Латинские квадраты

В табл. 14 приведен план эксперимента по схеме латинского квадрата 3X3. [c.102]

Первый подход (он был рассмотрен выше) предполагает планирование всего эксперимента сразу до начала экспериментальной работы на объекте. Затем ставится эксперимент в соответствии с построенным планом. Эти планы связаны в основном с определением полиномиальной модели процесса и одновременным выявлением оптимальных условий его ведения, поэтому такое планирование принято называть экстремальным планированием эксперимента [18]. Для введения в план экстремального эксперимента качественных факторов применяют сложные планы, получаемые совмеш епием латинских квадратов и кубов с факторным экспериментом 2 ", где п — число факторов [19]. В химической технологии широкое применение планирование эксперимента получило при изучении диаграмм состав—свойство [12, 20]. [c.97]

Число опытов можно значительно сократить, если воспользоваться ДФЭ по схеме латинского квадрата, введенного впервые Фишером. Латинский квадрат пХп — это квадратная таблица, составленная из п элементов (чисел пли букв) таким образом, что каждый элемент повторяется в каждой строке и каждом столбце только один раз. Из трех элементов образуется латинский квадрат 3X3 [c.100]

Планирование эксперимента при дисперсионном анализе. Латинские и гипер-греко-латинские квадраты. При изучении влияния на процесс двух факторов число необходимых экспериментов N (без повторения опытов) определялось произведением уровней изучаемых факторов. Если число уровней п одинаково, то объем эксперимента при двухфакторном дисперсионном анализе равен Ы = При таком числе опытов в эксперименте встречаются все возможные сочетания уровней изучаемых ф акторов. Такой эксперимент называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Эксперимент, в котором пропущены некоторые сочетания уровней, называется дробным факторным экспериментом (ДФЭ). [c.99]

Планирование эксперимента по схеме греко-латинского квадрату применяется для четырех факторов. Число уровней для всех факторов должно быть одинаково. В табл. приведены греко-латинские квадраты размерности 3X3, 4X4 и 5X5. [c.110]

Il3 четырех элементов — латинский квадрат 4X4 [c.100]

Рис. 3. Пример латинского квадрата 4x4.

Стандартными илп каноническими латинскими квадратами на- [c.100]

Таблица I i 2X2 латинский квадрат [c.101]

Греко-латинские квадраты [c.111]

Латинский квадрат 3x3 со структурной точки зрения можно рассматривать как /з реплику от полного факторного эксперимента 3 . В общем случае латинский квадрат пХп можно рассматривать как п реплику от ПФЭ п . [c.102]

При проведении опытов использовался метод рационального планирования (планирование с применением латинских квадратов), который позволяет спланировать сочетание различных факторов так, чтобы при минимальном числе опытов наиболее равномерно охватить всю область возможных сочетаний влияющих факторов 16]. При использовании полного факторного эксперимента [7] с целью уменьшения числа опытов (что ведет к потере точности) факторы варьируют на двух, а в некоторых случаях на трех уровнях, в случае рационального планирования факторы варьируются на пяти уровнях, причем для четырех переменных достаточно провести 25 опытов взамен 5" =625. В каждом опыте факторы сочетаются на разных уровнях. [c.83]

При проведении дисперсионного анализа латинского квадрата б< з повторных опытов удобно использовать следующий алгоритм расчета. Для этого определяют 1) итоги по строкам А , столбцам 5 и латинским буквам С,,. Например, для приведенного в табл. 14 латинского квадрата 3X3 итоги по строкам [c.102]

Дисперсионный анализ латинского квадрата (без повторных опытов) [c.104]

Рассмотрим следующие два латинских квадрата, составленных соответственно из латинских и греческих букв [c.108]

Если наложить эти два латинских квадрата один на другой и составить третий квадрат, каждая клетка которого содержит как латинскую, так и греческую букву соответствующих клеток исходных квадратов, то получим [c.109]

Для получения р-й строки третьего и четвертого латинских квадратов прибавляют (по модулю 5) к элементам первой строки первого квадрата соответственно числа рХЗ и рХ4 [c.110]

Гипер-греко-латинский квадрат 4-го порядка [c.113]

Таким образом, получили полную систему ортогональных латинских квадратов. [c.110]

Основным допущением, лежащим в основе применения греко-латинского квадрата и квадратов высших порядков, является предположение об отсутствии взаимодействий между факторами. Про-ве )ить адекватность принятой линейной модели, как и при применении латинских квадратов, мож-но только при наличии параллельных опытов. [c.114]

Совмещение факторного эксперимента 2 с латинским квадратом 4x4 [c.213]

Греко-латинский квадрат является частью четырехфакторного плана — по схеме греко-латинского квадрата вводятся в план эксперимента факторы С и D. Например, в последнем плане (табл. 16) уровни ф.актора С соответствуют латинским, а уровни фактора D — греческим буквам греко-латинского квадрата (111.103) А— i, В -С2, С—Сз, D—С4, Е— s и а—di, (3— 2, "У—d , 6— 4, е—d . Однако принято греко-латинским квадратом называть весь четырехфакторный план (табл. 16). Матрица планирования, соответствующая греко-латинскому квадрату 3X3, приведена в табл. 17. [c.110]

Для совмещения факторного эксперимента 2 с латинским квадратом удобно факторный эксперимент 2 представить в виде таблицы с 2 + входами, на которую накладывается латинский квадрат размера 2 X2 , например табл. 49. [c.213]

Планирование эксперимента но латинскому квадрату позволяет ввести Б исследование три фактора. Для четырех факторов хорошими свойствами обладает план эксперимента ио схеме грско-латинского квадрата. Задача состоит в том, чтобы к трем исследуемым факторам, не меняя общего числа опытов п , добавить четвертый фактор D. Это удастся сделать, если найти такое расположение уровней факторов С и D, ири которо.м в каждой строке и в кал<дом столбце имеются все п уровней фактора С и все п уровней фактора D и в то же время никакие два уровня факторов С м D ие встречаются во всей таблице больше одного раза. Расположение такого типа называется латинским квадратом второго порядка, который получается комбинацией двух ортогональных латинских квадратов. [c.108]

В полученном квадрате каждая буква одного квадрата связана один и только один раз с каждой буквой другого квадрата. Таки два латинских квадрата называются ортогональными. Полученный квадрат второго порядка называют такл<.е греко-латинским квадратом. Задача о нахождении ортогональных латинских квадратов в комбинаторной математике еще пoJrнo тью не решена. Доказано существование ортогональных латинских квадратов для /7 = 3, 4, 5, 7, и 9. Известно, что их нет для п = 6. Для п = 6 поэтому можно построить обычный латинский квадрат и нельзя построить квадрат второго порядка. Латинский квадрат для п=10 не исследован, Ес п имеется к = п—1 попарно ортогональных латинских квадратов, то они образуют так назьгваемую полную систему ортогональных латинских квадратов. Показано, что существуют полные системы латинских квадратов д.чя п = р (р — простое число) и n = p (степени простого числа). Полную систему ортогональных латинских квадратов для п==р (р — простое число) можно построить, используя поля Галуа. Построим, например, иоле Галуа вычетов по модулю 5. Два целых числа а и Ь конгруэнтны ио модулю 5, если а—6 = Х5, где — какое-либо целое число, это можно записать в виде [c.109]

Источники дискретного типа различие в сырье, технол. аппаратах, способах проведения процессов, исполнителях и т. д. В данном случае задача П. э. заключается в сокращении числа оцениваемых возможных сочетаний изучае.мых факторов, т.е. относится к классу т. наз. комбинаторных задач. Последние решают с помощью планов, осн. на спец. правилах размещения факторов по уровням в каждом опыте. Существует множество способов организации таких планов, из к-рых наиб, распространены планы, использующие св-ва т. наз. латинских и греко-латинских квадратов, кубов и др. Напр., латинский квадрат представляет собой таблицу, состоящую из и строк и и столбцов и заполненную я элемента.ми (числами или буквами) так, что каждый элемент повторяется в каждой строке и каждом столбце только один раз (рис. 3). [c.560]

Е>се три фактора в латинском квадрате имеют одинаковое число уровней (йг, Ьг, Сг). Тзк, В плзне (табл. И) каждый фактор изменяется на двух уровнях. [c.101]

Рассмотрим латинский квадрат, образованный таблицей сложе-НИ1. Если в этом квадрате заменить р-ю строку, начинающуюся с эл1 мента р (р = 0, 1, 2, 3, 4), строкой, полученной прибавлением (по модулю 5) к элементам первой строки первого квадрата числа рх2, получим второй квадрат [c.110]

Дисперсионный анализ греко-латинского квадрата ироводится таг же, как и анализ обычного латинского квадрата, с учетом чет-ве[ того фактора > (греческая буква). Сумма квадратов для греческой буквы имеет число степеней свободы п—1. Число степеней свсбоды остаточной суммы, определяемой, как и ранее, в виде разности между общей суммой квадратов и суммами квадратов всех фа сторов, равна (п—1) (п—3). Если наложить друг на друга три ортогональных латинских квадрата, получим латинский квадрат третьего порядка, п ортогональных квадратов — латинский квадрат н-го порядка. Полученные квадраты называют также гипер-грс ко-латинскими квадратами. [c.112]

При п уровнях в илан можно ввести п+ фактор. Число степе-нег свободы остаточной суммы ири этом будет равно нулю. Такие планы называются насыщенными. Построим насыщенный илан для п=5. Наложим для этого друг на друга четыре полученных орто-го1 альных латинских квадрата 5X5 [см. (111.105) — (1П.108)], составляющих полный ряд ортогональных латинских квадратов 5x5 (табл. 18). Исходный латинский квадрат (111.105) соответствует уровням ( зактора С, второй квадрат (111.106)—уровням фактора [c.112]

Планирование эксперимента по латинскому кубу первого порядка позволяет включить в рассмотрение четыре фактора В, С и D). Отличие от греко-латинского квадрата, который тоже даег возможность изучать влияние четырех факторов, состоит в том, что в латинском кубе три фактора (А, В и С) считаются главными п одиг фактор (D) составляет элиминирующую группировку, а в греко-латинском квадрате главными считаются два фактора А и В, i С п D составляют двойную элиминирующую группировку. Число опытов в кубе в п раз больще, чем в греко-латииском квадрате . Латинский куб без новторных опытов применяется в предположении линейной модели нроцесса [c.115]

Е о многих задачах в планировании наряду с качественными факторами участвуют количественные, и их может быть достаточно мною. Если всем факторам задавать одинаковое число уровней />2, то или потребуется большое количество опытов, или необходимо будет ограничивать величиной (/+1) число факторов, вводимых в план. Кроме того, для некоторых качественных факторов иногда невозможно задать более двух уровней. В таких задачах полезными оказываются сложные планы факторный эксперимент совмещенный с латинским квадратом размера 2 X2 [И]. Они позволяют вводить в планирование несколько факторов на / = 2 урогнях и достаточно большое число количественных и качественных факторов на двух уровнях. Такие планы можно построить только для факторного эксперимента 2 с количеством опытов, равным И0Л1 ому квадрату числа 2 , k = 2, 3,. .. [c.213]

Представляют интерес самые различные варианты насыщенных 0 )тогональных планов, полученных в результате совмещения факторного плана 2 с одним латинским квадратом, двумя ортого-пальпымн латинскими квадратами и т, д. до (2 —1) ортогональных латинских квадратов. Каждый фактор, введенный в плап на 1 = 2 уровнях, имеет (2 —1) степеней свободы и оказывается смешан-П1)1м с 2 —1 различными взаимодействиями 2к факторов полного факторного эксперимента. Если ввести в план т факторов —1) на 2 уровнях, то они окажутся смешанными с m 2 —1) взаимодействиями исходных факторов. Всего в полном факторном плане 2 имеется 2 —2к—1) взаимодействий. Следовательно, свободными от смешивания с главными эффектами 2к + т) факторов останутся (22 —2к—1)—т(2 —1) взаимодействий. Их можно использовать для введения в план дополнительных факторов на двух уровнях. Насыщенный план тогда включает п = 2 —т2 + + 2т—1 факторов, из которых т вводятся на 1 = 2 уровнях и (п—т) на двух уровнях. Наибольший практический интерес представляют планы при = 2, т. е. Л =16, 1 = 4. Могут оказаться полезными планы нри й = 3, т. е. Л ==64, / = 8. Планы, построенные при й = 4, требуют слишком большого числа опытов (Л/= 256). [c.214]

Методом латинского квадрата определены оптимальные параметры режима работы гидроциклопов. В качестве регулируемых параметров выбраны производительность, концентрация нефтепродукта на входе в гидроциклон, сопротивление вентиля на выходе очищенной воды, сопротивление вентиля на выходе сконцентрированной эмульсии. [c.82]

Проведены опыты по деароматизации керосино-газойлевой ()ракции дицианэтиловым эфиром этиленгликоля в смеси сЛ/-ме-тилпирролидоном с применением метода рационального планирования (планирование с применением латинских квадратов). [c.85]

Проведены опыты по деароматизации керосино-газойлевых фракции дицианэтиловым эфиром этиленгликоля в смеси с N-мeтилпиppoлидoнo с применением метода рационального планирования (планирование с применением латинских квадратов). Методом регрессионного анализа получень уравнения, описывающие зависимость выхода рафината и содержания ароматических углеводородов в рафинате от кратности растворителя к сырью, температуры процесса, числа ступеней контакта, содержания N—метилпирролидона. Погрешность уравнений, полученных методом рационального планирования, в 2,5 раза меньше, чем погрешность уравнений, полученных методом полного факторного эксперимента. [c.185]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология