Энергия средняя гармонического осциллятора

Здесь первое слагаемое представляет собой среднюю энергию двух гармонических осцилляторов. В слабых полях ( th а — 1/а) (что является функцией [c.326]

Р1з сравнения выражений (4.2) и (4.8) следует, что значения средней энергии квантового и классического гармонических осцилляторов существенно различаются. Заметим, что выражение (4.8) имеет более общий характер. Из него как частный случай можно получить выражение для средней энергии классического гармонического осциллятора. Действительно, при высоких температурах, когда йГЭ-йсо, знаменатель в выражении [c.107]

Известно, что средняя энергия простого одномерного гармонического осциллятора 1 зависит только от температуры [c.105]

В гармоническом приближении, как следует из общей механической теории колебаний, колебательное движение системы, имеющей Ркол степеней свободы, может быть представлено как наложение нормальных колебаний (см. гл. IX, 11). Совокупность ЗЫ связанных осцилляторов можно формально описать как совокупность ЗЛ/ независимых одномерных гармонических осцилляторов, так что для энергии будут справедливы выражения (IX. 168) в классическом приближении и выражение (IX. 169) в квантовом случае (число степеней свободы следует приравнять ЗК). В формулы входят ЗЫ величин V I = = 1,. .., ЗМ), собственных частот (частоты абстрактных линейных осцилляторов, с помощью которых мы описываем действительное движение атомов в системе). Формулы для статистической суммы и средней энергии одномерного гармонического осциллятора были получены ранее [формулы (IX. 107) и (IX. 110)]. Колебательная статистическая сумма кристалла, если включить в нее сомножитель, связанный с нулевой энергией колебаний, запишется в виде [c.320]

Таким образом, квантовый гармонический осциллятор может иметь только квантованные, отличающиеся величиной п значения энергии. В соответствии с квантовой теорией средняя энергия гармонического осциллятора может быть нредставлена в виде [c.107]

Дебай [2] рассматривал одноатомные твердые тела как непрерывную упругую среду, обладающую dN различными видами собственных колебаний, что соответствует 3N обычным степеням свободы для системы, содержащей N атомов. Запас энергии подобного твердого тела можно найти, определив характер различных видов колебаний, лежащих в данном интервале частот. Приписывая затем каждому колебанию вычисленную по Эйнштейну величину средней энергии квантованного гармонического осциллятора частоты v и. Интегрируя по объему твердого тела от нуля до максимальной частоты, определяемой упругими свойствами твердого Лла, мы получим искомое содержание энергии. [c.19]

Используя распределение Больцмана по колебательным уровням, рассчитайте среднее значение колебательной энергии гармонического осциллятора с частотой о) при температуре Т. Упростите полученное выражение при высоких и низких температурах. [c.154]

В предположении, что наиболее эффективными являются не вращательные и поступательные, а колебательные степени свободы,и что квант колебательной энергии значительно меньше величины средней тепловой энергии /гv кТ, реагирующую частицу можно рассматривать как классический гармонический осциллятор с х степе- [c.56]

Квантовая теория теплоемкости Эйнштейна. В 1907 г. Эйнштейн впервые применил квантовую теорию для описания колебаний атомов в кристалле. В модели, которую рассматривал Эйнштейн, предполагается, что все атомы твердого тела колеблются независимо друг от друга около своих положений равновесия с одной и той же частотой ломаке- Это дает возможность систему из N атомов заменить для теоретического рассмотрения системой из ЗЛ независимых одномерных гармонических осцилляторов. Основой успеха теории Эйнштейна явилось сделанное им предположение о том, что энергия, сообщенная телу, распределяется между осцилляторами целыми квантами, в связи с чем он применил выражение Планка для средней энергии осциллятора к тепловым колебаниям. [c.70]

Для квантового гармонического осциллятора справедливы формулы (11.84). Колебательная энергия кристалла в целом представится в виде суммы средних энергий ЗМ нормальных осцилляторов [c.184]

В строгое выражение (IV. 74) для средней энергии системы связанных гармонических осцилляторов входят собственные частоты VI. При нахождении статистических средних существенно знать не столько сами частоты, сколько распределение по ним, т. е. число колебаний в определенном интервале значений [c.186]

Распределение по переменным, описывающим колебательное движение двухатомной молекулы. Колебательное движение ядер двухатомной молекулы описываем как движение одномерного гармонического осциллятора. Определим среднюю энергию этого движения [c.104]

Классическая мо ль. В 3 (гл. И) мы установили, что совокупность связанных гармонических осцилляторов твердого тела может быть представлена как совокупность несвязанных нормальных осцилляторов число нормальных осцилляторов при этом равно числу степеней свободы. По классической теории на каждый нормальный осциллятор приходится в среднем энергия, равная k T. Поэтому средняя энергия твердого тела, состоящего из N одинаковых (N — число Авогадро) атомов, [c.139]

Легко можно показать, что для гармонического осциллятора в любом состоянии движения средневременная потенциальная энергия (среднее [c.329]

Найдем явное выражение р. при заданном значении средней энергии ангармонического осциллятора ё и температуре Т поступательно-вращательного движения. Для этого воспользуемся тем, что при ё колебательная статистическая сумма двухатомной молекулы мало отличается от статистической суммы гармонического осциллятора, т. е. [c.48]

Модель Дебая. Согласно теории Дебая (1912 г.), твердое тело представляется как совокупность ЗЫ нормальных ( гармонически связанных) осцилляторов с разными частотами (о, причем средняя энергия каждого такого осциллятора по-прежнему определяется по формуле (197). Таким образом, средняя энергия твердого тела, состоящего из N атомов, запишется как [c.141]

Упражнение. Физик разложил бы у (х) по нормальным модам и зная, что средняя потенциальная энергия гармонического осциллятора равна применил формулу (3.5.6). Выведите таким путем формулу (3.5.5). Упражнение. В выражении (3.5.6) замените множитель 1/Р на распределение Планка и найдите таким способом квантово-механический аналог формулы (3.5.5). [c.73]

Сколько микросостояний существует для трехатомного кристалла из одномерных гармонических осцилляторов при наличии только двух квантов энергии Сколько атомов в среднем не будет иметь ни одного кванта либо будет иметь один или два кванта [c.544]

Полуколичественное исследование локальной аддитивности энергии Мдисп для взаимодействия двух многоатомных насыщенных молекул производилось при использовании модели Друде, т. е. молекулу представляли в виде группы взаимодействующих друг с другом изотропных трехмерных гармонических осцилляторов, заменяющих силовые центры (атомы или атомные группы) молекулы [160—162]. Если взаимодействие между осцилляторами внутри молекулы сильное, то отклонения от аддитивности диполь-дипольного дисперсионного взаимодействия могут быть значительными, т. е. потенциальная энергия межмолекулярного взаимодействия осцилляторов, входящих в молекулы, значительно отличается от энергии взаимодействия тех же изолированных осцилляторов [160, 161]. Знак и величина отклонения от аддитивности зависят от расположения силовых центров внутри молекулы и от относительной ориентации молекул [160, 162]. Однако если вместо значений поляризуемостей изолированных силовых центров молекулы а использовать значения средних поляризуемостей а этих силовых центров в рассматриваемых молекулах, т. е. если учесть изменения а силовых центров молекулы из-за взаимодействия внутри молекулы, то энергия дисперсионного взаимодействия двух сложных молекул оказывается в хорошем приближении аддитивной [161]. [c.251]

Согласно классическим представлениям, источником электромагнитного излучения является осциллятор— колеблющийся заряд или система зарядов (например, электрический диполь). Среднее значение IV энергии, излучаемой гармонически колеблющимся диполем в единицу времени определяется выражением [c.219]

Влияние нулевой энергии вводится посредством допущения, что радиус максимальной плотности электронов, который определяется эффективным зарядом ядра Z, не фиксирован, а его распределение около средней величины описывается волновой функцией гармонического осциллятора. Полная волновая функция в таком случае записывается как 1 = 1(г1) X X Ф1 (Ж ), где [c.162]

Если столкновения являются случайными событиями и разделены временами, которые в среднем велики по сравнению с периодом колебания осциллятора, то для этих начальных фаз существует совершенно определенная функция вероятности распределения (например, фазовый угол гармонического осциллятора всегда с равной вероятностью находится в интервале О—2я). Следовательно, вероятность появления какой-либо начальной фазы не зависит от конечной, возникшей в результате последнего столкновения. Таким образом, существует совершенно определенная вероятность для какого-либо соударения произвести некоторое заданное изменение состояния (энергии) осциллятора, и эта вероятность зависит только от начального и конечного состояний, а также от параметров соударения. [c.66]

При очень низких температурах Ео = Ыо 1 2) или о/Л о=е/2 = = средней энергии каждого осциллятора в основном состоянии. Но, как уже было показано [см. уравнение (8.14)], при О К все молекулы находятся в основном колебательном состоянии следовательно, величина е/2 представляет собой нулевой уровень энергии, или остаточную энергию гармонического осциллятора при О К. Таким образом, при температуре абсолютного нуля каждое колебание происходит с энергией, равной половине энергии колебательного кванта. Поэтому энергия У-го колебательного состояния определяется выражением гу=УЬ + У2 = [c.285]

В предшествующих разделах было показано, что средняя энергия гармонического осциллятора при температуре Т имеет значение кТ при высокой температуре, благодаря чему кТ больше, чем ку, т. е. больше разности энергий соседних энергетических уровней. [c.333]

Рассматривая совокупность колебательных степеней свободы многокомпонентной смеси (СО2, СО, О2, N2) как ансамбль гармонических осцилляторов, можно получить [8] систему релаксационных уравнений для средних энергий колебательных степеней [c.199]

Здесь следует отметить, что, в соответствии с вириальной теоремой (Ландау, Лифшиц, 1958), среднее значение потенциальной энергии гармонического осциллятора равно среднему значению кинетической [c.62]

Совокупность ЪМ связанных осцилляторов можно формально описать как совокупность ЗМ независимых одномерных гармонических осцилляторов, частоты которых носят название собственных частот. Энергия отдельного осциллятора опишется выражением типа ад - - при классическом и выражением (11.7) при квантовом описании. Средняя энергия классического гармонического осциллятора составляет кТ, что дает для кристалла Екол = ЗЫкТ и [c.184]

Причина обозначения частоты как уо вскоре станет очевидной.) Заметим, что при п = О колебательная энергия все же отличается от нуля и равна /гуо/2. Эта величина называется энергией нулевых колебаний. Физический смысл этой энергии заключается в том, что квантовомеханический гармонический осциллятор никогда не находится в покое, а всегда колеблется по крайней мере с энергией нулевых колебаний. (Если бы осциллятор находился в покое, то это означало бы нарущение принципа неопределенности. При таком состоянии положение и импульс осциллятора были бы одновременно точно известны.) Применительно к двухатомной колекуле рассмотренная теория позволяет сделать вывод, что существование фиксированного, строго определенного межъядерного расстояния между ее атомами, строго говоря, невозможно. То, что называется межъ-ядерным расстоянием, на самом деле представляет собой среднее расстояние между атомами. [c.83]

Этот пыпод основан на предположении, что один из осцилляторов представляет собой слабую связь, которая разорвется, когда приобретет энергию Е. Для молекулы, состоящей из п слабо связанных гармонических осцилляторов, вероятность того, что у молекулы с энергией Е по крайней мере Е ес будет локализована на одном осцилляторе, дается выражением (1 — E EУ - . Предполагается, что константа скорости к (Е) пропорциональна этому отношению, причем коэффициент пропорциональности А есть средняя скорость внутренних переходов энергии в молекуле. Эти предположения могут быть оправданы как для классической так и для квантовой модели молекулы. [c.199]

Частицы, находящиеся в узлах кристаллической решетки (атомы, ионы или молекулы), не неподвижны. Они совершают колебания, которые приближенно можно рассматривать как колебания гармонического осциллятора. Решетка, таким образом, интерпретируется как система осцилляторов. Отсюда сразу получается вывод, что энергия одной частицы должна равняться ЗкТ. Действительно, средняя кинетическая энергия гармонического осциллятора равна его средней потенциальной энергии. Частица в кристалле обладает тремя степенями свободы и на каждую приходится кинетическая энергия /зкТ, всего ЬТ. Такое же значение имеет и потенциальная энергия. Полная энергия частицы равна поэтому сумме 12ЬТ+ 1чкТ—ЪкТ. Умножая на постоянную Авогадро, получаем дкМТ=дНТ, Т. е. энергия в расчете на моль равна ЗЯТ. Производная энергии по температуре при постоянном объеме, т. е. Су = ЗЯ. Мы получили известный закон Дюлонга и Пти, согласно которому теплоемкость твердого тела равна приближенно ЗН, т. е. 25,08 Дж/моль. [c.273]

Если в группе X—Н заменить водород на дейтерий, то прн образовании водородной связи X—О...У происходят изменения частот и v аналогичные тем, которые наблюдаются для связи X—Н...У. Отношения к, =v /vP и для различных групп X—Н и X—О и связей X—Н... и X— ... почти не отличаются. Согласно И. Б. Рабиновичу для воды, спиртов, кислот и анилина к к =к обычно величина к лежит в интервале от 1,34 до 1,37. Уменьшение частоты Д валентных и увеличение частоты Д деформационных колебаний сопровождаются изменением энергии этих колебаний. В приближении гармонического осциллятора средняя энергия атомных колебаний, имеющих частоту ш — 2лv, равна [c.67]

Простейшим устройством, При помощи кото рого можно создать электромагнитные волны определенной длины, являются два атома, имеющие положительный и отрицательный электрические заряды, связанные упругими силами так, что они могут совершать колебания. Такой гармонический осциллятор сможет испускать и поглощать излучение. Для того чтобы имело место излучение абсолютно черного тела, нужно вдоль стенки, ограничивающей объем, поместить большое количество таких осцилляторов с различными частотами. Согласно закону равного распределения энергии, который был получен в статистической механике, следует ожидать, что осцилляторы для каждой дли-ньи волиы имеют в среднем при определенной температуре одинаковое количество энергии, а именно кТ 2 на каждую степень свободы. [c.452]

Относительно легко можно получить выражение для среднеквадратичявЯ амплитуды колебаний гармонического осциллятора следующим путем. Средняя энергия такого осциллятора задается уравнением [c.137]

Подстановка этих выражений в кинетическое уравнение (12.6) приводит к системе уравнений, допускающих аналитическое решение. Иссле-. дование решений для различных начальных распределений позволило получить общую картину релаксации. В частности, если начальное распределение задается больцмановской функцией с некоторой температурой Т Го> то это распределение релаксирует к равновесному больцманов-скому распределению через последовательность больцмановских распределений с температурой, зависящей от времени. Это свойство релаксации системы гармонических осцилляторов находит отражение также и в том, что релаксационное уравнение (12.15) выполняется для любых отклонений средней энергии от равновесной. Это уравнение справедливо не только в классическом (Йм к Г), но и в квантовом (Йсо к Г) рассмотрении (см. [334, 17 262, 43 175, стр. 121]). Выражая < (Д ) > через среднее значение колебательного квантового числа v [Т) [c.142]

Рассмотрим гетеронуклеарную (состоящую из разных атомов) двухатомную молекулу АВ. Мсжъядеряое расстояние в ней не является фиксированным, а представляет собой периодическую функцию времени. Это означает, что ядра колеблются так, что межъядерное расстояние периодически изменяется (вокруг равновесного или среднего значения) с частотой, которую можно выразить в циклах в секунду. Такие колебания имеют, как правило, небольшую амплитуду, и в хорошем приближении их можно считать гармоническими. Квантовая механика показывает, что энергия и частота гармонического осциллятора связаны следующим соотношением [c.281]

В большинстве случаев это будет противоречить правилу сохранения углового момента. Если правило сохранения углового момента учитывается путем использования отдельных центробежных вращательных барьеров [113], то значение Рг будет лежать между единицей и величиной, определяемой выражением (1.79). Значение Рг в некоторых случаях может быть значительно больше 1, и им нельзя пренебрегать. Этот вопрос недавно обсуждался в работе [104а]. Поправки к уравнению (1.77), обусловленные ангармоничностью колебаний молекулы, которая состоит из осциллятора Морзе, связанного с з — 1 гармоническими осцилляторами, определяются коэффициентом ангармоничности Ранг (5—1)/(5—1,5). Существенные поправки на ангармоничность ожидаются только в отношении двухатомных молекул. В многоатомных молекулах средняя энергия осциллятора мала, даже если общая энергия молекулы превосходит величину Ео, и уменьшается с ростом . Следовательно, в этих случаях поправки на ангармоничность меньше. [c.81]

Как и для дипольных моментов, изотопный эффект в величине средней потенциальной энергии может появиться за счет линейного члена только в том случае, если НХ — ангармонический осшллятор. Квадратичный член будет приводить к появлению изотопного эффекта для гармонического осциллятора за счет среднеквадратичной амплитуды, величина которой для ВХ всегда меньше, чем для НХ. Примерно в такой же степени квадратичный член будет оказывать влияние и в случае ангармонического осциллятора. Члены более высоких степеней здесь по-прежнему не будут приниматься в расчет, хотя, конечно, их можно было бы учесть точно таким же образом. [c.116]

Приведенные выше методы вычислений и конкретные выражения для Ж (е) и О (е) относятся к системе гармонических осцилляторов. Вследствие ангармонизма, присущего всем молекулярным колебаниям, фактическая плотность уровней 2 (е) отличается от вычисленной в гармоническом приближении, причем тем сильнее, чем больше энергия колебаний. Ангармонические поправки, связанные с различными колебательными модами и степенью их возбуждения, могут быть разного знака, но в целом вследствие увеличения среднего размера молекулы с ростом энергии 2 (е) > О (е)гарм- Ангармонизм молекулярных колебаний при является достаточным для того, чтобы даже при малом [c.102]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология