Скалярное произведение, определение

Здесь v > — вектор v — линейная функция, переводящая произвольный вектор с в . Результат действия линейного отображения lv> или просто v. Из (3.192) видна самосопряженность К относительно скалярного произведения <я Ь> и ее отрицательная определенность в инвариантном подпространстве 5, являющемся линейной оболочкой векторов V . Все собственные значения К — отрицательные действительные числа, поэтому ТДР является устойчивой по первому приближению точкой типа узел , и вблизи нее невозможны затухающие периодические колебания. Такие колебания, однако, возможны, пока система находится вдали от ТДР. При этом концентрации некоторых веществ могут многократно, но ограниченное число раз, проходить через локальные экстремумы, общее число которых определяется как типом кинетики, так и механизмом сложного процесса. Для кинетики Аррениуса и линейного механизма общее число колебаний не превышает — 1 раз [85]. [c.242]

Правая часть (11,213) по неравенству Коши является неотрицательной (скалярное произведение векторов Я/"а и Я, /, не превосходит произведения их норм) и обращается в нуль лишь при условии Н.1 х = ХН / у1, т. е. в силу положительной определенности я/, при условии X = Хг/ , где X — некоторый скаляр. Таким образом, левая часть (11,212) неотрицательна. Покажем, что если р > О, то обращается в нуль лишь при а = О, [c.78]

Положительная определенность эрмитовой метрики означает, что скалярное произведение в числе прочих должно удовлетворять соотношениям [c.4]

Определение (568) позволяет записать обменную часть А электростатической энергии двухэлектронной системы в виде скалярного произведения векторов спинов по Дираку [2]. Для этой цели представим энергию молекулы в виде [c.312]

Матрица скалярных произведений — (формально) ковариант-ная матрица диагонализация ковариантной матрицы дает главные множители . Для системы в трехмерном пространстве их будет ровно три. Если имеются ошибки, то остальные матричные элементы не будут обращаться в нуль в матрице L, определенной ниже [c.540]

Из определения скалярного произведения (33) следует, что скалярное произведение вектора х на самого себя всегда будет неотрицательной величиной, так как [c.568]

Запись (6 1 ]) — линейный оператор) можно толковать двояко либо как скалярное произведение вектора ( на вектор A ij), либо как — (6"4 на rj). Так появляется сопряженный оператор А по определению, (Л+6 (бра-вектор, соответствующий равен линейному функционалу ( - Пз определения сразу следует, что [c.53]

Паше определение скалярного произведения в согласовано с тензорным произведением [c.53]

Здесь слева стоит скалярное произведение тензора и вектора, а справа — дивергенция тензора. По определению 01ш являются векторами с координатами [c.55]

Здесь через Т Е обозначено скалярное произведение тензоров, которое по определению равно [c.59]

Если вернуться к уравнению (2.1.22), то можно заметить, что существует определенное соотношение между средним значением оператора А и скалярным произведением (,А а). Однако следует заметить, что скалярное произведение включает в себя сопряженный оператор А)=Тт Аа(0 , (2.1.48) [c.39]

Здесь время I уже отсчитывается от начала процесса, А — оператор, сопряженный с оператором А. Используя определение сопряженного оператора через скалярное произведение Af,g)=(f,J(g), находим, что А" = А, [c.668]

Косинус (1,3) угла между векторами Х и Xg легко вычисляется из определения скалярного произведения (Х , Xj) [c.78]

Определение 6. Система функций ф1(х), фг(х),. .., фй(д ),. .., определенных в интервале (а,Ь) изменения переменной х, называется ортонормированной, если скалярное произведение любой пары этих функций обладает следующим свойством [c.54]

Для определения ai, а2 следует вычислить скалярные произведения, входящие в выражение (1.19). [c.79]

Отсюда, действуя на правую и левую части этого равенства оператором V и составляя скалярное произведение с tp, получаем условие для определения собственной энергии Е [c.331]

Покажем прежде всего, что подпространства D и взаимно ортогональны. Это значит, что скалярное произведение любого вектора из D с любым вектором из равно нулю. Действительно, в подпространстве любой вектор с может быть представлен как линейная комбинация векторов (i = 1,. . ., т) (по определению пространства С ) [c.67]

Согласно определению скалярного произведения, получим [c.219]

Задача свелась к определению среднего от скалярного произведения <п(х)п(х )>. Мы рассмотрим подробно простейший и важный случай га == 2. В этом случае двумерный вектор определяется одним углом (х), указывающим положение конца вектора на единичной окружности. Очевидно, [c.179]

Сверхтонкое расщепление линий, обусловленное магнитным взаимодействием электронной оболочки с ядром, легко может быть различаемо от изотопического путем наблюдения зеемановского расщепления благодаря тому, что магнитное расщепление компонент сверхтонкой структуры в отличие от линий, относящихся к разным атомам, находится в определенной взаимной связи. Наблюдение интенсивностей и интервалов сверхтонкой структуры долгое время удовлетворительно объяснялось подбором значений магнитного и механического ядерных моментов. Энергия взаимодействия магнитных моментов оболочки и ядра пропорциональна скалярному произведению их моментов У и /, которое выражается формулой [c.434]

Дадим определение двум видам произведений векторов. Первое из них скалярное произведение [c.756]

При этом под скалярным произведением понимается сумма произведений комплексно-сопряженных значений одной функции на значения другой (взятых при одних и тех же значениях независимых переменных), распространенная по всей области определения функций. [c.22]

По определению скалярного произведения векторов оно равно сумме произведений их проекции на оси координат, а квадрат вектора— соответственно сумме квадратов проекций [c.116]

Заметим, что для кинетики Марселина — Де-Донде с симметричной положительно определенной матрицей также можно ввести новое скалярное произведение в V, для которого запись (3.190) остается справедливой. Для этого рассмотрим выражение (3.14) в окрестности точки детального равновесия [c.241]

Обозначим матрицу В = д]Х11дс 1 с=с - С учетом этого обозначенид (3.191) приобретает вид ю с) = = —ю (хз), 5(с—с ) + 0( с—с П), где (, ) — обычное скалярное произведение. Так как В — симметричная положительно определенная матрица, введем скалярное произведение в V <а Ь> = (я, ВЬ). Отсюда и> с) = = , и окончательно матрица линейного приближения К как для кинетики Аррениуса, так и для кинетики Марселина — Де-Донде с использованием бра-кет обозначений Дирака имеет вид [43, 85] [c.242]

Необходимым и достаточным условием выпуклости квадратичной функции / является положительная определенность матрицы Л [146, с. 39] Приведем следующзгю теорему необходимым и достаточным условием того, что точка х есть точка минимума выпуклой дифференцируемой функции / (х) на многообразии S, проходящем через х и параллельном подпространству, натянутому на pi,. . ph, является обращение в нуль скалярного произведения [c.263]

Используя перестановочные соотношения (2.123) и определение скалярного произведения (2.133), можно проверить, что одночастичная и двухчастичная матрицы плотности [см. общее определение (2.67)] в представлении вторичного квантования записьшаются в виде [c.112]

Определение 2. Скалярным произведением вектора а на вектор Ь на--+ > > зывают величину a 61 os(a, Ь) и обозначают аЬ. [c.15]

Под символом скалярного произведения < ф г ) > могут подразумеваться весьма различные операции, лишь бы при этом выполнялась совокупность требований 1 -4 . Пространство функций, в котором определено скалярное произведение (16) в физике часто называют гильбертовым, хотя это определение несколько отлично от того, что подразумевают под гильбертовым пространством в математике (где требуется еще и полнота относительно нормы, порождаемой этим скалярным произведением, тогда как в отсутствие этого требования пространство называется предгильбертовым, или унитарным). [c.14]

Упражнение. Докажите свойства (1.4.3) и покажите на примере, что условие некоррелированности переменных Л х, является необходимым. Упражнение. Обобщите эти утверждения на сложение более чем двух переменных. Упражнение. Сформулируйте правила для суммы двух или большего числа векторных переменных (дисперсию нужно заменить матрицей ковариаций). Упражнение. Для н е з а в и с и м ы. х переменных кумулянты суммы равны сумме кумулянтов. Соотношение (1.4.3) является частным случаем этого правила. Упражнение. Все три приведен1гые выше правила используют как само собой разумеющееся в кинетической теории газов. Приведите примеры. Упражнение. В пространстве стохастических переменных скалярное произведение можно определить как <А К>. Докажите, используя это определение, что проецирование на среднее является эрмитовым оператором. Упражнение. В пространстве действительных матриц X размером Л хЛ функция [c.24]

Координатное представление вектора состояния а) изображается волновой функцией (27,1), зависящей от координат . Согласно определению скалярного произведения, волновую функцию координатного представления (27,1) можно рассматривать как скалярное произведение вектора состояния а) и векторо в состояний ) для всех значений координат рассматриваемых как индексы состоянии. Другими словами, совокупность значении представляет собой совокупность проекций вектора состояния на полную базисную систему [c.125]

Векторное пространство Я является линейным пространством, т. е. оно обладает тем свойством, что любая линейная комбинация двух векторов (например, аАЬВ, где а и Ь — комплексные числа) образует вектор, принадлежащий тому ж6 векторному пространству. Каждой паре векторов Л и В в векторном пространстве сопоставляется число (Л Б), называемое скалярным произведением векторов. Определение скалярного произведения дано в разделе IV этого параграфа. [c.675]

Векторное пространство бесконечного числа измерений называют гильбер- товым пространством. В качестве векторов (элементов) гильбертова пространства можно рассматривать линейное множестьо функций, определенных в конечной или бесконечной области 2. При этом каждой паре функций и Ф(5) линейного множества сопоставляется скалярное произведение, которое обозначается выражением (11з ф), удовлетворяющее четырем условиям [c.676]

Для грубой характеристики гетерогенных систем макроконтинуальные переменные в общепринятом приближении обычно определяются как средние по объему от локальных полей величины нри этом в такие средние включаются поля, существующие внутри частиц. Такие определения неудовлетворительны но ряду причин. Во-первых, в случае величин, по предположению представляющих плотности потока, не существует доказательства того, что их скалярные произведения на bS будут равны потокам соответствующих физических величин через этот элемент поверхности. Во-вторых, в важном частном случае, когда частицы — твердые тела, локальные напряжения внутри них не определены. Следовательно, среднеобъемное определение макронанряжений действительно является недо- [c.16]

Дальнейшие выкладки, которые мы из экономии места опускаем, выполняются аналогично случаю кругового сечения — вычис.тяя скалярные произведения в (1.50), получаем систему четырех алгебраических (нелинейных) уравнений для определения С, сг, P2 Т2, коэффициенты системы выражаются через решения одномерного линейного уравнения (в отличие от двумерных уравнений (1.53), (1.54), необходимых в предыдущем случае). Возможны только следующие решения 1) i = О, I 2l = l 2) сг = О, il = l [c.85]

Подставляя пайденпые выражения для скалярных произведений (2.28) в уравнения (2.29) и (2.30), получаем формулы для определения первых отличных от нуля коэффициентов разложений (2.1)-(2.4) [c.109]

Такое определение не удовлетворяло бы равенству (2.30), поскольку векторы (2.26) в общем случае не ортогональны, а в косоугольной системе координат скалярное произведение двух векторов не записывается в виде суммы произведений компонент векторов. Поэтому в трехмерном случае обратная решетка определяется иеско.чько бо.пее сложныдг путем. [c.62]

Согласно определению скалярного произведения п учитывая формулу (VIII,4), находим [c.218]

В случае ориентированных образцов некоторые сведения о направлениях валентных связей в молекулах могут быть получены методом инфракрасной спектроскопии при использовании поляризованного излучения. Для невырожденных нормальных колебаний имеется единственное направление электрического вектора, при котором взаимодействие луча с молекулой максимально — это направление момента перехода. Доля поглощаемой энергии пропорциональна квадрату скалярного произведения этих двух векторов. В случае макрообразцов могут иметь место различные эффекты, которые нарушают эту простую зависимость [581. Эти эффекты обусловлены тем, что в кристаллах плоскополяризованная волна, вообще говоря, разделяется на две составляющие, скорость распространения которых различна. Однако имеются определенные направления электрического вектора, при которых такого расщепления не наблюдается. Как уже указывалось в разделе П,Г, это как раз те направления, которые естественно было бы выбрать при исследовании полимеров в поляризованном излучении, а именно параллельное и перпендикулярное усредненному направлению молекул (ось во- [c.301]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология