Лиувилля пространство

В кинетической теории газов уравнение Лиувилля (1.80), записанное относительно плотности вероятности р (х , х , 1) в бш-мерном фазовом пространстве (Зпг обобщенных координат и Зт обобщенных импульсов), имеет вид [c.68]

В этом разделе мы введем понятие фазового пространства частиц и составим уравнение Лиувилля для плотности группы частиц в фазовом пространстве. Определим состояние частицы в технологической системе величинами ряда координат 2, , 1 и введем вектор состояния [c.131]

Последнее уравнение является классическим уравнением Лиувилля [106, 107] с функцией f (определяемой как плотность вероятности). Стремление дивергенции поля скоростей к нулю для классических механических систем означает, что часть фазового пространства, занятого данной группой частиц не меняет объем (хотя в общем случае меняет форму). [c.133]

Объем фазового элемента в координатах пространства и импульсов, в котором исследуется распределение, остается постоянным. Это следует из теоремы Лиувилля, согласно которой изменение во времени объема элемента фазового пространства dQ dt=Q, а следовательно, и сами элементы остаются постоянными (они перемещаются практически, как несжимаемая жидкость). [c.293]

Согласно теореме Лиувилля все области фазового пространства, через которые может двигаться точка, изображающая развивающуюся систему, характеризуются одинаковой плотностью. Это положение, вытекающее, как было показано, из законов механики, следует дополнить для формулировки основных принципов статистической механики [c.183]

Это означает, что плотность вероятности р (р, д) является постоянной величиной вдоль фазовых траекторий и не зависит от непрерывно изменяющихся значений импульсов и координат р и д,,, если последние изменяются в соответствии с уравнениями движения. Если в фазовом пространстве выделить некоторый объем ДГ, заключающий некоторое число фазовых точек, то через определенный период времени эти точки займут новые положения. Однако по теореме Лиувилля этим точкам будет отвечать объем ДГ, равный прежней величине ДГ. Поэтому говорят о сохранении фазового объема при движении систем, принадлежащих ансамблю Гиббса, хотя прн таком движении всегда происходит деформация объема ДГ. Сказанное совсем не означает, что плотность вероятности — величина постоянная [c.195]

Из вывода ясно, что теорему Лиувилля можно доказать именно для (р, q) пространства. Этим и вызван выбор координат р и q для определения фазы в молекулярной динамике. Если ограничиться энергией как важнейшим интегралом движения, то согласно теореме Лиувилля плотность вероятности р(р, q) можно искать в виде функции [c.196]

Пространство оператора Лиувилля [c.38]

Базисные операторы В натягивают операторное пространство размерностью п , которое называется пространством Лиувилля. След произведения двух величин [c.39]

Между гильбертовым пространством Ж натянутым функциями состояния, и пространством Лиувилля которое натягивается соответствующими линейными операторами, существует близкая аналогия. Однако, помимо того что г имеет свойства унитарного векторного пространства, оно еще образует операторную алгебру, в которой определено произведение двух операторов. Например, Для однопереходных операторов сдвига (см. разд. 2.1.9) имеем еле- [c.39]

Аналогия между пространствами Гильберта и Лиувилля позволяет ввести супероператоры, которые определяли бы операторные соотношения в пространстве Лиувилля. . [2.7—2.9]. Примером такого операторного соотношения может служить коммутатор в уравнении (2.1.17) [c.40]

По аналогии с проекционными операторами Pj можно определить проекционные супероператоры в пространстве Лиувилля которые проецируют произвольный оператор А на оператор В [c.43]

Точно так же, как линейные операторы [Bs), которые натягивают пространство Лиувилля образуют операторную алгебру, супероператоры тоже образуют алгебру, поскольку они натягивают векторное пространство размерностью п X п , в котором определены произведения. Иерархия линейных пространств показана на рис. 2.1.3. [c.46]

Прямое суммирование, использованное выше соответствует введению в рассмотрение представления так называемого составного пространства Лиувилля. В реальных ситуациях мы можем вполне обосновано предположить, что ядерные спиновые функции, относящиеся к различным молекулам, не коррелируют. Тогда всю систему можно полностью описать операторами плотности О] 3 отдельных компонент. Составляя прямую сумму этих операторов, можно получить составной оператор плотности [c.94]

Здесь Ь]— оператор Лиувилля Г — оператор эволюции, определенные в пространстве спиновых и угловых переменных у)> — нормированный вектор спектральных компонент [c.225]

Наиболее полная статистическая информация о такой системе содержится в ее Л -частичной функции распределения /л = /лг( , 1,. .., Глг, Рх,. .., имеющей смысл плотности вероятности обнаружения системы в момент времени t в элементарном объеме фазового пространства около точки. ..,Гя, Рх, Рк)- Функция / у, считающаяся обычно непрерывной и дифференцируемой (хотя возможны обобщения), удовлетворяет уравнению Лиувилля [c.261]

Я пытался, насколько это возможно, представить материал в замкнутой форме, не требующей чтения дополнительной литературы. Введение в динамику в гл. I служит этой цели и, кроме того, является хорошим обзором для студентов инженерных специальностей. Концепция Г-пространства, также встречающаяся в гл. I, подводит нас к уравнению Лиувилля, которое детально исследуется во второй главе. В этой же главе обсуждается цепочка [c.9]

Из предшествуюш,их рассуждений следует, что, зная самое общее решение уравнения Лиувилля, мы тем самым знаем движение всех частиц, составляющих систему. Такова вторая интерпретация функции В, В первой интерпретации В определялась как плотность ансамбля точек системы в фазовом пространстве. Разумеется, эти две интерпретации взаимно согласуются. Так как самое общее решение уравнения Лиувилля является произвольной функцией всех констант движения, то оно само будет константой движения." Как мы знаем, константа движения — это динамическая функция, которая остается неизменной при эволюции системы во времени. Она постоянна вдоль динамической траектории точки системы в Г-пространстве. Примечательно, что плотность точек ансамбля около любой точки, изображающей систему, остается постоянной. Плотность изображающих точек в бесконечно малой окрестности произвольной точки системы остается связанной с этой точкой, когда последняя движется по своей динамической траектории. Плотность точек системы [c.62]

Задача 2.6. На сферической поверхности (в Г-пространстве) = а задается начальное значение D Dq = 2g X X exp [—2р ]. Функция D — это плотность ансамбля одномерных гармонических осцилляторов с потенциалом V = q l2. Найти решение D q, р, t) уравнения Лиувилля. [c.65]

В начале этой главы мы впервые встретились с концепцией ансамбля и уравнением Лиувилля. Там они использовались главным образом для изучения геометрических свойств Г-пространства. Глубокий смысл уравнения Лиувилля становится очевидным в свете вероятностной интерпретации его решения, что немедленно приводит к методу получения средних значений динамических переменных. К теории ансамбля мы вернемся в гл. V в связи с принадлежащей Гиббсу и Эйнштейну формулировкой равновесной статистической механики. [c.113]

Очевидно, что оно совпадает с уравнением (3.110). Следовательно, уравнение Власова описывает динамику одиночной частицы в поле средней силы. Это поле является результатом осреднения двухчастичного взаимодействия по плотности оставшихся частиц. Сила 6 в уравнении Власова (3.110) является функционалом от Р, что видно из соотношений (3.111) и (3.112). Силовое поле О, которое присутствует в одночастичном уравнении Лиувилля, приложено извне и от не зависит. В так называемой теории орбит первого порядка мы считаем силовое поле в уравнении Власова известным и постоянным, и в этом случае уравнение Власова вырождается в одночастичное уравнение Лиувилля. А решением уравнения Лиувилля является плотность точек системы в Г-пространстве. В данном случае каждая система — это одиночная частица, поэтому в таком простом случае и Г-и [х-пространства являются шестимерными. К тому же динамика ансамбля будет идентична динамике множества невзаимодействующих частиц, эволюционирующих под влиянием внешнего потенциального поля. Решением являются орбиты первого порядка , которые дает уравнение Власова в случае силы О, не зависящей от Р. [c.150]

Рассмотрим ансамбль одночастичных систем. Пусть общее число идентичных систем ансамбля равно М., Г-пространство является шестимерным. Каждая система представляется точкой в Г-пространстве (определяющей состояние одной частицы во внешнем силовом поле). Предположим, что в любой данный момент времени мы рассматриваем ансамбль в трехмерной конфигурационной части шестимерного Г-пространства. Мы будем наблюдать Л"-частичный газ.. Следить за движением ансамбля одночастичных систем в Г-пространстве (рис. 4.19, а) —это все равно, что следить за динамикой системы из N невзаимодействующих частиц (рис. 4.19, б). В этом состоит отличие одночастичного уравнения Лиувилля от ТУ -частичного уравнения Лиувилля (Л" = 2, 3,. . . ). Определяемый им ансамбль является динамической системой, имеющей физический смысл. [c.195]

Поскольку состояния каждой из систем в ансамбле меняются со временем, отвечающие им точки движутся по фазовому пространству, а функция распределения Ф зависит от времени. Уравнение Лиувилля, которое описывает временную эволюцию функции распределения, нетрудно получить из следующих соображений. [c.12]

Здесь ) — проективный оператор — возмущенная часть оператора Лиувилля, Ь = />о + 1 где — невозмущенная часть этого оператора. Ядро к — чисто детерминистическая динамическая величина, так как оно получено прямым применением проективного оператора к оператору Лиувилля. Уравнение (2.3.5) выведено для специально выбранных начальных условий, а именно при некотором времени С = О матрица плотности диагональна. Такое начальное условие, которое обычно называется допущением начальных случайных фаз, включает в себя утверждение, что фазовые корреляции в момент времени С = О отсутствуют. Если же задать более общие начальные условия, то кинетическое уравнение эволюции элементов матрицы плотности (а также плотности в фазовом пространстве или ее фурье-разложения) не моя ет быть записано в форме (2.3.5). Вероятностный аспект входит в уравнение (2.3.5) только через это начальное условие случайных фаз при некотором времени С = 0. [c.41]

Перейдем к выводу уравнения Лиувилля для гамильтоновых макросистем. Рассмотрим некоторую гамильтонову макросистему и множество ее копий, а также функцию г,р ,%), описывающую распределение фазовых точек всех макросистем-копий в фазовом пространстве рассматриваемой гамильтоновой системы. [c.24]

Нетрудно показать, что теорему Лиувилля можно переформулировать следующим образом объем элемента фазового пространства, содержащий выделенную совокупность фазовых точек макросистем-копий гамильтоновой системы, не изменяется во времени. Действительно, используя формулу (В.1.12), для некоторой выделенной совокупности Ndq точек фазового пространства можно записать соотношение [c.27]

В связи с этим, используя гидродинамическую аналогию между жидкостью и ансамблем фазовых точек, теорему Лиувилля формулируют также иногда как утверждение о том, что ансамбль-жидкость движется в фазовом пространстве как несжимаемая жидкость. [c.27]

Однако простота формулы (В.3.17) кажущаяся. Несмотря на то, что функции /1 и /2 гораздо более просты, чем / (хотя бы по той причине, что они зависят от значительно меньшего числа аргументов), задача о нахождении их явного вида чрезвычайно сложна. Тем не менее для функций /ь /г и для всех других коррелятивных функций /п , п == 3, 4,. . ., непосредственно из уравнения Лиувилля, как указывалось в начале раздела, удается получить систему уравнений, описывающих их изменение во времени и в пространстве (см., например, [17, 18]). Эта система уравнений получила название цепочки уравнений Боголюбова. Термин цепочка подчеркивает тот факт, что уравнения, входящие в эту систему, зацеплены между собой. Так, в уравнение для коррелятивной функции распределения п-то порядка входят слагаемые, содержащие коррелятивную функцию (л+1)-го порядка. Несмотря на то, что каждое уравнение в цепочке уравнений Боголюбова является незамкнутым, эта система уравнений оказывается чрезвычайно полезной при решении многих задач статистической физики. [c.36]

Макроскопическое поведение газа обычно описывается с помощью функций распределения низшего порядка. Для достаточно разреженной смеси газов состояние системы можно характеризовать функциями распределения для каждой к-ж компоненты газовой смеси pj (Xj, x j., t), заданными в фазовых пространствах отдельных молекул компонентов. Функция (х , t) определяет, что вероятное число молекул к-то компонента в элементе объема dXj около точки Xj, имеющих импульсы в элементе dx j. около равно ру. (Xj, Xpt, t) dx dxpj,. Уравнение для р. (х , х , , t) получается из уравнения Лиувилля (1.81) интегрированием его по координатам и импульсам (т—1) молекулы [c.69]

Эргоидная гипотеза совместно с теоремой Лиувилля приводит к основным положениям статистической механики, которые иногда принимают постулативно. Во-первых, это — постулат равной вероятности для изолированной системы все достижимые области фазового пространства имеют равные априорные вероятности. [c.184]

Первое из этих утверждений вытекает из того, что изображающая точка, движущаяся в согласии с теоремой Лиувилля в среде с постоянной плотностью р, в конце концов в согласии с эргоидной гипотезой проходит каждую точку в достижимых областях фазового пространства. Иначе говоря, для ансамбля, представлющего изолированную термодинамическую систему, т. е. ансамбля микроканонического, изображающие точки распределены равномерно по достижимому фазовому пространству. [c.184]

Постулат о равновесной функции распределения. Равновесная функция распределения в фазовом пространстве является одновременно и наиболее пероятной. Она осуществляется наибольшим числом способов, совместимым с заданными условиями определения ансамбля. Практическое использование этого постулата см. 3. Важнейшим общим свойством плотности вероятности в фазовом пространстве р(р, д) оказалась ее полная нечувствительность для равновесных систем к изменениям импульсов и координат отдельных молекул при движении системы по фазовой траектории. Общие свойства функции р(р, д) оказались достаточно простыми, что и позволило разработать статистический метод определения термодинамических величин для равновесных систем. Основное внимание мы уделим каноническому ансамблю Гиббса и канонической функции распределения р(р,д). Для нахождения вида функции р(р, д) необходимо использовать теорему Лиувилля, описывающую системы, подчиняющиеся уравнениям классической механики. [c.194]

Вывод уравнений (III.27), (III.30), (Ш-З ), выражающих сущность теоремы Лиувилля, основан на учете канонических уравнений движения при описании поведения ансамбля изолированных систем. Полученные соотнощения справедливы только для пространства обобщенных координат и импульсов (канонических переменных). Для пространства qi и qi аналогичные общие соотношения, в частности принцип сохранения фазового объема, выведены бытб не могут. Этим объясняется то предпочтение, которое в статистической физике оказывают каноническим переменным. [c.53]

Обращение супероператора - и11, а соответственно и + шРг, предполагает, что нулевые собственные значения исключены путем соответствующего умень-щения размерности пространства Лиувилля. Используя проекщюнный супероператор, проецирующий на подпространство когерентностей с порядком р = , выражение (4.4.26) можно вывести строго. [c.204]

Вторая интерпретация состоит в том, что решение уравнения Лиувилля является плотностью точек ансамбля в фазовом пространстве. Эти две интерпретации представляются не имеюш,ими ничего общего. Понятие ансамбля и его отношение к уравнению Лиувилля введены абстрактно. Однако эта концепция приводит к новому подходу, который позволяет нам получить более глубокое понимание уравнения Лиувилля. В свете новой интерпретации уравнение Лиувилля приобретает наибольшую ценность и приводит к важным физическим следствиям. Это проявляется через связь функциис Л -частичной функцией распределения 2, Ям, О Функция f]s такова, что произведение [c.83]

Вывод уравнения Больцмана Кирквудом (1947) ) также основывается на уравнении Лиувилля. Он использовал последнее, чтобы вывести уравнение для расширенной функции распределения. В этом смысле вывод Кирквуда подобен выводу Грэда, который получил уравнение для усеченной функции распределения, обладаюш,ей характерным свойством в пространстве конфигураций (ни одна из частиц не приближается к данной ближе чем на расстояние а). С другой стороны, отличительной чертой распределения Кирквуда является его временное свойство, -частичное усредненное по времени распределение Кирквуда /з задается уравнением [c.213]

Такое определение термодинамической вероятности становится возможным благодаря одной весьма важной теореме, лежащей в основе этого метода, а именно благодаря теореме Лиувилля, заключающейся в следующем. Если представить себе некоторый элемент объема в фазовом пространстве, содержащий стольк о изображающих точек, сколько систем находилось в данный момент времени в смежных состояниях, и следить за перемещением со временем этих точек по траекториям, изображающим развитие систем, то по законам механики оказывается, что объем, занятый этими точками в процессе движения, будет оставаться неизменным (несмотря на то, что системы, ранее находившиеся в смежных состояниях, со временем могут прийти в состояния, более или менее различные). [c.139]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология