Эйлер

В случае поточных систем законы сохранения представляются в виде уравнения неразрывности. Для его вывода воспользуемся методом Эйлера, применяемым в учении о потоках (см. также гл. 6). [c.49]

Для определения понятая парциальной молярной величины обычно используется теорема Эйлера об однородных функциях. Известно, что функция G x, у, z,. . . ) называется однородной функцией т-го измерения, если она удовлетворяет условию [c.28]

Таким образом, отношение функций обеих сил в системе можно представить с помощью зависимости между критериями Re. Дальнейшее распространение изложенной мысли на остальные снлы (или на остальные члены уравнения Навье — Стокса) ведет к образованию новых безразмерных комплексов — критериев Эйлера Ей и Фаннинга Fa. [c.85]

При численном интегрировании уравнения Эйлера, представляющего собой нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка [c.219]

Однако при исчезающе малом, но конечном значении величины Ог, граничное условие (10.32) означает, что градиент концентрации в сечении на выходе равен нулю. Это несколько неожиданный вывод, потому что явно превалирующее условие, когда = О, не может рассматриваться как предел общего решения задачи при Ог, стремящемся к нулю. Рассмотренная ситуация имеет аналогию в классической механике жидкости, решенную Прандтлем путем введения концепции пограничного слоя. В последнем случае решения задачи невязкого течения или уравнений Эйлера не являются пределом, к которому стремится решение общих уравнений Навье — Стокса, когда вязкость приближается к нулю. [c.121]

На основании теоремы Эйлера (1.56) имеем при т = 1 [c.29]

Здесь Г( )= I л " интеграл Эйлера второго рода, называе-0 [c.119]

Интеграл д и его экстремум определяются через зависимость переменной У/ от времени. Известно, что интеграл обнаруживает экстремум только при одном определенном значении функции. Определение функции, которая дает экстремум является задачей вариационного исчисления, причем установлено [20], что искомой функции удовлетворяет дифференциальное уравнение Эйлера [c.353]

Преобразование х -шкалы в х-шкалу в соответствии с зависимостью (7-1) характерно тем, что начальному пункту д -шкалы х = 0) соответствует начальный пункт а -шкалы х = 0), точке с х = I на х-шкале соответствует АГ-точка на л -шкале. Это простейшее соотношение между двумя шкалами (АГ-кратное отклонение) названо, по Эйлеру, линейным аффинитетом. Для него характерна постоянная отношения. [c.76]

В инженерной практике перепад давлений во многих случаях можно не учитывать и, следовательно, пренебречь влиянием критерия Эйлера. Тогда зависимость (7-20) упрощается [c.85]

Прп Е= (Др)сг2 получается критерий Эйлера (Ей), прп = критерий Фаннинга Ра=- [c.118]

Б дальнейшем для сокращения записи уравнение Эйлера (У,58) часТ ) будем представлять в форме [c.201]

Согласно теореме Эйлера, если G есть однородная функция т-го измерения от нескольких перемепш.гх х. у, z, то [c.28]

Следовательно, после того как найдено решение уравнений Эйлера, предстоит еще убедиться, что функционал при этом прини-м,1ет экстремальное значение и что оно нужного типа. Лишь после подобной проверки можно считать, что оптимальная задача решена до конца. [c.202]

Во всех приведенных выше рассуждениях молчаливо предполагалось, что существует возможность получения аналитического решения уравнений Эйлера. В действительности дело обстоит иначе. Ниже обсуждаются вычислительные аспекты, относящиеся к решению уравнения Эйлера [c.213]

Поскольку на изотермических участках на основании ограничений (V,201) не допускается двустороннее варьирование экстремали, для функционалов (V,203) и /,ч (V,205), вообще говоря, нельзя записать уравнений Эйлера. Однако для функционала 1 (V,204) можно вь[вести уравнение Эйлера, причем его общее решение совпадает с решением уравнения Эйлера для функционала (V,44), которое в параметрической форме представляется в виде уравнений (V,174) и (V,176). [c.230]

Особенность экстенсивных свойств состоит в том, что при увеличении пли уменьшенни в равной степени количеств всех компонентов смеси значение свойства смеси изменяется в той же степени. Так, при постоянных р, Т п составе смеси 10 молей раствора до гжны иметь вдесятеро большие объем, вес, энтальпию и т. д., чем 1 моль. Следовательно, экстеиспвные свойства О можно при постоянных давлении и температуре считать однородными функциями масс отдельных компонентов системы первой степенп и применить к ним теорему Эйлера. [c.29]

Примечание. Обозначения безразмерных комплексов в мировой литературе, к сожалению, еще не полностью унифицированы. Так, Босворт [1] под критерием Фаннинга Ра понимает отношение сил давления к единичной длине трубы и подъемной силе. Этот комплекс по приведенным здесь обозначениям соответствует модифицированному критерию Эйлера. [c.80]

Таким образом, для трех потоков получим 3-3 = 9 независимых безразмерных комплексов. Из составляюш 1х I —IV можно, конечно, образовать еще и другие безразмерныё комплексы, но общее число независимых безразл1ерных величин должно оставаться равным девяти. Можно также образовать безразмерные комплексы 1 и, Ш и (см. табл. 8-10 на стр. 118), соответствующие отношениям П1/П. Необходимо отметить,что в случае потока импульса к последней строке табл. 7-1 будут относиться многие безразмерные комплексы, так как в уравнение входит Е — обобщенная сила. В случае силы давления Е = АрдР получим критерий Эйлера Ей, в случае силы тяжести Е = — критерий Фаннинга Еа и т. д. Исходя из зависимости (7-4), можно дать физическое толкование каждой сложной безразмерной величины, причем, например, большое численное значение критерия Рейнольдса Ке обозначает большой перевес [c.80]

Уравнения Эйлера выводят как необходим[)1е условия экстремума функционала. Поэтому нолученные интегрированием системы диф-( )е )еициальных уравнений функции должны быть проверешл иа экстремум функционала (см. главу V, стр. 202). [c.31]

Заслуживают внимания прямые методы решения задач оптимизации функционалов (см. главу V, стр. 220), обычно позволяю1цне свести исходную вариационную задачу к задаче нелинейного нро-грамкшрования, решить которую иногда проще, чем краевую задачу для уравнения Эйлера. [c.31]

Теперь условие того, что функция х (/) есть экстремаль фупк-шюнала /, мол ет быть сформулировано как требование равенства нулю первой вариации фуикщюнала б/ (У,64), откуда также следует найденное вынк" уравнение Эйлера. [c.201]

Уравнение Эйлера (У,59) получено для случая, когда функ-ц юкал / выражается только через одну функцию. Если функционал зависит от нескольких функци одной переменной и описывается в, 1рг1женнем вида (У,14), то, проводя аналогичные рассуждения, можмо найти систему уравнений Эйлера, которой должны удовлетворять эти функции, для того, чтобы функционал (У,14) имел экстремальное значение [c.202]

Другими словами, возможны случаи, когда решение уравнений Эйлера дает не экстремаль, а линию иной природы, что можно сравнить с решениями уравнения д.х 1 О, определяющего экстре-М1льные точки функции х, среди которых могут встречаться точки перегиба или точки более сложного типа, если функция д зависит [c.202]

При вычнслепнп производной / (0) в выражении для первой вариации полагается, что функция у 1, е) произвольным образом зависит от малого параметра е. При выводе уравнения Эйлера эта зависимость принималась в виде соотнои1ения ( ,51), где ш ) — прои шольиая функция, удовлетворяющая условиям ( ,50). [c.204]

Сели теперь х (1) является экстремалью функционала (У,48), то его первая вариация (У,82) должна обращаться в нуль. При этом интеграл в выражении для вариации обращается в нуль вследствие того, что экстремалью ) удовлетворяет уравнепн10 Эйлера и, следовательно, обращает в нуль подьштегральное выражение. [c.205]

Возвра[цаясь снова к задаче нахождения постоянных интегрирования в общем интеграле уравнения Эйлера (У,68) при граничных условиях (У,19) и (У,20), заметим, что условия трансверсальности, записанные для обоих ко1и ов экстремали, дают как ра недостающие два соотношения, которые совместно с системой уравнений (У,71) и позволяют определить совокугтость шести неизвестных величин С,, С и [c.206]

Частные случаи решения уравнения Эйлера. Представляет интерес рассмотреть ряд случаев, когда решение уравиен1гя (V, 133) существенно упрощается вследствие специфического вида подынтегрального выражения функционала, т. е. ([зункции (, [c.213]

Чтобы можно было воспользоваться соотношением (У,161) для численного интегрирования уравнения (V, 158), необходимо в начале процесса интегрирования знать значения х (/<0)) и х I- А/). Поскольку для уравнения Эйлера (У,133) граничные условия могут быть заданы в различных точках интервала интегрирования (V,135), величина л (/< > Аг ) должна быть задана для начала интегрирования в известной мере произвольно, после чего становится возможным примене1[ие формулы (У,161) для оиределения значения х на другом конце интервала интегрирования, т. е. величины л (/< ) Результат сравнения найденного значения х (/( ) с заданными условиями (V, 135) служит для коррекции первоначально принятого значення Л (/(0) А ). Эта процедура повторяется до тех пор, пока не будет достигнуто удовлетворительное соответствие между рассчитанным X (/( )) и заданным значениями х (/) на конце интервала интегрирования. [c.220]

После преобразований ервь Й 1 Л егра/ уравнения Эйлера (У,171) можно также характеризовать в 1 ражепием [c.223]

Поскольку решение вариационной задачи связано с получением и решением уравнения Эйлера, которое, в свою очередь, может существовать лишь в том случае, когда отыскиваемая экстремаль допускает свободное двухстороннее варьирование, наличие ограпиче-Н1п1[ (У,260) и (У,261) может привести к тому, что в некоторых случаях вообще невозможно написать данное уравнение. При этом ограничение типа (У,261) еще позволяет иногда использовать аппарат вариационного исчисления иоиском решения в виде функции, п( -разному определенной в ряде интервалов, на которых х ) = л , x t) х или д < X (/) < х , как было сделано ири расчете оптимального температурного профиля в реакторе. При ограничениях же типа (У,260) вариационную задачу даже таким способом в общем случае, ио-видимому, нельзя решить. Это объясняется тем, что при ограничениях типа (У,260) экстремаль функционала может проходить не только внутри дозволенной области, но также частично или нолностью по ее границе. [c.242]

История химии (1976) -- [ c.80 , c.117 ]

Диффузия и теплопередача в химической кинетике (1987) -- [ c.24 , c.25 , c.28 , c.175 , c.187 ]

Основы физико-химического анализа (1976) -- [ c.456 ]

Прогресс полимерной химии (1965) -- [ c.307 , c.356 ]

Теории кислот и оснований (1949) -- [ c.20 ]

Основные начала органической химии том 1 (1963) -- [ c.19 ]

Прогресс полимерной химии (1965) -- [ c.307 , c.356 ]

Справочник по плавкости систем из безводных неорганических солей Том 1 (1961) -- [ c.51 , c.55 , c.619 , c.623 , c.817 ]

Основы химии Том 2 (1906) -- [ c.475 ]

Химическая литература и пользование ею (1964) -- [ c.222 ]

Руководство по электрохимии Издание 2 (1931) -- [ c.113 ]

Химическая термодинамика (1950) -- [ c.155 ]

Избранные труды (1955) -- [ c.702 ]

Сочинения Научно-популярные, исторические, критико-библиографические и другие работы по химии Том 3 (1958) -- [ c.137 ]

Курс органической химии (0) -- [ c.315 , c.398 , c.857 , c.891 , c.895 , c.909 ]

Эволюция основных теоретических проблем химии (1971) -- [ c.43 , c.110 , c.111 , c.301 ]

Химия растительных алкалоидов (1956) -- [ c.7 , c.76 , c.518 , c.519 ]

Термодинамика реальных процессов (1991) -- [ c.98 ]

Образование структур при необратимых процессах Введение в теорию диссипативных структур (1979) -- [ c.65 ]

От твердой воды до жидкого гелия (1995) -- [ c.27 , c.28 ]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология