Собственные функции действительные и комплексны

Предполагается, что собственные значения расположены в порядке увеличения индекса, а равно нулю. Тогда определенная из уравнения (13.21) функция фо(г, и) по смыслу совпадает с потоком нейтронов в реакторе, определяемым согласно уравнению (13.1). Собственные значения и собственные функции уравнения (13.21) могут быть, конечно, и комплексными. Но существенно то, что собственные значения уравнения (13.21) могут быть расположены в порядке возрастания величины действительной части. [c.569]

Вероятность нахождения электрона в какой-либо точке пространства определяется не только значением г, но также и величинами углов 0 и ф и, следовательно, зависит как от радиальной / пг(г), так и от угловой У(т(0, ф) частей атомной орбитали. Рассмотрим более подробно сферические гармоники Угт(0, ф) Функции (2.27) являются комплексными, что ясно из вида Ф-функций (2.19). Между тем в большинстве случаев удобнее работать с действительными функциями. Так как функции Угт(0, ф) иУг-т(0, ф) вырожденные, можно воспользоваться свойством вырожденных собственных функций, согласно которому их линейная комбинация также является решением уравнения Шредингера с тем же собственным значением (см. с. 13). Функции У и У(ж" будут решениями уравнения (2.9) [c.32]

Рис. 39. Схематическое изображение электронных волновых функций в кристалле [2] а — потенциал вдоль цепочки атомов б — пример собственной функции (сама функция комплексна здесь показана только ее действительная часть) эту функцию можно представить в виде произведений функции Блоха Ь, имеющей периодичность решетки и плоской волны г (здесь показана действительная часть последней)

Очень важным свойством собственных значений самосопряженных операторов является то, что они всегда действительны. Собственные значения совпадают со средними значениями соответствующих физических величин в состояниях, описываемых собственными функциями этих операторов. Поскольку средние значения действительны ( 7), то действительны и собственные значения. В действительности собственных значений самосопряженных операторов можно убедиться и непосредственно из уравнения (8,5). Для этого умножим уравнение (8,5) на функцию ф , комплексно сопряженную к г ), и вычтем из полученного уравнения ему комплексно сопряженное. Интегрируя полученное выражение по всем значениям независимых переменных, находим [c.35]

Обычно в качестве третьего квантового числа используют магнитное квантовое число т, которое, вообще говоря, отвечает комплексным собственным функциям. Однако в задачах, в которых отсутствует магнитное поле, можно ограничиться действительными решениями уравнения Шредингера. — Прим. ред. [c.25]

Новые электронные состояния удобнее всего обсуждать, используя набор действительных -функций, которые не являются собственными функциями оператора Ь,, но которые соответствуют октаэдрической симметрии комплекса. Действительные -функции получают выбором действительных и мнимых частей функций комплексных орбиталей (1). Угловые части выбранных функций даются следующими формулами [c.194]

Если две или больше собственных функций соответствуют одному и тому же собственному значению, то оно называется вырожденным. В таком случае любая линейная комбинация собственных функций также является собственной функцией гамильтониана. Эта теорема была использована в гл. 3 при переходе от комплексных р-и -атомных орбиталей к действительным. [c.97]

Если положить В = О, что соответствует пренебрежению переходными процессами в самой скважине, то квадраты корней уравнения (9.11) являются собственными значениями самосопряженной задачи Штурма — Лиувилля, следовательно, они действительны. Если > О, то все квадраты корней отрицательны, т.е. все корни лежат на линейной оси в комплексной плоскости, поэтому условие устойчивости (9.12) выполняется. При изменении параметров задачи корни уравнения (9.11) могут войти в область неустойчивости, для которой не выполняется условие (9.12), т.е. при этом не сможет осуществляться стационарное фонтанирование. Если 5 = О, то переход корней в область неустойчивости возможен лишь в точках и = О и и = °° (поскольку квадраты корней действительны). Использование асимптотических представлений функций Бесселя при больших и малых значениях аргумента позволяет выделить следующую область устойчивости для пределов изменения производной > О или < [c.199]

Покажем, что орбитально невырожденному уровню -должек соответствовать нулевой момент (а следовательно, нулевой орбитальный магнитный момент). Предположим, что собственная функция (соответствующая некоторому собственному состоянию системы) является функцией комплексного переменного. В этом случае всегда существует по крайней мере еще одна независимая собственная функция, соответствующая состоянию с той же самой энергией, т. е. комплексно-сопряженная функция. Значит, любое состояние, которое может быть описано собственной функцией в комплексной форме, должно быть по меньшей мере дважды вырожденным. Наоборот, если состояние не вырождено, собственная функция должна быть действительной (по крайней мере в том случае, когда потенциальная энергия определяется [c.281]

Так как равноценные нормированные собственные функции могут быть пол у-чены путем перемены знака, предшествующего функции, то это изменение удобства ради произведено в табл. 2. В табл. 3 приводятся как комплексные, так и действительные значения собственной функции т( ) при тп, равном 1-В табл. 4 даются действительные формы полных собственных функций без спина для водородоподобных атомов, электрон которых находится или в о о.тточко К (п = 1), или в оболочке Ь п = 2). [c.76]

Если ф и ар вырождены, их можно заменить на любую лийей-ную комбинацию по нашему усмотрению. Тогда комбинация ф гр является либо действительной, либо чисто мнимой функцией [ср. (2.32) и (2.33)], а любая чисто мнимая функция может быть преобразована в действительную умножением на алгебраическое число I Поэтому можно заменить комплексные функции 1р и 1р на две эквивалентные функции, которые уже будут действительными. Отсюда следует, что собственные функции гамильтониана действительны или могут быть эквивалентно представлены в действительной форме. При рассмотрении только таких свойств системы, которые определяются гамильтонианом Н, а не такими операторами, как и М —а это будет справедливо почти для всех задач в этой книге, — можно без потери обшности считать все. волновые функции действительными. Такое упрощение оказывается полезным и при его введении мы ничего не потеряем, поэтому в дальнейшем изложении мы будем рассматривать только действительные функции. [c.49]

Но тогда функции ф,(х) тоже действительны. В самом деле, если собственному значению соответствует комплексная собственная функция , = + г г о сопряженная функция —г —тоже собственная функция но тогда одному собственному значению соответствуют две собственные функции, что невозмои но (это было бы возможно для однородного кольца). Каков физический смысл ортогональности собственных функций Пусть система колеблется в двух тонах г-ом и к-ом. Тогда [c.420]

Мы уже указывали, что возможны сомнительные толкования термина устойчивость . Однако при линейных системах подобная проблема не возникала, поскольку очень просто систематизировать возможности в соответствии с той формой, которую принимают решения. При А = onst члены (si—А) линейны по s и, как следствие, члены (si — А) имеют полиномиальные числители и знаменатели, причем наивысшая степень знаменателя равна порядку матрицы А. Однако полиномы в s после обратного преобразования становятся экспоненциальными временными функциями. В целом, решение имеет следующую структуру. Различным собственным значениям соответствуют слагаемые, экспоненциально изменяющиеся со временем. Кратные собственные значения вносят в решение вклад в виде произведения степенной функции времени на экспоненту с действительным или комплексным показателем степени. [c.70]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология