Постановка задачи, исходные уравнения и граничные условия

Постановка задачи, исходные уравнения и граничные условия [c.19]

Поскольку математическая постановка задачи — исходные уравнения и граничные условия для функции Fi — была сформулирована ранее (см. 2-1), запишем сразу решения уравне шй (2-3) в безразмерном виде [c.49]

Подставляя значение Гоп,, из уравнения (11,133) в уравнения (П,125), (И,126), (11,128) и (11,129), получим систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными функциями с а, и с граничными условиями (11,127) и (11,130). Эта задача по суш еству представляет собой краевую задачу с двухточечными граничными условиями. Решая ату задачу и определяя функции Са 1), Сд (О, Фх (О и I), можно затем подставить их в формулу (11,133) и тем самым определить оптимальное значение температуры как функцию расстояния от входа в реактор, что и требовалось в исходной постановке задачи оптимизации. [c.169]

Сформулированные граничные условия правильно отражают тенденцию в изменении Z(n, t) со временем, так как равновесное распределение зародышей по размерам устанавливается раньше всего для малых п и затем постепенно захватывает все большие значения этой величины, распространяясь по мере хода процесса (см. ниже результаты численного решения задачи). Авторы описанных граничных условий задачи считали их довольно искусственными и предлагали только как весьма грубое приближение к действительности. Однако широкому применению этих условий способствует то обстоятельство, что обычно в самой постановке задачи требуется неисчерпаемость исходной фазы и отсутствие столкновений между образованиями повой фазы, которое принималось при выводе основного уравнения задачи. [c.173]

Подставляя значение Тот из уравнения (VI,98) в уравнения (У1,90), (У1,91), (VI,93) и (У1,94), получ1им систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными функциями Са, с , гр и % и граничными условиями (VI,92) и (VI,95). Эта задача, по существу, цредставляет собой краевую задачу с двухточечными граничными условиями. Определяемые в процессе решения задачи функции Са 1), Ск 1), 1)31 (/) и 1132(О можно затем подставить формулу в (VI.98) и тем самым получить оптимальное значение температуры как функцию расстояния от входа в реактор, что и требовалось в исходной постановке задачи опти1 изации. [c.234]

При иыполпешш вычислений обычно исполь.чуется безразмерная форма записи исходных уравнений, начальных и граничных условий. Введем безразмерную величину в виде ф = ф/ф1, где ср1 — некоторый масштаб. Безразмерная запись может быть получена подстановкой в урав-нения, начальные и граничные условия вместо размерной величины ф ее выражения в виде фф1. Выбор масштабов зависит от конкретной постановки задачи. Пусть, например, условиями задачи заданы характерная скорость 7, и размер области L. Течения с заданной характерной скоростью (расходом) или перепадом давления называются вынужденной конвекцией. Выбирая в качестве масштабов скорости и длины соответственно Гц Ь, а для параметров р, V, fl — их значения, заданные условиями задачи, можно получить, выполняя указанные выше операции, следуюш ую безразмерную запись исходной системы [c.169]

Уравнения (2.2)-(2,4) с граничными условиями (2,12)-(2.14) представляют собой ту формулировку классической задачи Рэлея-Бенара, которую рассматривали Пеллью и Саусвелл [20] (Рэлей [19] исследовал только случай с условиями свободной границы), — в ее исходном, нелинейном и размерном виде. Эту постановку задачи в дальнейшем будем называть стандартной. [c.19]

Коммутативность, вообще говоря, нарушается, если время входит в постановку задачи не только в связи с реономностью свойств среды, а, например, и в исходные уравнения или в граничные условия. [c.119]

В разд. 2.1.2 было показано, что для пластины с постоянными ТФХ краевая постановка обратной задачи, состоящей в определении теплового потока на одной из границ пластины, формулируется в виде интегрального уравнения 1-го рода. При этом в качестве исходного материала используется известное решение прямой задачи теплопроводности. Обобщая этот подход на одноме эные тела различной геометрии (плоские, цилиндрические, сферические), граничные условия 1-го и П-го рода (искомые и заданные), можно записать общую интегральную форму граничной обратной задачи для одномерного уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами [c.50]

Степень близости дискретной формы обратной задачи (4Л) к исходной интегральной постановке (3.1) определяется величиной безразмерного временного шага АРо, который не может быть сделан асимптотически малым. Для устойчивого решения задачи нужно выбрать такой интервал времени, начиная с момента очередного ступенчатого изменения функции й г), при котором в точке х й температурная реакция тела на это изменение будет хорошо различима. Время "ожидания нужного отклика (шаг дискретизации АРо) будет полностью определяться ядром интегрального уравнения. Если данная функция имеет монотонно убываюш[ий вид, то это означает, что наибольшее изменение температуры, появившееся вследствие возмущения граничного условия в момент г = т, также приходится на момент г — временное запаздывание отсутствует. Естественно ожидать, что такая ОЗТ будет достаточно "хорошей , поскольку тепловой сигнал передан данной точке тела мгновенно. Именно такой случай соответствует предельной постановке обратной задачи, когда по измерениям температуры на поверхности тела требуется восстановить тепловой поток, поступающий в тело — псевдо-обратная задача. [c.74]

Аналогичным образом могут быть получены постановки сопряженных краевых задач и формулы для градиентов невязки применительно к другим экстремальным постановкам обратных задач. Для этого, следуя известной процедуре решения задач на условный экстремум, составляется расширенный функционал, учитывающий невязку и (с помощью неопределенных множителей Лагранжа) условия математической модели в виде дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий, условий сопряжения. Для расширенного функционала вычисляется главная линейная часть приращения, отвечающая вариациям исходных величин и, соответственно, вариациям переменных состояния. Полученная вариация функционала преобразуется с помощью операции, интегрирования по частям, а для многомерных областей с использова нием формулы Остроградского-Гаусса таким образом, чтобы выражения под знаками интегралов по областям задания уравнений не содержали частных производных от приращений переменных состояния. Затем, согласно необходимому условию стационарности расширенного функционала, его вариация приравнивается нулю. Учитывая произвольный характер приращений переменных состояния, приравниваются нулю коэффициенты при соответствующих приращениях. Получившиеся равенства представляют собой условия для определения множителей Лагранжа, которыми в зависимости от учитываемого условия математической модели могут быть функции и константы. Совокупность этих равенств и дает искомую постановку сопряженной краевой задачи. [c.188]

Решение задачи с условием КРЗ будет совпадать с решением исходной задачи при "допредельных" и "запредельных" токах всюду, кроме квазиравновесной погранслойной области толщиной порядка нескольких дебаевских длин. Погранслойную область в новой постановке следует считать математической плоскостью, где имеются скачки потенциала и концентраций, причем скачок потенциала на этой плоскости рассчитывается по соотношению Доннана (6.136). Суммарный скачок потенциала, аналогично случаю с условием электронейтральности, представляет собой сумму интеграла от напряженности поля на отрезке [О, 1] и величины (формула (6.135)). Граничная концентрация противоионов с при любых токах рассчитывается из уравнения (6.124), где следует опустить слагаемое с квадратными корнями, отвечающее толщине погранслойной зоны. При < пт [24, 98-101, 205] и для расчета пограничной концентрации [c.330]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология