Устойчивость решений

Говоря о динамическом программировании, следует подчеркнуть, что, во-первых, речь идет о многошаговом процессе последовательного нахождения решения и, во-вторых, так называемая целевая функция в этом случае (в отличие от линейного программирования) имеет, как правило, нелинейный вид. Кроме того, применение методов динамического программирования позволяет провести анализ чувствительности, устойчивости решения, а также определить саму структуру решения. [c.342]

Приведенные выше нелинейные дифференциальные уравнения не могут быть решены аналитически. Для их решения Лин Шин-лин и Амундсон 3 использовали метод численного интегрирования с применением конечных разностей. Для проверки сходимости и устойчивости решения, а также оценки ошибки округления необходимы контрольные расчеты. [c.287]

Таким образом, условия (VII.76) являются как необходимыми, так и достаточными. В теории нелинейных дифференциальных уравнений существует теорема, утверждающая, что если уравнения, линеаризованные в окрестности стационарного состояния, имеют устойчивые решения, то нелинейные уравнения имеют решения, возвращающиеся к стационарному состоянию, если возму- [c.174]

Положение фронтальной плоскости реакции X изменяется во времени, поскольку нет устойчивого решения уравнений (1.28) и (1.29), удовлетворяющего граничному условию (1.10) [1]. Движение -границы описывается дифференциальным [c.59]

Решение осложняется наличием кратных корней, вероятность появления которых заметно растет с увеличением размерности системы. Целесообразно поэтому предварительно понизить размерность решаемой системы, используя законы сохранения. В такого рода способах не возникает проблемы ограничения шага из соображений устойчивости решения, но существует ограничение, определяемое требованием эквивалентности исходной (3.79) и линеаризованной (3.91) систем. Как показывают практические расчеты [58], это более слабое ограничение, и шаг для не очень сложных кинетических моделей может быть увеличен в несколько (10 -4- 100) раз против обычного. Однако для высокой степени жесткости , большой размерности модели, а также в областях резкого изменения поведения решения это ограничение начинает играть существенную роль, и выигрыш хотя и сохраняется, но становится не очень большим. [c.179]

Выше показано, что математические описания химико-технологических процессов представляют собой системы алгебраических или дифференциальных уравнений. Здесь приведем описание некоторых численных методов, позволяющих выполнять расчеты таких систем. Далее рассмотрим существенные для математического моделирования методы исследования таких систем определение чувствительности решения к величинам параметров и, если число возможных решений больше одного, — определение устойчивого решения и па его основе — устойчивого режима работы химико-технологического процесса. [c.141]

Методы исследования устойчивости решения [c.163]

Для исследования устойчивости решения можно, например, вычислить величины у,- при различных начальных условиях и сопоставить их при одинаковых наборах х, у ,. .., Ур. Если, например, yj близки при х оо, получим асимптотически устойчивые решения. [c.163]

На рис. V-4 приведен пример асимптотически устойчивого решения функции одной переменной у = f у)- Достаточно ясно, что если / (0) = О и / у) меняет знак с + на —, когда х, увеличиваясь, проходит через О, решение будет асимптотически устойчивым. Этот вывод указывает на возможность анализа устойчивости [c.163]

Для процессов гетерогенного катализа необходимым условием устойчивости является соблюдение неравенства XV,67) на каждом этапе теплоотвода а) внутри зерен катализатора к наружной поверхности б) от наружной поверхности зерен к потоку реакционной смеси в) от слоя катализатора к охлаждающему веществу. Условия устойчивости для этапов б и в для модели слоя идеального смешения удалось найти, используя хорошо разработанный первый метод Ляпунова. Анализ устойчивости решений этапа а этим методом проводить нельзя, поскольку стационарные состояния описываются ун<е не алгебраическими уравнениями, а дифференциальными нелинейными уравнениями второго порядка. Соответственно отклонения от стационарного состояния характеризуются не обыкновенными уравнениями, а уравнениями в частных производных. Как указывалось выше, общих методов анализа числа и свойств решений таких уравнений не существует. [c.514]

Вместе с тем часто при ограниченных выборках для проверки условий (У.20) или (У.21) инженерная интуиция позволяет оценить устойчивость решения подобно тому, как это сделано выше (стр. 159). [c.164]

Р. Б е л л м а н, Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений, ИЛ, 1954. [c.363]

Так как система уравнений (111,58) дает устойчивое решение и переменные Дг/ (Z, т) и Д г (Z, т) ограничены при т ->оо, то [c.95]

Устойчивость решения. При решении дифференциальных уравнений численными методами помимо вопросов точности важную роль приобретают вопросы устойчивости решения. Под устойчивостью метода решения дифференциального уравнения понимается способность накопления и скорость роста ошибки интегрирования. Как уже отмечалось выше, при использовании формулы (12—17) ошибка вычислений накапливается в процессе интегрирования. [c.356]

Модифицированные формулы Эйлера относительно часто применяются в практике вычислений. Рассмотрим устойчивость решения, полученного по этим формулам. [c.357]

Специальные серии расчетов были посвящены выяснению вопроса об устойчивости решения по отношению к вариациям предельных ошибок АР г и А Г . Оказалось, что 10-кратное завышение предельной погрешности по температуре или двукратное ее занижение приводит к отклонениям А не более 0,1% и 5 не более 0,03%. Отсюда следует, что в тех случаях, когда нет возможности надежно определить значения предельных ошибок, при обработке можно использовать их достаточно грубые оценки. [c.104]

Разработанный алгоритм дает устойчивое решение (идентичное случаю IVa) после 22 шагов при большом размере шага, при очень незначительном понижении целевой функции. [c.280]

Как показано в главе IV (стр. 134), при установившемся режиме существ ет не больше трех решений уравнений (П,3) и (П,5). Эти решения могут быть получены графически как точки пересечения кривой — Г и прямой [Т — Го + — Т )х1х (см. рис. IV-11 и IV-12). Промежуточное решение было неустойчивым, а два других— статически устойчивыми. Верхнее устойчивое решение представляет наибольший интерес, так как ему соответствует самая высокая степень превраш ення этой точке будет присвоен индекс . [c.242]

Это приближение допустимо в области верхнего устойчивого решения, относящегося к новым условиям. При температуре Г, константа скорости реакции равна к величина А1Э есть безразмерное отклонение от этой температуры. [c.243]

Для проверки этого эффекта были численно определены первые пять моментов из системы уравнений (6.15) с начальными условиями (6.19) и при различных порядках интерполяции доопределяющих уравнений (5.98). Расчеты проводили по схеме Рунге — Кутта пятого порядка. Результаты расчетов первых двух моментов и параметров р1 и Ра при а — 0,25 и прежнем начальном условии представлены на рис. 6.2 и 6.7. Из рисунков видно, что повышение порядка интерполяционных формул приводит к нарушению устойчивости решения результирующей системы уравнений. Аналогичные данные были получены при определении моментов автомодельного решения из системы уравнений (6.25). Дробные моменты интерполировались по формуле (5.98). При а = 0,25 были получены следующие результаты [c.119]

III. Стабилизация и устойчивость решений. Приведем некоторые общие утверждения, относящиеся к поведению в целом решений параболических задач. [c.93]

Теорема 8 [1, 9]. Пусть и = 0 является асимптотически устойчивым решением каждой из рассматриваемых задач. Пусть yii i, ai) = 0, г/2(т)л, г) = О для О < Ь < 1, 0[c.97]

В случае задачи (27) можно гарантировать существование не менее трех стационарных решений, если график стационарного устойчивого решения 0(р, 0о) пересекается с графиком некоторого решения задачи Коши (28) 0(р, 0J, 0lp=o = 0i, 0 1р=о = О хотя бы в одной внутренней точке. [c.98]

Руденко Э. Н. К вопросу об асимптотической устойчивости решений параболических уравнений.— Диф. уравнения, 1970, т. VI, № 1, с. 204—208. [c.101]

Следовательно, рассматриваемые средние стационарные режимы неустойчивы, так как самое правое собственное число положительно. Неустойчивость этих режимов подтверждается и прямыми расчетами исходной нестационарной нелинейной системы (1) — (10) при < = < В зависимости от выбора начальных данных (10) решение при сходилось либо к нижнему, либо к верхнему стационарному устойчивому решению. [c.123]

Турбулизация межфазной границы может быть обусловлена- также возникающими при тепло- или массопередаче локальными изменениями поверхностного натяжения. Учет влияния концентрационных и температурных изменений поверхностного натяжения на гидродинамику вблизи межфазной границы представляет собой весьма сложную и в настоян1ее время еще не решенную задачу (необходимо исследовать устойчивость решения уравнения Навье — Стокса по отношению к малым возмущениям — локальным изменениям скорости). Пока сделаны лишь первые попытки решения этой задачи [72, 73]. В частности, показано [72], что возможность возникновения неустойчивости существенно зависит от знака гиббсовой адсорбции растворенного вещества в состоянии термодинамического равновесия, а также от соотношения между кинематическими вязкостями соприкасающихся фаз и коэффициентами диффузии веществ, которыми обмениваются эти фазы. Объяснено явление стационарной ячеистой картины конвективного движения, вызванного локальными градиентами поверхностного натяжения [73].. Дальнейшие исследования в этой области наталкиваются на серьезные математические трудности. [c.183]

Рассмотренная неустойчивость решения является серьезным препятствием при решении дифференциальных уравнений численными методами, когда невольно приходится ограничиваться конечной точностью иредставлення чисел, в результате чего погрешность решения может достигать значительной величины. Следует отметить, что если ири решении одного дифференциального уравнения первого порядка еще можно предусмотреть некоторые методы устранения неустойчивости, то при интегрировании систем дифференциальных уравнений задача обеспечения устойчивости решения становится весьма серьезной и иногда даже непреодолимой на пути получения решения оптимальной задачи. [c.219]

Заметим, что в прииеденных в[)1ше примерах вопрос о существовании экстремума целевой ([зуикции решался анализом устойчивости решения системы дифференциальных уравиеннн, в связи с чем представляет интерес рассмотреть связь этих условий с достаточными условиями экстремума. [c.502]

Устойчивость решений систем уравнений вертикального дисперсного потока при различных способах записи силы межфазного взаимодействия с учетом давления в твердой фазе и касательных напряжений и без него для одномерных и многомерных возмущений исследовалась в ряде работ. Вначале это было сделано применительно к движению фаз в псевдоожиженном слое [136, 179—183], а впоследствии — применительно к отстаиванию суспензий [184-186] и движению пузырьков в жидкости [187, 188]. Вьгеод, который был сделан всеми исследователями, однозначен система дает расходящиеся во времени решения, т. е. иными словами, вертикальный дисперсный поток неустойчив. [c.134]

Особенностью этой системы является наличие зависимости ф. от ф г, которая существенно влияет на результат вычисления. Попытки применить простую итерацию, метод половинного деления или метод релаксации не дали возможности получить устойчивое решение системы. Наилучшие результаты дал шаговый метод, организованный таким образом, чтобы подход к значению фг , являющемуся решением системы, осуществлялся со стороны меньших значений ф., . Особо следует отметить, что величина /го 2, получаемая в процедуре ВХОДРК, может оказаться завышенной в области высоких производительностей — там, где проводилась экстраполяция опытных данных, что приводит к расхождению процесса решения системы. Это выражается в том, что коэффициент реактивности колеса уменьшается н становится отрицательным, условная температура Ту, при выходе из колеса и плот- [c.190]

Методы интегрирования жестких систем обладают свойством Л-устойчивости. Это понятие, предложенное в 1963 г. Г. Далквистом [18], сыграло исключительно важную роль в построении всех алгоритмов для расчета жестких систем. Согласно формальному определению [181, численный метод называется -устойчивым, если он приводит к устойчивому решению уравнения (системы [c.187]

Отметим еще одну особенность решения математического описания для неизотермического процесса. В правой части уравнения теп.т10В0Г0 баланса содержатся члены как линейно связанные с Г, так и нелинейные. Поэтому указанное уравнение может иметь несколько решений относительно величины Т (Ь). При заданной величине Т (0) возможно три таких решения (Ь), Гз Тд ( ), так что необходимо исследование для выбора устойчивого решения (см. главу V). [c.72]

Возникновение неустойчивости возможно в экзотермических процессах, а также в процессах, где имеют место явления автокатализа или торможения исходными веществами и, вследствие этого, г с <0. В тех же случаях возможно возникновение множественных режимов процесса. Оба явления — неустойчивости и неоднознач--ности решений — тесно связаны между собой. На рис. III.3 видно,, что условие (VIII.16) перестает выполняться в точке касания кривой тепловыделения и прямой теплоотвода в этой жё точке изменяется число стационарных решений. Когда прямая теплоотвода на рис. III.3, сдвигаясь вправо, переходит через положение 2, появляются два новых решения, одно из которых оказывается неустойчивым. Эта связь между нарушением условий единственности и устойчивости решений сохраняется и в пространственно распределенных -системах. [c.329]

Сказанное остается справедливым и в случае, когда имеются поперечные градиенты концентрации и температуры. И в этом случае задача Коши для системы параболических уравнений ( 11.44) и ( 11.45) всегда имеет единственное устойчивое решение. Явления неустойчивости могут в принципе возникнуть под влиянием продольного перемешивания потока, однако в достаточно протяженных реакторах этот эффект незначителен. ПрйТюследовании процессов в зернистом слое учет продольного перемешивания сводится к учету [c.336]

Из условия (12—33) следует, что чем больше величина А, тем меньше шаг, обеснечиваюш ий сходимость итерационного процесса, и чем меньше величина шага, тем меньшее количество итераций потребуется для получения устойчивого решения в точке. Однако в обш ем случае нельзя однозначно определить, что выгоднее взять меньший шаг, а с.ледовательно, увеличить число шагов интегрирования, или же увеличить шаг, но производить большее число итераций на каждом шаге. Поэтому в практике вычислений обычно поступают следующим образом. Выбирается произвольный шаг интегрирования и производятся итерации по формуле (12— 23)., Если после двух итераций заданная точность не обеспечивается, то размер шага уменьшается и расчеты повторяются. Эмпирически установлено, что такая стратегия обеспечивает минимальный объем вычислений при заданной точности [18]. [c.359]

Метод Милна обеспечивает более высокую точность но сравнению с методом Адамса. Другим его достоинством является то, что при корректировании вновь полученного решения нет необходимости пересчета интеграла с измененным шагом. Метод Милна обеспечивает устойчивое решение, если производная 5//9г/ во всем интервале интегрирования положительна [271. [c.368]

В случае нестационарного режима для определения того, что происходит при отклонении условий в реакторе от устойчивого состояния, воспользуемся зависимостью (Г). Если скорость пре-враш,ения — известная функция от и Г, то величины df ld (i/т) и dTId (i/x) определяют по уравнениям (П,3) и (П,5) для каждой точки ( , Т) поэтому в принципе можно найти последовательность таких комбинаций Т) и соответств ющего времени, при которых к устойчивому решению приходят из произвольной исходной точки. Если нас интересует только зависимость Т), то исключив значение времени пз уравнений (П,3) и (П,5), получаем [c.242]

Зеленяк Т. И. К вопросу об устойчивости решений смешанных задач для одного квазилинейного уравнения.— Диф, уравнения, 1967, т. III, Я 1, с. 19—29. [c.100]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология