скоростью Р подается жидкость состава ис такой же скоростью выводится жидкость из сосуда. Полагая, что жидкость в сосуде идеально перемешивается, найти зависимость концентрации на выходе сосуда, используя формулы Эйлера и Рунге—Кутта. [c.363]

Решение уравнения (12—49) по формулам Эйлера (12—17) и (12—19), а также по формулам Рунге—Кутта (12—47) для интервала времени О < 40 приведено в табл. 22. [c.363]

Из сравнения точного и приближенных решений можно заметить, что формула Эйлера на каждом шаге интегрирования дает завышенное значение функции, в то время как видоизмененные формулы Эйлера заниженные формулы Эйлера наименее устойчивы при увеличении шага интегрирования — в них колебательность решения проявляется уже при Я = 7, а формулы Рунге—Кутта — при Я = 15. [c.364]

Для условий, рассмотренных в примере 1, составим программу интегрирования системы дифференциальных уравнений, описывающей динамику тарельчатой ректификационной колонны, используя формулы усовершенствованного метода Эйлера — Коши. [c.368]

Первые к условий заданы при х = Хд, а остальные п — к условий — при X = Ху. Несмотря на наличие полного набора граничных условий для всех уравнений, эта система уравнений уже не может быть решена прямым применением формул Эйлера или Рунге — Кутта. Задачи, в которых граничные условия для дифференциальных уравнений заданы в двух точках, называются двухточечными краевыми задачами. К краевым задачам относятся также многоточечные краевые задачи, когда условия для неизвестных функций заданы в системе точек х = х , х = vn. д., и задачи с дифференциальными уравнениями порядка выше первого, в которых условия на решение или его производные задаются в раз- [c.379]

Известно, что для метода интефирования по формуле Эйлера dy = 0(5 ), а = 0(5 ) и 0 = 0(5) (где 5 - размер шага 5 = Aj) О -порядок в асимптотических оценках, если а = 0(5 ), тогда а/б стремится к константе, как S стремится к нулю. [c.274]

Чтобы можно было воспользоваться соотношением (У,161) для численного интегрирования уравнения (V, 158), необходимо в начале процесса интегрирования знать значения х (/<0)) и х I- А/). Поскольку для уравнения Эйлера (У,133) граничные условия могут быть заданы в различных точках интервала интегрирования (V,135), величина л (/< > Аг ) должна быть задана для начала интегрирования в известной мере произвольно, после чего становится возможным примене1[ие формулы (У,161) для оиределения значения х на другом конце интервала интегрирования, т. е. величины л (/< ) Результат сравнения найденного значения х (/( ) с заданными условиями (V, 135) служит для коррекции первоначально принятого значення Л (/(0) А ). Эта процедура повторяется до тех пор, пока не будет достигнуто удовлетворительное соответствие между рассчитанным X (/( )) и заданным значениями х (/) на конце интервала интегрирования. [c.220]

Движение газа в рабочем колесе центробежного компрессора аналогично движению жидкости в центробежном насосе. Газ подводится к рабочим колесам в осевом направлении с определенной скоростью, затем отклоняется в радиальном направлении и поступает в каналы, образованные лопатками колеса. Проходя через каналы рабочего колеса, частицы газа одновременно участвуют в двух движениях по окружности вместе с рабочим колесом и относительном, перемещаясь по каналам между лопатками. Скорость абсолютного движения частицы газа С получается геометрическим сложением скоростей окружного 7 и относительного 11 движепин. Пример сложения скоростей в рабочем колесе изображен на рис. 82. Теоретический папор, создаваемый машиной, определяется по формуле Эйлера [c.268]

Таким образом, применение соотношений типа (3.111) основано на том, что элемент, представляемый явной схемой Эйлера в методе Рунге — Кутта, заменяется на неявный элемент, разрешаемый Ньютоновскими итерациями. Конкретный выбор значений параметров в (3.111) определяется процедурой регуляризации, состояш ей в установлении соответствия между численным решением и формальным разложением в ряд Тейлора с заданным порядком точности по к (порядок не может быть больше второго). Применяя формулы вычислительного процесса У п+1 = ФУп к исходному уравнению у = —Ку, всегда можно удовлетворить требованию ф < 1 выбором значений параметров в (3.111). Другие параметры выбираются либо пз сообра-жеиий простоты процедуры, либо регуляризацией иного типа, наделяющей численную схему дополнительными желательными свойствами. Таким образом, вычислительный процесс (3.102) легко управляем и является балансным, однако не имеет свойства положительности, т. е. в решении возможно появление отрицательных концентраций, продемонстрированное на примере (3.83). [c.188]

Формулы Эйлера. Пусть дано уравнение (12—8), удовлетворяю-щееначальному условию Уо = у (ха), решением, которого является функция у = у х), определенная на интервале а, Ь) (рис. 53). Выберем достаточно малый шаг к и построим систему точек [c.352]

Формула (12—69) получена исходй иа ййтерполяциойиого кйо гочлена, включающего разности третьего порядка. Аналогично могут быть получены формулы Адамса с другим числом точек ин терполирования. Так, например, если ограничиться разностями первого порядка, то в результате будет получена формула Эйлера. Однако чем выше порядок интерполяционного многочлена, тем больше точек необходимо знать для начала вычислительного процесса. [c.367]

Теоретжчвский напор определяется по формуле Эйлера при уоловии, что окружная окорооть иа входе и выходе на колеса ооеаого наоооа одинакова я [c.67]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология