Беллмана уравнение

В табл. П,2 указано, что при t = функция ф (Г ) = 0. То же относится и к функции г[з (х, t), а значит, и к функции Беллмана. Уравнение (11-114) с граничным условием [c.129]

Решение уравнения Беллмана [c.311]

Изложенный случай оптимальной задачи для обратимых экзотермических реакций, осуществляемых в реакторе идеального вытеснения, приведен в литературе в которой можно иайти также значительное число примеров применения уравнения Беллмана для оптимизации реакторных процессов. [c.319]

Рейли и Шмитц (1966 г.), ссылаясь на книги Беллмана (1949 г.) я Гольдберга (1958 г.), предложили преобразование уравнений, [c.224]

IV. 1.2) и рекуррентном пересчете апостериорных распределений неизвестных величин. Однако на практике, как отмечалось выше, решение уравнения Беллмана даже в случае линейного объекта, наталкивается на большие вычислительные трудности — так называемое проклятие размерности . В общем случае эти трудности практически непреодолимы, поэтому обычно переходят к субоптимальным адаптивным алгоритмам, стараясь сохранить при этом по возможности все свойства оптимальных алгоритмов. Имеются два пути решения этой задачи. Первый состоит в последовательном усложнении простейших алгоритмов, с целью обеспечить качественное оценивание и управление. Второй предусматривает упрощение функционального уравнения Беллмана. [c.128]

Полученное уравнение (VI, 146) представляет собой дифференциальное уравнение Беллмана и является аналитическим-выражением принципа оптимальности для непрерывных процессов. [c.300]

Для процессов, состояние которых определяется более чем одной переменной, т. е. при размерности. вектора состояния т, не равной 1, дифференциальное уравнение. Беллмана может быть также записано в виде соотношения (VI, 146) [c.300]

Уравнение Беллмана (VI, 147) представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных, решением которого является функция f(x, t), рассматриваемая как функция переменных х и t. Величина и, входящая в правую часть уравнения (VI, 147), исключается из него в результате максимизации. Если максимизирующее значение и находится внутри допустимой области изменения V, необходимым условием максимума выражения, стоящего в фигурных скобках, служит равенство нулю производной от этого выражения по и. [c.300]

Смысл получаемого решения f(x, t) уравнения Беллмана заключается в том, что становится известным максимальное значение критерия оптимальности, которое получается, если применяется оптимальное управление. Для известной функции f(x, t) оптимальное управление при этом может быть найдено с помощью выражений (VI, 152) и определяется как функция текущего значения вектора состояния x(t) и независимой переменной /. [c.302]

Следует отметить, что когда оптимальные управления находятся на границе области U, замена уравнения (VI, 147) системой уравнений (VI, 149) и (VI, 150) не позволяет использовать ее для определения оптимального решения задачи. При этом система (VI, 150) не выполняется ни при каких значениях управляющих воздействий и для решения оптимальной задачи лучше воспользоваться, например, сведением непрерывного процесса к дискретному с достаточно большим числом стадий. На практике такой прием довольно широко применяется при решении задач оптимизации непрерывных процессов, поскольку он дает возможность избежать решения, как правило, нелинейного уравнения в частных производных, каким является уравнение Беллмана. [c.303]

Наконец, при использовании динамического программирования оптимальное управление можно определить в результате решения уравнения Беллмана (VI, 146) [c.403]

Функции Беллмана связаны между собой рекуррентными уравнениями Беллмана, справедливость которых следует из принципа оптимальности [c.193]

Значение функции Беллмана Лд.+1(Р ) на к-м шаге оптимизации назовем генератором вариантов ее значений ). Уравнения [c.193]

Рис. 5.4.1. К обоснованию уравнений Беллмана для двумерных шагов

Опишем способ вычисления коэффициентов ( 1,б2,...б и обоснуем справедливость (5.4.32) по аналогии с тем, как это было проведено для обоснования (5.4.15) в двухмерном случае. В рекуррентном уравнении Беллмана (5.4.32) рассматривается одна ячейка Ь-мерной сетки, во всех узлах которой (к + 61, к2 + 62, , + (5 ), где для [c.198]

В процессе оптимизации осуществляется перебор участков и периодов управления водохранилищами, причем последовательность перебора несущественна в том смысле, что он может проводиться сначала по участкам, а затем для каждого водохранилища — по периодам, либо, наоборот — сначала по периодам, а затем для каждого периода — по участкам. На каждом шаге применяется двумерный аналог уравнения Беллмана, выведенный в разделе 5.4 [c.206]

Тогда на г-м шаге оптимизации уравнение Беллмана имеет вид [c.440]

Система уравнений Беллмана для данной задачи имеет вид [c.214]

Условия Кротова. Уравнение Беллмана. Рассмотрим задачу (П 89) — (П-90). В соответствии с изложенной схемой получения достаточных условий оптимальности составим для нее функцию R, приняв управления и t) в качестве свободных переменных, а функции X t) в качестве зависимых. Такое разделение естественно для большинства задач, где ограничения наложены на [c.127]

Функция R записана в предположении, что Xq = 1. Если решением задачи является вырожденная пара и, х ), т. е. такая, на которой достигает экстремума одно из ограничений на множестве, характеризующемся остальными ограничениями, то аналогично конечномерной задаче нельзя рассчитывать на существование функции (р (х, t), удовлетворяющей уравнению (П-114). Условия, при которых существует функция Беллмана, приведены в работе [25]. [c.130]

В (11-116) фигурирует множество которое при формулировке достаточных условий не вводилось, так как переменные состояния не ограничены. Фактический процесс вычисления функции Беллмана может быть проведен и при ограничениях, наложенных на состояния системы, положив, что за пределами этих ограничений / (х, и, I) достаточно мала при любых и, t. При вычислении оценок, как и при численном решении уравнения Беллмана, ограничения на фазовые координаты только упрощают задачу. [c.130]

Выражение (IV-18) называют уравнением Беллмана, а ф — функцией Беллмана. Задав ф (х ) = О, можно последовательно рассчитать оптимальные значения функции цели ф для всех возможных состояний процесса и зависимость оптимального управления от номера i и состояния Х(. Причем канедую из полученных функций приходится держать в памяти машины до самого последнего этапа расчета. Чем больше возможных состояний, тем больший необходим объем памяти. Особенно сильно этот фактор сказывается при увеличении размерности вектора х. Зато в качестве решения мы получаем управление, обеспечивающее абсолютный максимум /(,. Более того, в качестве побочного продукта получаем синтез оптимального управления, т. е. его зависимость от состояния. Зная синтез, мы можем подавать на управляющее устройство состояние системы х и получать соответствующее ему оптимальное управление. [c.229]

В гл. 4 проведено сравнение математических методов вариационного исчисления и динамического программирования. Указаны возможности и границы применимости этих методов. Выводятся различные варианты уравнения Беллмана. Следует отметить, что изложение материала не всегда достаточно строго и корректно. При подготовке книги к русскому изданию неточности, допущенные автором, по возможности устранялись. Для химика-технолога представит интерес применение метода динамического программирования к последовательно-обратимой реакции с целью выбора оптимального времени перехода от начального состояния к заданному. [c.8]

Выведем функциональные уравнения, описывающие процесс. Для вывода этих уравнений используем принцип оптимальности Беллмана. [c.150]

Ниже кратко излагаются результаты Беллмана применительно к уравнению (1). [c.216]

Для решения уравнения Беллмана можно воспользоваться численным м е т о д о м , а в ряде случаев, особенно при ре-шенин целого класса задач оптимизации химических реакторов,— методом характеристи [c.313]

Поскольку оптимальное управление такого тнпа нереализуемо ввиду вычислительных трудностей, в работе [123] предложено следующее упрощение уравнения Беллмана предполагается, что матрица мала и в уравнение (1V-17) вместо / j i(0n, Уп> подставляют величину (0 , 0), ютторую с учетом уравнения объекта (1V-16) преобразуют следующим образом [c.129]

Подстановка выражения (1 -20) в уравнение (IV-1T) и последующие преобразования поззо. .ямт по..1учить приближенное решение уравнения Беллмана в виде следующей субоптпма. ыюй стратегии [c.129]

Препятствием для использования, например, метода неопределенных множителей Лагранжа является наличие ограничений на управляющие воздействия или переменные состояния в форме неравенств. С этим же препятствием приходится сталкиваться при использовании вариационного исчисления, когда в случае ограничений типа неравенств невозможно записать уравнения Эйлера. Наконец, при выводе уравнения Беллмана в динамическом программировании (VI, 146) необходимо допущение о дифференцируе-мости функции /, для которой записывается это уравнение и которая связана с критерием оптимальности процесса, заданным в виде функционала (VII, 545) соотношением [c.404]

Наличие зависимости каждого слагаемого минимизируемой суммы от Xk-i не вносит существенных осложнений, так как этот случай сводится к предыдущему с помощью преобразования двухсвязной марковской цепи в односвязную за счет повышения размерности фазового пространства (замена одномерного управляющего параметра Xj на двухмерный параметр Xj. Л3-1). Это приводит к некоторому усложнению системы функциональных уравнений Беллмана , которые для данной задачи будут иметь вид [c.203]

Описанный метод динамического программирования оказывается уииверсальным и эффективным в применении к различным оптимальным задачам бинарной ректификации. В зависимости от постановки задачи и выбора критерия оптимальности (минимизируемого функционала) приходится сталкиваться с односвязным или двухсвязным, одномерным или двухмерным процессом решения системы функциональных уравнений Беллмана. В соответствии с этим задача минимизации функции многих переменных заменяется набором последовательно решаемых задач минимизации функции одной или двух переменных. [c.215]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология