Эйнштейна экспоненциальная

Таким образом, теория Эйнштейна объяснила зависимость теплоемкости кристалла от температуры и обращение ее в ноль при 7 ->-0. Количественное согласие теории с опытными данными оказывается в общем удовлетворительным. Однако вблизи абсолютного нуля теоретическая экспоненциальная зависимость Су(Т) отличается от экспериментальной степенной, даваемой формулой (IV. 69). Значения теплоемкости, определенные по формулам Эйнштейна, табулированы. [c.186]

Таким образом, с уменьшением температуры до нуля теплоемкость стремится к нулю. Более того, при Т < 0 главным в выражении (200) оказывается экспоненциальный фактор, и именно он определяет поведение с когда Т падает ниже О,20 ., теплоемкость Сц начинает убывать очень быстро (см. рис. 59). В этом температурном интервале как раз наблюдается расхождение теории Эйнштейна и экспериментальных данных. Это расхождение было устранено Дебаем с помощью уточненной теории, предложенной Эйнштейном. [c.141]

Очевидно, что наибольший вклад в температурную зависимость теплоемкости при Т— О в теории Эйнштейна вносит экспоненциальный множитель. Из формулы [c.109]

То же самое уравнение Эйнштейна в дифференциальной форме иногда используют для описания образования фазы микрогеля в золе. Если ф — объемная доля фазы геля, то (1 1п Т1= /<йф. Интегрирование этого уравнения при начальных условиях ф=0 т1=т)й (где Но — вязкость свободного от гелевой фазы золя при данной концентрации кремнезема) приводит к экспоненциальной зависимости относительной вязкости н/нб от объемной доли гелевой фазы. [c.80]

К сожалению, уравнение Эйнштейна имеет ограничения при значительном содержании дисперсной фазы зависимость принимает более сложный характер. Зависимость вязкости от температуры имеет экспоненциальный вид [c.65]

Проницаемость полимеров по отношению к данному газу определяется его коэффициентом диффузии, а так как коэффициент диффузии зависит от температуры, газопроницаемость полимера с увеличением температуры тоже увеличивается. Однако при диффузии газов в полимере рост газопроницаемости с температурой происходит быстрее, чем это следует из уравнения Эйнштейна для коэффициента диффузии. В данном случае коэффициент диффузии растет по экспоненциальному закону [c.146]

Видно, что при высоких температурах Нш <С к Т) средняя энергия осциллятора, как ей и положено по законам классической физики, равна квТ, а с понижением температуры уменьшается. Вместе со средней энергией уменьшается и теплоемкость. При стремлении температуры к абсолютному нулю Нш квТ) теория Эйнштейна предсказывает экспоненциальное падение теплоемкости до нуля [c.296]

Из-за присутствия экспоненциальных членов вычисление термодинамических функций для колебательного движения довольно трудоемко. Однако из табл. 28.2 видно, что все эти функции могут быть выражены через новую переменную х = к 1кТ. Впервые использование таких функций было предложено Эйнштейном в его теории темлоемкости, и поэтому их иногда называют функциями Эйнштейна. Обширные таблицы этих функций были созданы Джонстоном, Каведоффом и Вельзером. В табл. 28.4 эти данные приведены через большие интервалы х в виде безразмерных чисел, величина которых нечувствительна к изменению наилучших значений физических констант (см. приложение I). Напомним, что суммарный вклад в термодинамические функции равен сумме вкладов от каждого колебания. В двухатомной молекуле существует только одно колебание, в линейной молекуле и=3п—5 [см. уравнение (8.9)]. В нелинейной трехатомной молекуле в термодинамические функции вносят вклад 7=3-3—6=3 независимых колебания [см. уравнение [c.396]

Излучательное время жизни, вычисляемое по формулам (27)—(29), относится к спонтанному испусканию света и является обратной величиной вероятности (=1/тг) того, что молекула совершит нзлучательный переход из верхнего состояния п в нин<-нее состояние т в отсутствие излучения частоты V, соответствую-ш,ей разности энергий состояний п и т. В общем случае полная вероятность перехода равна сумме вероятности и величины и Впт, где V — плотность излучения частоты V, а величина В т постоянна для рассматриваемой системы. Свет, испускаемый во втором процессе, называют вынужденным (стимулированным) излучением, и его фаза совпадает с фазой внешнего вынуждающего света. Вероятность вынужденного испускания и Впуп совпадает с вероятностью и Втп обратного процесса, т. е. поглощения (согласно формуле Эйнштейна, Втп = пт = зЛ , /8л ftv ). Следовательно, если в любой системе заселенность основного состояния больше заселенности возбужденного, то суммарным результатом облучения светом частоты V будет поглощение света. Если каким-либо способом в возбужденном состоянии удастся получить большую заселенность, чем в основном, то облучение светом частоты V приведет к дополнительному, стимулированному этим светом испусканию излучения. На этом принципе основана работа лазера, подробное рассмотрение которого, однако, выходит за рамки данной книги. Вынужденное испускание легче всего получить в системах с узкой полосой люминесценции, и для его возбуждения требуются очень высокие интенсивности возбуждающего света. Ниже мы будем рассматривать такие системы, в которых вынужденным испусканием по разным причинам можно пренебречь и, следовательно, в которых соблюдается экспоненциальный закон спадания интенсивности флуоресценции, а времена жизни возбужденных состояний можно рассчитывать по уравнениям (27) —(29). [c.35]

В пределе при высоких температурах (Г> 0 ) уравнение (2.19) переходит в предсказываемое теоремой классической механики о равнораспределении и наблюдаемое экспериментально выражение С /= 3rNk (так называемый закон Дюлонга —Пти). Для низкотемпературного предела модель Эйнштейна предсказывает снижение теплоемкости с понижением температуры, которое также наблюдается экспериментально, но оказывается при этом значительно более медленным (степенным вместо предсказываемого экспоненциального). Для средних температур (Т в ) часто наблюдается очень хорошее согласие результатов расчета по формуле (2.19) с экспериментом, особенно если рассматривать 0 как параметр, подлежащий опытному определению. Такие результаты сопоставления модели Эйнштейна с экспериментом вполне понятны. При высоких температурах, когда выполняется теорема о равнораспределении, теплоемкость и внутренняя энергия совершенно нечувствительны к виду частотного спектра, а определяются только общим числом осцилляторов, каждый из которых находится в возбужденном состоянии. При низких температурах тепловой энергии не хватает для возбуждения осцилляторов с частотой (u , и колебания в кристалле согласно модели Эйнштейна оказываются замороженными . В то время как в действительности (см. формулу (2.7)) частотный спектр макроскопического кристалла практически непрерывен, начиная от температуры О К, и при любой достижимой температуре реализуются возбужденные низкочастотные колебания. При температурах, близких к 0 , реальный спектр возбужденных осцилляторов кристаллического твердого тела, характеризуемый наличием довольно острых пиков (например, при частоте oi рис. 2.1), оказывается в значительной мере сходным с постулированным в модели Эйнштейна. [c.98]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология