Рутана уравнения

Теперь можно записать уравнения Рутана для молекулярной системы с замкнутой оболочкой, содержащей N электронов, попарно занимающих N/2 молекулярных орбиталей [c.177]

Часто уравнения Рутана записывают в несколько ином по сравнению с (67) виде, вводя следующие [c.177]

Система уравнений Рутана имеет нетривиальные решения, если ее детерминант равен нулю, т. е. [c.178]

Характерной особенностью уравнений (68) является их нелинейность относительно искомых коэффициентов Сх/, так как от этих коэффициентов зависят элементы матрицы Фока. Поэтому для решения системы Рутана используют метод последовательных приближений. Начинают с того, что предварительно в заданном базисе вычисляют матрицы 5, Л и интегралы, входящие в О. Особые трудности при этом связаны с вычислением так называемых многоцентровых интегралов типа [c.180]

Замечательное свойство уравнений Рутана [c.181]

Уравнения Рутана обладают одним замечательным свойством — они инвариантны относительно унитарных преобразований базиса АО. Вот что это означает. Запишем формулу (66) в матричном виде [c.181]

Можно показать, что вид уравнений Рутана, а также величины полной ( полн) и орбитальных (е ) энергий при унитарном преобразовании базиса не изменяются. [c.182]

Система уравнений Рутана примет тогда следующий вид [c.189]

Как уже отмечалось выще, уравнения Рутана имеют нетривиальные рещения только, если детерминант системы (74) равен нулю, т. е. [c.189]

Расчет средней скорости фильтрования в случае протекания процесса разделения с образованием осадка базируется на уравнении Рута—Кармана [c.85]

Уравнения (16) и (17) решаются довольно просто, если известны значения Ср и Су. Решение уравнений (12)—(14) для неидеальных газов затруднено. Их проще решать с помощью вычислительной техники, выбрав уравнение состояния, выражающее соотношение рУТ для данного газа. Если имеются термодинамические данные в графической или табличной форме, с помощью которых можно определить Н, и ж 8 как функции р, V я Т, то будет вполне достаточно простого графического решения. Дифференциал в этих случаях представляет собой наклон кривой, а интеграл — ничто иное, как площадь под кривой. [c.21]

С помощью молекулярной рефракции можно уменьшить ошибку, которая получается при применении приведенных параметров для решения уравнения состояния рУТ. Было установлено, что результатами, полученными с помощью общих соотношений, следует пользоваться осторожно, если истинные критические значения получены с помощью этих методов. [c.30]

Это второе уравнение из системы дифференциальных уравнений математического описания сброса по давлению, связывающее функции изменения давления в реакторе без сброса с утечками Ру ут и в герметизированном Ру герм при переменной температуре. Для решения системы относительно Ру необходимо добавить третье уравнение, включающее все три неизвестных параметра Рут, Ру терм И V) или часть ИХ. Такое уравнение может быть составлено на основе уравнения Бернулли. Оно раскрывает зависимость изменения объема газовой фазы V от давления Рут- [c.40]

Вычислительное устройство производит вычисление всех точек кривой Рут., согласно приведенной системе уравнений (1-16), начиная с точки, когда [c.42]

Для расчета электронной структуры сложных молекул метод МО ЛКАО в наиболее общей форме был развит Рутаном [75, 85, 86] на основе идей Хартри и Фока. Полученные Рутаном уравнения имеют вид, аналогичный (4.3) и (4.4). Отличие состоит в том, что матричные элементы включают наряду с молекулярными интегралами типа (4.5) и (4.6), которые могут быть вычислены, коэффициенты Сд/, которые неизвестны с самого начала. Решение уравнений Рутана проводится методом итераций, т. е. по заданному набору коэффициентов с г находятся и е , а затем по е с помощью (4.3) отыскивается новый набор с г, и такая процедура повторяется до совпадения предыдущего результата с последующим. Итерационный метод получил название метода самосогласованного поля (в литературе метод Рутана принято называть сокращенно методом ССП МО ЛКАО). [c.54]

Тогда получим уравнение кинетики рассматриваемого вида фильтрования, предложенное Рутом и Карманом, [c.40]

Обычно предполагается, что набор базисных функций одинаков для всех оболочек с одинаковым квантовым числом /, но свой для каждого /. Это предположение отражено в записи (3.89). В результате подстановки функций (3.83) в выражение для среднего значения энергии через радиальные волновые функции, последнее становится функцией конечного числа переменных с [ . Уравнения Рутана суть условия стационарности этой функции относительно вариаций коэффициентов с 1 , сохраняющих нормировку и ортогональность радиальных волновых функций (3.83). [c.171]

ПЕРЕХОД ОТ КАЧЕСТВЕННОГО ОПИСАНИЯ ЭЛЕКТРОННОГО СТРОЕНИЯ МОЛЕКУЛ К КОЛИЧЕСТВЕННОМУ. УРАВНЕНИЯ РУТАНА [c.220]

Здесь j — вектор-столбец с компонентами сц, сц, сд,-. Эти уравнения являются нелинейными, что ясно из вида оператора Фока (см. гл. 2, 4), который зависит от искомых функций, т.е. при данном способе решения - от искомых коэффициентов разложения [ j. Матричное уравнение (4.24а) при условии нормировки (4.246) названо уравнением Рутана. Метод Хартри - Фока - Рутана называют также в теории молекул методом ССП (самосогласованного поля). [c.222]

Решение уравнений Рутана основано на итерационной схеме (см. гл. 2, 4). В данном случае следует задать некоторую систему чисел , [c.222]

Эффективность метода Хартри - Фока - Рутана (ХФР) зависит от того, насколько удачно выбраны базисные функции в (4.26). Оказывается, что здесь приходится руководствоваться двумя в значительной степени противоположными критериями, которые определяются возможностями (объемом памяти и быстродействием) ЭВМ. При решении системы уравнений ХФР (424) основное затруднение создают двухэлектронные матричные элементы (4.27), которые составляют подавляющую часть всех матричных элементов, необходимых при решении (4.24). Их число по порядку величин равно М /8, где Л/ - число базисных функций. Поэтому, с одной стороны, базисные функции должны быть такими, чтобы уже небольшое их число позволяло хорошо аппроксимировать МО. С другой стороны, базисные функции должны быть такими, чтобы матричные элементы (4.27) вычислялись достаточно быстро. [c.233]

Для многоэлектронных систем разложение полной волновой функции проводят по определителям Слейтера, которые строят следующим образом. В случае замкнутой оболочки, описываемой определителем Фо = О, решение уравнений Рутана разделяют на два класса — занятые и виртуальные орбитали. Последние используются для построения новых детерминантных функций путем замены в исходной функции О одной, двух, трех и тд. занятых орбиталей на виртуальные. [c.248]

Получение титана осуществляют путем хлорирования рутила в присутствии углерода, связывающего кислород с последующим восстановлением титана из хлорида магнием. Напишите уравнения соответствующих реакций и рассчитайте массу руды и магния, необходимую для получения 1 т титана, если при анализе руды оказалось, что образец массой 5 г ее содержит 2,699 г рутила ТЮг. [c.157]

Поскольку аналогичное можно сделать для любого /, (1.46) представляет собой систему равенств, названных секулярными или вековыми уравнениями Рутана. [c.32]

Что такое операторы и каковы уравнений Рутана [c.54]

Пример 2. Средняя удельная темплоемкость ТЮг (рутил) в интервале температур от О до /°С выражается уравнением [c.15]

Рассчитать истинную удельную теплоемкость рутила при БОО С. Решение. Истинную удельную теплоемкость вычисляем по уравнению (1.13) с учетом (1.11) [c.15]

Жидкость с выпуклым мениском испытывает дополнительное сжатие, а с вогнутым — растяжение, которые описываются формулой Лапласа р = 2а/г (где о — поверхностное натяжение). Известно, что упругость пара жидкости р зависит от давления р, под которым она находится р =ро ехр (рУт/ 7 ), где ит —мольный объем жидкости. Подставляя сюда р из формулы Лапласа, получаем важное уравнение Томсона [c.225]

Экзотермическим или эндотермическим процессом является превращение минерала рутила, ТЮз, в TI3O5 при атмосферном давлении Чему равна теплота этой реакции при 298 К Составьте ее полное уравнение. [c.111]

Сжимаемость природных газов. Для оценки сжимаемости, т. е. рУТ-соотношения, применительно к природным газам было предложено много уравнений. Для наиболее точной обработки данных часто применяется уравнение Бендедикта—Вебба—Рабина (ББР). Однако этой точности недостаточно для описания поведения сложных систем. [c.31]

Используя метод графического интегрирования, Ньютон [15] определил из экспериментальных рУТ-соотношений коэффициенты 7/ для большого числа газов и составил общую диаграмму зависимости у1 = 1(Р1Рс, Т1Тс). Более точные значения коэффициентов летучести получаются, когда расчет ведут на основе известных уравнений состояния (Бенедикта — Вебба — Рубина, Бетти — Бриджмена или Редлиха — Квонга). [c.217]

Решение уравнений Рутана сложная и не всегда выполнимай задача. Наибольшие трудности связаны с расчетом молекулярных интегралов. Такая ситуация не могла не стимулировать поиск полуэмпирических решений, в которых вместо трудно рассчитываемых в теории величин используют опытные данные. Метод ССП МО ЛКАО, с одной стороны, является основой построения более простых полуэмпирических и качественных методов расчета электронной структуры различных соединений. В частности, методы Хюккеля и Гоф )мана, как и другие более совершенные полуэмпирические методы, являются следствием теории Рутана [33, 86]. С другой стороны, на базе теории Рутана создаются более общие теории многоэлектронных систем [87]. Оба эти обстоятельства указывают на [c.54]

Э. Клемени использовал систему неортогональных базисных функций для решения уравнений Рутана в атомном варианте. Наиболее простая аппроксимация 1х- и 2х-радиальных функций атома лития достигается при этом введением двух неортогональных базисных функций и Xjj, таких, чго [c.222]

Переход от уравнений Хартри — Фока к матричным уравнениям Рутана вносит в заданной системе базисных функций. определенные численные ошибки. Для атомов значения этих ошибок известны, так как атомные расчеты могут быть вьшолнены методом численного интегрирования (хартри-фоковский предел точности) и по схеме Рутана. Для молекул хартри-фоковский предел устанавливается несколько умозрительно. Тем не менее разработанные в последние годы методы численного интегрирования уравнений Хартри - Фока для двухатомных молекул позволяют для этих систем устранить эффект конечности базиса. Молекулярная орбиталь записьшается в сфероидальных координатах в виде [c.241]

Задание. Сделайте частный вывод уравнений Рутана [см. (1.48) для двухатомной молекулы. Как при выводе овцего уражмияя, воспользуйтесь равенством (1.35) и условиями минимума энергин в эависимостн от коэффициентов С и С,. Учтите, что Н,2=Нц. [c.33]

Для молекулы водорода МО отдельного электрона равна г(з = С1Ф1 + С2Ф2, а уравнения Рутана запишутся в форме (1.48). Введем обозначения Н = Н22 = а — кулоновский интеграл Н 2 = Н2 = — резонансный интеграл 512 = 521 = б — интеграл перекрывания, или наложения. [c.33]

Общие принципы квантово-химических расчетов во всех случаях остаются сходными. Каждый объект с позиций метода МО считается единой системой, подчиняющейся законам квантовой механики. Обычно применяются адиабатическое и одноэлектронное приближения, вариант ЛКАОМО, вариационный метод с уравнениями Рутана. Кроме метода ССП и теории возмущений используется целый ряд упрощенных так называемых полуэмпирических методов. [c.48]

Рутил, титановые шлаки, лопарит хлорируют в виде брикетов с нефтяным коксом на скорость хлорирования оказывают влияние состав и помол шихты, размеры брикета, пористость и т. д. Основные стадии этого сложного гетерогенного процесса а) подвод хлора к поверхности брикета б) диффузия хлора внутрь брикета в) химическая реакция. Первый процесс обусловлен молекулярной диффузией и переносом хлора к поверхности брикета вследствие движения газов. Диффузия хлора через поры внутрь брикета сопровождается химической реакцией, в результате которой образуется зона хлорирования, имеющая некоторую протяженность. С течением времени зона хлорирования перемещается к центру брикета, вместо нее образуется зона непрохлори-рованного огарка . Глубина зоны хлорирования зависит от температуры. При 400—450° ее глубина превышает радиус брикета, поэтому концентрация хлора во всех точках брикета практически одинакова, и реакция протекает во всем объеме брикета (кинетическая область). С повышением температуры константа скорости реакции возрастает быстрее коэффициента дис х()узии, процесс переходит в диффузионную область, глубина зоны хлорирования уменьшается. Переходу в диффузионный режим соответствует линейная скорость" хлорирования Кр= (1 -7- 4)-10 см/с. Глубина хлорирования брикета удовлетворительно описывается уравнением [c.261]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология