Бифуркация нормальная

Третий тип перехода возникает при комплексных собственных значениях. В этом случае пара комплексно-сопряженных значений одновременно пересекает единичную окружность. Этот переход отвечает бифуркации Хопфа (возникает блуждание траектории вокруг устойчивой прежде точки). Если бифуркация нормальная, то предельный цикл переходит в тор, если обратная, то вновь возникает перемежаемость. [c.54]

Сравнение результатов, полученных здесь и в гл. 14, позволяет указать несколько различных форм неустойчивости. Одним из двух типов неустойчивости, которая может возникать в схеме (разд. 15.2), является точка бифуркации, определение которой дано в разд. 14.6. Второй тип неустойчивости — смена устойчивости, когда мнимая часть частоты нормальной моды обращается в нуль. Здесь неустойчивое стационарное состояние является узлом (рис. 9.1). В этом случае мы имеем точку второго типа [c.233]

Своего рода след бифуркации при Р = р был приведен ранее на топограмме для КВЦ и КСЦ. Еще раз подчеркнем, что по оси абсцисс была отложена степень растяжения системы, при которой происходила кристаллизация в этой главе мы еще раз показали, что в нормальных условиях нельзя вытяжкой (характеризуемой тем же р) превратить КСЦ в КВЦ. Характерно, что с увеличением р даже до критического значения степень кристалличности (за счет КСЦ) убывает, а выше р довольно быстро растет, как степень кристалличности, так и особенно Тпл КВЦ (хотя она не может быть единой в силу прин-38в [c.386]

Случай Ке <С О называют нормальной бифуркацией. При таком знаке коэффициента выше порога неустойчивости р = ркр нелинейные эффекты обусловливают эффективное ограничение роста амплитуды неустойчивой моды. При р ркр уравнение (4.2.23) имеет стационарное решение [c.113]

Возникновение периодического режима после нормальной бифуркации представляет собой лишь первый шаг к установлению в среде развитой турбулентности. При дальнейшем увеличении параметра накачки р выше порога первой неустойчивости р—Ркр должно осуществляться последовательное усложнение структур, заканчивающееся порождением столь сложной пространственно-временной структуры, что она не допускает уже детерминистического описания и должна исследоваться методами теории случайных процессов. Такая структура и есть хаос, или состояние развитой турбулентности. [c.114]

Нормальные и обратные бифуркации [c.51]

У переменных X и Г действительная часть появляется при г>1. Таким образом, в точке г = 1 имеет место нормальная бифуркация вилки и появляется два устойчивых решения, соответствующих стационарной валиковой конвекции с противоположным направлением вращения конвективных валов. [c.80]

Упомянутые свойства процесса позволяют выбрать класс моделей, описывающих особенности клеточного цикла нормальных и опухолевых клеток. Существование циклического режима (пролиферации) и наряду с ним режимов покоя означает, что минимальная динамическая модель должна иметь 2-образную изоклину, характерную для катастрофы типа складки, и при этом быть достаточно релаксационной. (Напомним, что именно в складке возможны периодический и стационарные ждущие режимы (см. гл. 1).) Стохастичность клеточного цикла означает, что модель должна быть не очень грубой, т. е. рабочая область параметров модели должна быть близка к бифуркации типа складки и включать ее. [c.141]

Полученные таким образом распределения длительностей клеточного цикла приведены на рис. 7.7. Видно, что при приближении к точке бифуркации распределение становится все более отличным от нормального и дисперсия его сильно увеличивается. При этом в распределении появляется хвост длинных периодов, связанный с тем, что часть клеток оказывается в ждущем режиме (состояния покоя 0о1 или Оо2 в зависимости от того, к которому из них ближе [c.152]

Мы видим, что стационарное распределение не зависит от фазы ф неустойчивой моды, определяемой соотношением Л = А ехр ( ф). Следовательно, все значения фазы оказываются равновероятными. Форма функции % выше и ниже порога неустойчивости в случае нормальной бифуркации, когда Ке"р<2) о, показана на рис. 4.2. При р а Ркр, когда порог неустойчивости еш,е не превышен, функция % имеет минимум при Л—О, тогда как при минимум этой функции достигается на окружности Л = I , где дается выражением (4.2.25). С увеличением параметра накачки р радиус и глубина кольцевого минимума увеличиваются. [c.127]

Смена возможных стационарных состояний рассматриваемой нелинейной системы и их устойчивости бифуркация), которая происходит при прохождении параметра R через точку R = R , проиллюстрирована на рис. 2,0. Два нетривиальных состояния, возникающие (или, как говорят, ответвляющиеся) в точке бифуркации R = R , существуют в области R> R , где, согласно линейной теории, первичное неподвижное состояние неустойчиво. Это — случай надкритической, или прямой, или нормальной бифуркации. Если же такие нетривиальные состояния системы возможны (хотя и неустойчивы) в той области значений управляющего параметра, где первичное состояние линейно устойчиво, то имеет место подкритическая, или обратная, бифуркация — см. рис. 2, . Оба типа бифуркаций иногда объединяются названием симметричные бифуркации (или бифуркации типа вилки, в англоязычной литературе — pit hfork bifur ations), в общем случае единственное устойчивое состояние, существующее по одну сторону от точки бифуркации, — не обязательно неподвижное состояние. [c.26]

Эта зависимость была учтена только в гравитационном члене, как в случае приближения Буссинеска. Строго говоря, присутствие нелинейных членов в р Т) (т. е. переменность а по Г) означает отход от этого приближения. Рассмотрение было ограничено случаем Р = оо, и величина 7 = (р/а)АТ использовалась как малый параметр, наряду с амплитудой стационарного течения (которую Буссе обозначил как г). Принимая для решения низшего порядка планформу (2.30) и волновое число к = Буссе нашел, что условие разрешимости, к которому приводит процедура разложения, эквивалентно условию экстремума некоторой функции Е(..., с 1, С1,...), где коэффициенты j представления (2.30) подчиняются условию нормировки Последующий анализ устойчивости показал, что для устойчивого решения экстремальное значение величины Е является минимумом. Другое необходимое условие устойчивости имеет вид 0. Оно тривиально в стандартной задаче с нормальной надкритической бифуркацией, но нетривиально в более сложных ситуациях, например, если имеется зависимость (3.5), благодаря которой бифуркация является несовершенной . Выполнение обоих условий оказывается также достаточным для устойчивости стационарного решения при достаточно малом е. [c.37]

Представленная на рис.2.7 бифуркационная диаграмма соответствует нормальной (суперкритической) бифуркации вилки. Это означает, что возникающая в точке бифуркации пара решений ответвляется от начального решения мягко, то есть с нулевой начальной амплитудой, которая монотонно растет по мере роста надкритичности. [c.51]

Точно также нормальной (суперкритической) называется бифуркация Хопфа, если предельный цикл рождается с нулевой амплитудой и в точке бифур- [c.51]

Во втором случае, собственное значение также действительно, но пересекает окружность в точке -1. Момент перехода соответствует ситуации, когда траектория через раз снова попадает в прежнюю точку. Это так называемая бифуркация удвоения периода (субгармоническая бифуркация). Она может быть нормальной и обратной. При нормальной субгармонической бифуркации решение заменяется новым устойчивым периодическим решением с удвоенным периодом (см. параграф 1.7), при обратной бифуркации возникает временная перемежаемость, когда долгие интервалы почти периодического движения сменяются хаотическими осциляциями. [c.54]

Начнем с точек А2 (рис. П.3.6). Эти точки связаны одной линией бифуркации коразмерности 2, назовем ее Л-линией. На Л-линии имеются 3 точки бифуркаций коразмерности 1 — К, N и 8. Точки К и N отвечают дополнительному вырождению ст. с. с двумя нулевыми собственными числами — обращению в нуль коэффициентов нормальной формы. В точке 3 характер ст. с. не изменяется, но появляется двоякоасимптотическая к нему траектория, т.е. образуется петля сепаратрисы. [c.259]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология