Линейные пространства

Термин база в отечественной литературе употребляется, как правило, в том случае, когда рассматривается линейное пространство. В данном случае лучше оперировать понятием об основной системе. — Прим. ред. [c.359]

Обозначим количество вещества А в смеси через С (моль), вектор с компонентами С1 назовем контравариант-ным вектором с, Л -мерное линейное пространство этих векторов обозначим через V. Каждой стадии сопоставляется стехиометрический вектор Vj V с компонентами [c.115]

Остановимся на одном способе построения р,. Обозначим через О линейное пространство, натянутое на векторы г/о,. . ., / 1, а через С его ортогональное дополнение (С О, С X В = [c.43]

Метод с циклическим изменением базиса. В соответствии с условиями (П1, 15) на 1-том шаге (1 < п) вектор р должен быть ортогонален I векторам у ,. .., т. е. п компонент вектора Р1 удовлетворяют I линейным соотношениям. Это значит, что соотношения (111,15) неоднозначно определяют вектор рг и имеются [п— ) степеней свободы. В связи с этим можно потребовать, чтобы вектор р, удовлетворял некоторым дополнительным условиям. Остановимся на одном способе построения р . Обозначим через О линейное пространство, натянутое на векторы Уо, , У1—1, а через С его ортогональное дополнение (С О, С X О = "). Согласно условиям (III, 15) вектор Р1 должен лежать в пространстве С. Помимо этого потребуем, чтобы направление р для 1 являлось проекцией —на С [31 ]. В качестве рд возьмем — (,. Такой выбор р1 приведет к тому, что угол между антиградиентом и направлением поиска будет наименьшим. Это будет способствовать устойчивости поиска. При таком построении г, = р / р, будет направлением наискорейшего убывания функции ( (х) в пространстве С, т. е. г = г будет давать решение задачи [c.84]

Пусть ЭС есть линейное (векторное) пространство с положительно определенной эрмитовой метрикой. Элементы (вектора) пространства Ж обозначим символами /, ф, (ри т.д. либо предложенными П.А. Дираком и широко используемыми символами I / >, ф >, 1<р> и т.д. Линейность пространства означает, что если 1/ 1 К и ЗС, то [c.4]

Если некоторое множество Ж векторов из К, не совпадающее с Ж, само образует линейное пространство (конечномерное или бесконечномерное гильбертово), то Ж называют подпространством в Ж. [c.6]

Множества и я V могут быть, вообще говоря, произвольными, но должны обладать двумя естественными свойствами. Во-иер-вых, сумма двух функций из заданного множества также должна принадлежать этому множеству, и, во-вторых, умножение любой функции на произвольное вещественное число не должно выводить ее из этого множества. Множества функций, обладающих этими свойствами, т. е. замкнутые относительно операций сложения функций н умножения их на вещественные числа, называются линейными пространствами. Перечислим некоторые простые линейные пространства функций 1) пространство кусочно-непрерывных на заданном промежутке О, о функций обозначается /С[0, о] и состоит из всех заданных на [О, <о] функций, имеющих [c.41]

Нетрудно проверить, что эти множества функций замкнуты относительно операций сложения и умножения на вещественное число, т. е. действительно являются линейными пространствами. Так, если на промежутке [О, <о] заданы кусочно-непрерывные функции f(t) и g(t), т. е. f(t) е K[0,to , g(t) е К[0, to], то и функции h(t) = f(t) g(t), zi(t)=af(t) и Z2 t)=ag t) при любом вещественном а являются кусочно-непрерывными и, значит, принадлежат множеству /С[О, oi- [c.41]

ВЕКТОРЫ, , ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО [c.14]

Определение 4. Множество Р элементов х, у, г,. .. любой природы называется линейным пространством, если выполнены следующие условия. [c.15]

Часто линейное пространство называют векторным, а его элементы векторами. [c.16]

Примеры линейных пространств можно найти в книге [4, гл. П]. [c.16]

Определение 6. Линейное пространство называется п-мерным, если в нем можно найти только /г. линейно-независимых векторов. [c.16]

В дальнейшем п-мерное линейное пространство будем обозначать [c.16]

Множество молекул Sj , состоящих из множества атомов Л , образует линейное пространство R". Это пространство включает в себя все возможные вещества, молекулы которых построены из атомов Л , . Однако часто исследователя интересуют не все вещества, а довольно узкий их класс. Поэтому приходится рассматривать некоторое подмножество Вг (i=l,, kan), лежащее в подпространстве пространства R . В связи с этим возникает следующая [c.22]

Множество векторов п-мерного линейного пространства с операцией сложения образует группу. Нейтральным элементом будет нулевой вектор, а обратным элементом для век- [c.120]

Краткое теоретическое объяснение множество возможных количеств каждого атома является точкой в положительном ортанте линейного пространства. Условие сохранения каждого типа атомов определяет линейное подпространство, пересекающее положительный ортант в выпуклом полиэдрическом конусе. Указанные выше реакции представляются двумя ребрами этого конуса. Наиболее общая реакция является любой выпуклой комбинацией реберных реакций (см. схему). [c.369]

Два субстрата, s, будут выглядеть сходно (относительно измерителя если их /-распределения ни в одной точке не отличаются более чем на определенную малую величину в. Этот факт может быть выражен математически при использовании того обстоятельства, что пространство С(/ ) является нормированным линейным пространством. Норма, определенная как [c.511]

В дальнейшем мы будем использовать всюду плотное линейное пространство si , С s4, состоящее из всех взаимодействий конечного радиуса, по определению, Ф — взаимодействие конечного радиуса, если существует такое конечное множество Д, что Ф( Х) может быть отлично от нуля лишь в случае, когда X — х С А при всех х G X. [c.56]

Следовательно, для всех возможных линейных комбинаций (в том числе и с бесконечным числом членов) функции Ч Дл ) образуют своего рода базис, в котором и записываются эти линейные комбинации. По аналогии с обычными векторными пространствами (например, в трехмерном случае, когда любой вектор Ь записывается в виде (bi + e i + Ь)а), функции Р (х) называют базисными, либо говорят о них как о базисных векторах (по своей роли аналогичных векторам i, j и к, только в бесконечномерном пространстве). На этом языке формула (12) интерпретируется следующим образом все возможные (конечные или бесконечные) линейные комбинации базисных векторов Р (х) образуют линейное пространство 8,, в котором любой вектор /(л ) может быть представлен в виде (12). [c.51]

Коэффициенты образуют квадратную матрицу С( ), представляющую оператор g на конечномерном линейном пространстве, [c.199]

Т.е. верхний правый блок в каждой из матриц С равен нулю. В таком случае говорят, что представление Г приводимо на пространстве 91. Верхний диагональный блок С,, размерности кхк действует на подпространстве 91, и не выводит векторы этого подпространства за его пределы. Если к тому же и = О для всех операций группы, то представление Г называется вполне приводимым оно по существу составлено из двух представлений Г, и меньшей размерности, определенных на двух линейных пространствах 91, и 91 , что записывается следующим образом 91 = 91, 91 и Г = Г, . Итак, в этом случае [c.203]

Возьмем две функции и (х) и у(у), зависящие каждая от своего набора переменных (обозначаемых символами х к у) к принадлежащие двум линейным пространствам Э1 и размерности и 5,, на которых действуют два представления Г, и Г , соответственно [c.206]

Квантовые коды. Будем давать определения аналогично классическому случаю. Набору условных вероятностей (р у х) х N, у N ) соответствует физически реализуемое преобразование матриц плотности Т L(7V") — L(7V ). Имеет смысл и упрощённая модель по аналогии с множеством переходов Е С N х N определим пространство ошибок — произвольное линейное пространство С L(yV ,7V" ). (Таким образом, квантовая ошибка — это любой линейный оператор Я — Ai ). Есть и прямой аналог множества Е п, к). Рассмотрим А/ = = А/ = Через i[A] обозначим те ошибки, которые действуют иа [c.122]

Точно так же, как линейные операторы [Bs), которые натягивают пространство Лиувилля образуют операторную алгебру, супероператоры тоже образуют алгебру, поскольку они натягивают векторное пространство размерностью п X п , в котором определены произведения. Иерархия линейных пространств показана на рис. 2.1.3. [c.46]

Рис. 2.1.3. Иерархия линейных пространств в квантовой механике. Супероператоры создают линейное отображение операторной алгебры, в то время как операторы производят линейное отображение гильбертова пространства.

Для отыскания линейно независимых реакций удобно воспользоваться элементами линейной алгебры, так как множество уравнений химических реакций можно математически рассматривать как линейное пространство. Это следует из того, что химические уравнения разрешается суммировать и умножать на произвольные коэффициенты, причем снова получаются химические уравнения. Для таких операций справедливы аксиомы коммутативности, ассоциативности и т. д. [c.17]

Квантово-химические методы основываются на определенных разделах математической теории. В связи с этим в данной гааве напомним идеи теории линейных пространств и, не претендуя на полное и детальное изложение, приведем некоторые более специальные понятия, словарь математических терминов и формулировки математических утверждений, необходимые для последующего изложения материала. Из курса квантовой механики обсуждаются преимущественно лишь те вопросы, которые будут важны для построения и анализа многоэлектронных волновых функций. [c.4]

Пусть Н — действительное гильбертово пространство. По определению это означает, что Н — полное нормированное линейное пространство, снабженное внутренним произведением < >, вследствие чего норма определяется как llxlP = (,х, х). Гильбертовыми пространствами, которые мы будем рассматривать, являются Н = R" [c.512]

Проверить, что (+) устанавливает взаимнооднозначное соответствие между системами условных вероятностей и объектами V, удовлетворяющими условиям (а), (Ь) и (с). Очеввдно, эти объекты образуют линейное пространство. Проверить, что естественное действие F, где F — морфизм, на этом пространстве является линейным. [c.53]

Векторное пространство Я является линейным пространством, т. е. оно обладает тем свойством, что любая линейная комбинация двух векторов (например, аАЬВ, где а и Ь — комплексные числа) образует вектор, принадлежащий тому ж6 векторному пространству. Каждой паре векторов Л и В в векторном пространстве сопоставляется число (Л Б), называемое скалярным произведением векторов. Определение скалярного произведения дано в разделе IV этого параграфа. [c.675]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология