Метрические пространства

Два интервала =[01, 2] п B=[h,,b2] называются равными (/l = /i), если ai = bi a, = b.i. Введенное здесь понятие интервального расстояния представляет собой обобщение понятия расстояния между точками в метрическом пространстве [c.178]

Пусть К — метрическое пространство. Тогда множество Л/ с Л называется компактным, если из всякой последовательности можно выделить сходящуюся последовательность [c.317]

Корректно и некорректно поставленные задачи [5]. Решение всякой количественной задачи обычно заключается в нахождении решения % по заданным исходным данным 5, 2=/ ( ). Обычно я и ъ считаются элементами метрических пространств 5 и (т. е. 5, [c.283]

Задача определения решения 2 из пространства 2 по исходным данным 5 из пространства 8 называется корректно поставленной на паре метрических пространстве (2, 5 ), если 1) для всякого элемента 5 0.5 суш ествует решение 2 02 2) решение определяется однозначно 3) задача устойчива на пространствах (2, < ). Задача, не удовлетворяющая перечисленным требованиям, называется некорректно поставленной. [c.284]

Пусть Г2 — непустое компактное метрическое пространство с метрикой d. Предположим, что число > О и отображение [ , ] обладают следующими свойствами [c.155]

Определим пространство Смейла как компактное метрическое пространство II вместе с отображением [ , ] и гомеоморфизмом /, удовлетворяющими условиям (SS1) и (SS2) при подходящих г и Л. [c.157]

Это согласуется с определением г и тг в 6.17. Множество О является компактным метрическим пространством с метрикой [c.176]

Определение 1. Метрическое пространство. Множество некоторых элементов а, Ь, с... называется метрическим пространством, а элементы а, Ь, с... точками метрического пространства, если каждым двум элементам а, b ставится в соответствие неотрицательное число р(а, Ь), называемое расстоянием между точками и удовлетворяющее условиям [c.115]

Расстоянием между двумя множествами S и Р является в метрическом пространстве R — неотрицательное число [c.115]

Определение 2. Множество S, лежащее в метрическом пространстве R, называется компактным в пространстве R, если из каждой бесконечной последовательности точек множества S всегда можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке пространства R. Метрическое пространство R называется компактным пространством или компактом, если из каждой бесконечной последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся в R подпоследовательность. Аналогично множество S пространства R называется компактным в себе, если из каждой бесконечной последовательности точек множества S существует всегда подпоследовательность, сходящаяся к некоторой точке множества S. [c.116]

Минимальное связывающее дерево по Приму в графе обозначим через Др в метрическом пространстве через Д будем обозначать кратчайшее связывающее дерево без дополнительных точек. Введем матрицу М, элемент которой т,-/ является весом ребра (г, /), соединяющего г-ю вершину с /-й. . [c.140]

Мы уже говорили, что у каждой точки числовой прямой есть система окрестностей. Множества, обладающие этим свойством, называются топологическими пространствами. Следующим важным свойством точек числовой прямой является их упорядоченность если два числа не равны друг другу, то одно из них больше другого. Перенос этого свойства в абстрактную область привел к появлению второго типа структур, упорядоченных и частично упорядоченных множеств. Наконец, простое понятие расстояния между точками легко может быть описано абстрактно, то есть перечислением его свойств, и использовано в таком виде для введения структур третьего типа — метрических пространств. [c.100]

Понятие непрерывности, введенное в главе Функции и алгоритмы , довольно естественно распространяется на функции, определенные в топологических и метрических пространствах, а некоторые важные свойства отрезка числовой оси переходят в свойства так называемых компактных подпространств. [c.100]

Начнем со знакомства с гильбертовыми пространствами, предварительно описав метрические пространства, частными случаями которых они являются. [c.103]

Глава 15. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [c.104]

Напомним, что метрическим называется произвольное множество объектов ж, у,. . ., если задано расстояние р х,у) между любой парой объектов этого множества. Одновременно предполагается, что расстояние от любого объекта до него самого равно нулю, а расстояние от ж до у равно расстоянию от г/ до ж. Кроме того, должно выполняться очень важное неравенство треугольника сумма расстояний от ж до 2 и от 2 до у не может быть меньше расстояния от ж до у. Как следует из определения, любая совокупность элементов метрического пространства сама является метрическим пространством. Если требуется подчеркнуть, что данная совокупность не совпадает со всем пространством, ее называют подпространством. [c.104]

Заметим, что совокупность всех действительных чисел можно превратить в метрическое пространство. Для этого нужно определить расстояние между любой парой этих чисел. В качестве последнего принято брать модуль их разности. Определенное таким образом расстояние равно длине отрезка, соединяющего соответствующие числам точки числовой оси. [c.104]

Два примера метрических пространств [c.104]

Часто встречающимся метрическим пространством является пространство всех непрерывных функций, рассматриваемых на заданном отрезке [а, 6] (включая его концы). Расстояние между двумя функциями /(ж) и g x) определяется как максимум модуля их разности [c.104]

Это метрическое пространство принято обозначать символом С а,Ь). Можно определить расстояние и иначе, положив [c.104]

Что, собственно, должно означать присоединение нового элемента к имеюш,емуся метрическому пространству В ответе на этот вопрос кроется некоторая неожиданность. [c.106]

Займемся вторым вопросом. Предположим, что при добавлении элемента к обнаружится некоторая последовательность элементов метрического пространства [c.106]

Мы показали, что всякое неполное пространство можно рассматривать как подпространство полного, получаемого путем добавления новых элементов. Условимся называть эти новые элементы идеальными. Таким образом, мы показали, что всякое неполное пространство можно дополнить до полного путем присоединения к нему некоторого множества идеальных элементов. Последнее позволяет без ограничения общности считать каждое метрическое пространство полным. Почему это удобно [c.108]

Итак, каждое метрическое пространство можно сделать полным путем добавления идеальных элементов. Поэтому в дальнейшем без ограничения общности будем считать все упоминаемые метрические пространства полными. [c.109]

Начнем с того, что покажем, как распространить понятие непрерывности функций на произвольные метрические пространства. Впрочем, этого будет мало. Вспомним, что первые два из перечисленных свойств могут исчезнуть, если непрерывная функция рассматривается не не отрезке, а на интервале. Поэтому нам понадобится найти в метрических пространствах подходящий аналог отрезка числовой оси. [c.110]

Итак, мы хотим обобщить на произвольные метрические пространства два важные понятия непрерывная функция и отрезок. [c.110]

Пе намного сложнее обобщить должным образом и понятие отрезка. Как мы только что упомянули, первые два из перечисленных трех свойств непрерывных на отрезке функций вытекают из существования по крайней мере одной точки сгущения у любого бесконечного множества точек, размещенных на этом отрезке. Так вот, если некоторая часть Ml метрического пространства также содержит хотя бы одну точку сгущения любой бесконечной последовательности, размещенной на Ml, то ее (эту часть) называют компактом и считают естественным обобщением понятия отрезка применительно к метрическим пространствам. [c.110]

Как и всякое метрическое пространство, гильбертово пространство можно без ограничения общности считать полным. [c.118]

В главах 1 и 2 дана теория гиббсовских состояний без предположения об их трансляционной инвариантности (в этом случае вместо решетки рассматривается бесконечное счетное множество Ь). В главе 3 предполагается ипвариаптпость отпосительпо сдвига и развивается теория топологического давления и равновесных состояний для классических решетчатых систем. Кроме того, получены общие результаты по фазовым переходам. Глава 4 является центральной, в ней устанавливается связь между гиббсовскими и равновесными состояниями. Глава 5 посвящена одномерным системам и, таким образом, предваряет главу 7. В главе 6 теория равновесных состояний распространяется на случай, когда конфигурационное пространство О. заменяется произвольным метрическим компактным пространством, на котором группа ТУ действует гомеоморфизмами. Глава 7 обобщает теорию гиббсовских состояний (и все соответствующие понятия) на конкретный класс компактных метрических пространств, называемых пространствами Смейла, на которых группа й действует гомеоморфизмами. Пространства Смейла включают в себя базисные множества с аксиомой А и, в частности, многообразия с диффеоморфизмами Аносова. [c.28]

Как мы убедились в главе 6, часть термодинамического формализма можно распространить на случай произвольного Z -действия гомеоморфизмами компактного метризуемого пространства fi. В этой главе мы обобщим более богатый формализм одномерных систем из главы 5 на некоторый ютаее Z-действий гомеоморфизмами компактных метрических пространств. Такие Z-действия впервые изучались в теории диффеоморфизмов, удовлетворяющих аксиоме А Смейла [1]. Мы представляем здесь абстрактный вариант той части теории, которая имеет отношение к предмету этой книги. За доказательствами будем отсылать главным образом к публикациям по Л-диффеоморфизмам. Эти публикации, в особенности работы Смейла [1] и Боуэна [6], содержат также соответствующие мотивировки. Главный новый излагаемой теории — это предположение о наличии структуры локального произведения. Пространство П расслаивается на устойчивые многообразия , которые экспоненциально быстро сжимаются под действием итераций отображения /, и неустойчивые многообразия , которые сжимаются под действием итераций отображения Еели точки хну достаточно близки, то пересечение П V не пусто и состоит из единственной точки [х, у]. Структура локального произведения определяется тогда отображением х, у [х, у]. [c.155]

Пусть fi — компактное метрическое пространство с метрикой d и f — непрерывное отображение пространства fl на себя . Будем называть отображение / растягивающим, если существуют е>0иЛе(0, 1)со следующим свойством [c.175]

Преобразования (1,3) и (1,3 а) являются вполне произвольными, хотя и на них накладываются некоторые ограничения дифференцируемость функции и ср нужное число раз, необращение в нуль Якобиана преобразования и другие, в соответствии с условиями той или иной задачи. Соотношение (1,8) показывает, что величина входящая в выражение (1,5) основной квадратичной формы для интервала й5, является ковариантным тензором 2-го ранга, который называется метрическим. Пространство называется евклидовым, если в нем можно построить такую систему [c.15]

На втором этапе решения спектральной задачи, используя алгоритм Ланцоша, оператор — (Ь-ЬгТ), определенный в К-мер-ном комплексном базисе, аппроксимируется оператором в п-мерном пространстве, причем га Л . Алгоритм Ланцоша, сформулированный для эрмитовых операторов, был модифицирован Моро и Фридом [31 для работы с комплексным симметричным оператором —(Ь-ЬгТ) переопределением нормы вектора в комнлекс-ном пространстве так, что норма стала комплексной. В пространстве с переопределенной таким способом метрикой неприменимы критерии сходимости, используемые в обычном метрическом пространстве, поэтому этот этап решения спектральной эадачи требует особого рассмотрения. В работе [31 предлагается следующий способ выбора размерности базиса Ланцоша начиная с некоторого (обычно выбранного заранее) шага алгоритма Ланцоша, нужно следить за сходимостью спектральной функции. Для этого вводится функция ошибки, определяемая как [3] [c.233]

Чтобы стала ясной постановка таких вопросов, необходимо пояснить смысл ряда совершенно необходимых, но не имеющих широкого распространения понятий. Таковым, например, является понятие о реальном пространстве состояний равновесных химических систем. Точкой этого пространства, по определению, может быть или некий многокомпонентный раствор, в котором практически установились термическое, механическое и какой-то ряд химических равновесий, или некая гетерогенная система в условиях реализации определенных внутри- и межфазных состояний равновесия. Далее, от реального следует отличать метрическое пространство состояний. Точка последнего однозначно маркирует (отмечает) определенное множество эквивалентных (в каком-то классе отношений) точек реального пространства. Однозначно-многозначные соответствия между состояниями (точками) метрических пространств и состояниями (точками) реального могут быть установлены по-разному на различных ступенях приближения описания к действительности. Поэтому необходимым становится понятие о полноте описания состояния нри переходе от реального к данному метрическому пространству. Например, нри учете результатов независимого действия лишь механического и термического факторов, при отказе от рассмотрения так называемых экстенсивных свойств, при пренебрежении влиянием на включенные в поле зрения удельные и интенсивные свойства характера раздробленности фаз, общего объема, геометрической формы граничных поверхностей, а также влиянием микропримесей ддя многозначных отображений состояний реального пространства, в данном классе метрических достаточно ограничиться выбором двух физических (например, Г и Р) и возможного ряда химических переменных (переменных состава). Именно благодаря ограничениям (отказу от абсолютный полноты описания состояний) удается перейти от реального пространства бесконечной, в общем случае, размерности к метрическим пространствам конкретной размерности. Кроме того, специально подчеркнем, что даже при заданной полноте описания состояний возникает воз- [c.34]

После сделанных пояснений можно попытаться сформулировать несколько вопросов и ответы на часть из них. Например На какой вопрос призвано отвечать всем хорошо известное, но по-разному трактуемое и используемое [22, 23] правило фаз Гиббса Ответ действительно нетрудно выразить в рамках указанных выше понятий. Но вначале нужно перечислить все необходимое для получения конкретного ответа 1) имеется точка реального пространства состояний равновесных химических систем 2) задана полнота описания состояний, в связи с которыми рассматривается данное этим средр прочих необходимых ограничений исключаются из рассмотрения экстенсивные свойства [24, 25] 3) найдено а) в равновесии сосуш ествуют Ф фаз, т. е. включенная в поле анализа точка реального пространства — это конкретная Ф-фазная равновесная система, б) минимальное число химических веществ, в терминах количеств которых можно отразить состав любой из Ф фаз системы, равно К, в) взятой точке реального пространства и всему множеству других, ей эквивалентных в рамках принятой полноты описания, соответствует только одна в любом из метрических пространств определенного класса, имеющих размерность + 1). [c.35]

Интересен вопрос о соотношении отображений оддп1Х и тех же множеств эквивалентных точек реального пространства, получаемых в метрических пространствах с независимыми координатами в терминах а) общих концентраций исходных веществ в системе как целом б) общих концептрадий исходных веществ и (или) продуктов их эквивалентных преобразований (с учетом возможной фрагментации и произвольного перераспределения фрагментов между фазами) в сосуществующих фазах в) равновесных концентраций возможных химических форм, возникающих внутри сосуществующих фаз г) общих концентраций элементов в системе и (или) в фазах д) любых возможных комбинаций переменных, указанных в пунктах а—г. Частично эти вопросы конструктивно разработаны (топология Р-, Т-, Х-диаграмм). Однако единой аналитической (геометрической) системы решения всего намеченного выше круга вопросов пока не существует. [c.37]

Какие последовательности элементов любого (т. е. абстрактного) метрического пространства можно превратить в сходяш,иеся последовательности путем добавления нового элемента Как ни удивительно, ответ на этот вопрос очень прост и его легко получить. [c.106]

Итак, путем добавления новых элементов можно превратить все последовательности Коши в сходяищеся. Если все последовательности Коши некоторого метрического пространства являются сходящимися, то такое пространство принято называть полным. Все прочие пространства называются неполными. [c.107]

Не следует думать, что внутренность любой сферы метрического пространства является компактом. Это, конечно, не так. Однако, как легко докажет читатель, каждое компактное подпространство находится внутри сферы достаточно большого радиуса. Во многих случаях найдены критерии, нозволяюш,ие судить, компактно ли данное подпространство. Мы не будем останавливаться на данном вопросе. [c.111]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология