Эйнштейна модель кристалла

Теории Эйнштейна и Дебая. Метод, который по существу лучше всего подходит для обработки реальных кристаллических веществ, развит Борном и Карманом [74], хотя Раманом [564, 565] был предложен еще один очень интересный метод. В связи с большой математической сложностью этих двух приближений при практических расчетах чаще пользуются более простыми, идеализированными моделями. Исторически Эйнштейн [174] первым предложил метод рассмотрения квантовых свойств одноатомных кристаллов. В его приближении атомы в кристалле рассматриваются как независимые осцилляторы с одной и той же частотой. Эти осцилляторы могут приобретать только определенные количества, или кванты, энергии hv, где к — постоянная Планка, а V — частота осциллятора. На этом основании было выведено известное выражение Эйнштейна для теплоемкости [c.55]

Квантовая теория теплоемкости Эйнштейна. В 1907 г. Эйнштейн впервые применил квантовую теорию для описания колебаний атомов в кристалле. В модели, которую рассматривал Эйнштейн, предполагается, что все атомы твердого тела колеблются независимо друг от друга около своих положений равновесия с одной и той же частотой ломаке- Это дает возможность систему из N атомов заменить для теоретического рассмотрения системой из ЗЛ независимых одномерных гармонических осцилляторов. Основой успеха теории Эйнштейна явилось сделанное им предположение о том, что энергия, сообщенная телу, распределяется между осцилляторами целыми квантами, в связи с чем он применил выражение Планка для средней энергии осциллятора к тепловым колебаниям. [c.70]

Наиболее простой является модель Эйнштейна, согласно которой все ЗМ частот колебаний кристалла принимают одинаковыми. В этом случае сумма по состояниям приобретает вид произведения ЗМ одинаковых сомножителей, и, например, теплоемкость оказывается равной [c.228]

Теория теплоемкости Эйнштейна. Эйнштейн впервые применил квантовую теорию для описания колебаний атомов в кристалле. В модели, которую рассматривал Эйнштейн, предполагается, что колебания атомов в кристалле независимы друг от друга и происходят с одинаковой частотой V. Формулы (XII.34) и (XII.35) для такой модели принимают вид [c.323]

В 1907 г. Эйнштейн [375], рассмотрев модель одноатомного кристалла, состоящего из п атомов, как систему Зга независимых осцилляторов, колеблющихся в трех взаимно перпендикулярных направлениях с одинаковой для всех частиц гармонической частотой V, получил следующее выражение зависимости теплоемкости при постоянном объеме от температуры [c.39]

В модели Эйнштейна принималось, что в кристалле имеется 3 Л д колебательных степеней свободы. Из-за большой величины этого числа невозможно точно просуммировать все компоненты энергии колебаний поэтому приходится перейти от суммирования к интегрированию. [c.62]

Изобарный потенциал бездефектного кристалла в рамках модели Эйнштейна записывается в виде [c.59]

Теоретический вывод зависимости теплоемкости от температуры мог быть сделан до настоящего времени только для упрощенной модели кристаллического состояния. Он основан на допущении, что вся теплота, поглощаемая кристаллом при нагревании его при постоянном объеме, расходуется только на усиление колебательного движения атомов, образующих кристалл, и что эти колебания являются гармоническими и происходят с некоторой характеристической частотой v. Принимая далее, что поглощение энергии кристаллом может происходить только целыми квантами Av, Эйнштейн получил следующее выражение для зависимости энергии 1 моль кристалла от температуры [c.207]

Самым простым из возможных приближений является модель Эйнштейна, согласно которой всем колебаниям в кристалле приписывается одна частота Ш , так называемая частота Эйнштейна (функция ((о) в этом случае оказывается 5-функцией Дирака с интегралом, равным 3). Уравнение (2.14) при этом переходит в уравнение вида [c.97]

Другая широко используемая модель колебательной структуры твердого тела, хотя и несколько более сложная, чем рассмотренная модель Эйнштейна, была предложена П. Дебаем. В этой модели постулируются постоянство и изотропность скорости звука в кристалле для любых частот колебаний (твердое тело при этом считается непрерывным объектом). Как бьшо отмечено ранее, условие постоянства скорости звука действительно выполняется для низкочастотной части спектра, поэтому можно ожидать хорошей применимости модели Дебая для описания колебательного вклада в термодинамические функции при низких температурах, где модель Эйнштейна не работает. Дисперсионная кривая в рассматриваемом случае задается формулой 0) = дХ(к — средняя (по продольной и поперечным модам) скорость звука), а расчет плотности состояний по уравнению (2.9) с учетом наличия трех акустических ветвей дисперсионной кривой дает [c.99]

Модель Эйнштейна совершенно нереалистична для одноатомного вещества, так как в нем атомы удерживаются в (Положении равновесия только благодаря взаимодействию с окружающими атомами и, следовательно, не могут колебаться независимо друг от друга. Однако она имеет некоторый смысл для молекулярных кристаллов, где внутренние коле- бания разных молекул можно считать независимыми. Эти колебания должны давать вклад эйнштейновского типа в свободную энергию. Вклады же внешних молекулярных колебаний, заьисяш,иА От взаимидействии молекул, не могут быть правильно описаны моделью Эйнштейна. [c.182]

Модель Дебая. Значительно лучшее согласие с опытом дает теория П. Дебая (1912 г.). В ней, как и в теории Эйнштейна, предполагается, что N атомов кристалла должны иметь 3N колебательных мод, фононы подчиняются распределению Планка (5.15) и их средняя энергия может быть представлена соотношением (5.14). Важные дополнения к теории Эйнштейна состоят в том, что Дебай предположил [c.100]

Вместе с тем, последнее, с нашей точки зрения, ие дискредитирует квазигармоническую модель, которая с успехом была применена, например, в работе Варшела и Лифсона [71] (стр. 192). Причина расхождений расчета и опыта при использовании дебаевского приближения, очевидно, кроется в недостаточйости этого приближения для описания движения молекул в кристаллах и, в первую очередь, для описания либрационных колебаний. Обращает на -себя внимание тот факт, что Крукшенк [128], который учиты/вал вклад либрации молекул с помощью модели Эйнштейна, добился лучшего совпадения с экспериментом. [c.190]

Здесь vp и V — собственные частоты колебаний совершенного и дефектного кристаллов, суммирование производится по всем видам колебаний. Для модели кристалла по Эйнштейну "в случае кристалла типа Na l молярная энтропия образования де- [c.210]

Системы со многими степенями свободы, кратные корни (повторение). Использование симметрии для отыскания формы и частоты колебаний. Введение в теорию кристаллических решеток. Квантовая теория теплоемкости кристаллов. Работа Эйнштейна. Приближенный прием Дебая. Решение дискретной задачи Борном и Карманом. Одномерная модель кристалла, состоящего из двух сортов атомов. Дебаевский и борноеский [c.289]

Колебания атомов в каждой из молекул хорошо описываются моделью Эйнштейна, которую можно несколько усовершенствовать. Поскольку каждая из молекул не изолирована от своих соседей, к молекулярным колебаниям естественно применить рассуждения, изложенные при описании экситона Френкеля. Колебания, распространяюш иеся по кристаллу, часто так и называют — экситонами, а иногда им присваивают особое наименование — оптические колебания. Некоторые (но не все ) из них проявляют себя в оптических свойствах кристаллов. Этому все, кроме описанных выше акустических, колебания и обязаны своим названием. [c.300]

В 1912 г. Дебай [315] и независимо Борн и Карман [147] получили новое теоретическое выражение зависимости теплоемкости от температуры, лучше описывающее экспериментальные значения теплоемкостей при низких температурах, чем уравнение Эйнштейна. В своей модели Дебай рассматривал одноатомный изотропный кристалл как некоторый упругий континуум, состоящий из набора Зге осцилляторов, характеризующихся определенным спектрод частот, ограниченным некоторой максимальной частотой Vпlax Используя теорию колебаний, Дебай получил следующее выражение для теплоемкости упругого твердого кристалла нри постоянном объеме [c.40]

При вычислении теплоемкости кристаллов Эйнштейн в 1907 г. ввел в очень упрощенной форме понятие квантования. Он рассмотрел кристалл, в мотив которого входит только один атом, и все такие мотивы принял за трехмерные изотропные гармонические осцилляторы с одной и той же частотой. Дебай (1912 г.) исследовал аналогичную кристаллическую модель, но с учетом взаимных влияний N атомов. Поэтому ему пришлось рассматривать упругий спектр, состоящий из ЗЫ частот, распределение которых он считал непрерывным. Исходя из линейной модели, но с мотивом, состоящим из двух частиц с разными массами, Борн и фон Карман (1912 г.) установили, что упругий спектр состоит из двух частей, различающихся зависимостью от длины волны акустические частоты при больших длинах волн стремятся к нулю, а оптические увеличиваются и сохраняют свои повышенные значения. Математический аппарат, необходимый для анализа колебат1Й трехмерных решеток, более сложен, но результаты, к которым он приводит, в основном те же. Результаты такого анализа, проведенного Борном в книге [2], позволили связать между собой упругие, термодинамические и оптические свойства. Оптические частоты были отождествлены с частотами полос поглощения в инфракрасных спектрах кристаллов. Поря- [c.8]

В пределе при высоких температурах (Г> 0 ) уравнение (2.19) переходит в предсказываемое теоремой классической механики о равнораспределении и наблюдаемое экспериментально выражение С /= 3rNk (так называемый закон Дюлонга —Пти). Для низкотемпературного предела модель Эйнштейна предсказывает снижение теплоемкости с понижением температуры, которое также наблюдается экспериментально, но оказывается при этом значительно более медленным (степенным вместо предсказываемого экспоненциального). Для средних температур (Т в ) часто наблюдается очень хорошее согласие результатов расчета по формуле (2.19) с экспериментом, особенно если рассматривать 0 как параметр, подлежащий опытному определению. Такие результаты сопоставления модели Эйнштейна с экспериментом вполне понятны. При высоких температурах, когда выполняется теорема о равнораспределении, теплоемкость и внутренняя энергия совершенно нечувствительны к виду частотного спектра, а определяются только общим числом осцилляторов, каждый из которых находится в возбужденном состоянии. При низких температурах тепловой энергии не хватает для возбуждения осцилляторов с частотой (u , и колебания в кристалле согласно модели Эйнштейна оказываются замороженными . В то время как в действительности (см. формулу (2.7)) частотный спектр макроскопического кристалла практически непрерывен, начиная от температуры О К, и при любой достижимой температуре реализуются возбужденные низкочастотные колебания. При температурах, близких к 0 , реальный спектр возбужденных осцилляторов кристаллического твердого тела, характеризуемый наличием довольно острых пиков (например, при частоте oi рис. 2.1), оказывается в значительной мере сходным с постулированным в модели Эйнштейна. [c.98]

Как отмечалось выще, показателем выполнения положений модели Дебая может служить близость значений температур Дебая, рассчитанных по теплоемкости и по скорости звука. Для многих кристаллов с существенным различием этих температур теплоемкость и внутренняя энергия тем не менее могут хорошо описываться формулами (2.29) и (2.28), но при этом температура Дебая может рассматриваться только как подгоночный параметр. Вместе с тем, как отмечалось ранее, расчет по модели Эйнштейна при некотором специально подобранном значении частоты Эйнштейна (для широкого интервала температур), равном средней частоте в модели Дебая (со = 0,75сод), может дать для теплоемкости практически тот же результат (рис. 2.2), за исключением области низких температур, где модель Эйнштейна дает принципиально неправильный ход температурной зависимости теплоемкости и внутренней энергии. Отсюда следует, что для рассмотрения колебательных вкладов в термодинамические функции кристаллов при средних и высоких температурах вполне может быть использована и более простая модель Эйнштейна. [c.102]

Модель Эйнштейна нереалистична, поскольку фононы в кристалле могут иметь различные энергетические состояния и, соответственно, различные частоты. Интересно, однако, отметить близкое совпадение расчетных результатов по теории Эйнштейна с экспериментальным значением по теплоемкости алмаза при не слишком низких температурах. Дело в том, что в алмазе, обла-даюшем элементарной ячейкой с двумя атомами в базисе, помимо акустических, сушествуют ветви высокочастотных и высокоэнер-гетичных оптических фононов, которые возбуждаются при высоких температурах. Их частоты слабо зависят от длины волны, и некоторое значение подобранной частоты oje оказывается близким к реальной фононной частоте. Следовательно, модель теплоемкости Эйнштейна условно применима в этом случае. Для кристаллов с одним атомом в элементарной ячейке модель Эйнштейна дает только качественное согласие. Однако для развития физики модель Эйнштейна имела огромное значение, поскольку квантовая теория доказала свою состоятельность там, где были бессильны классические представления. [c.100]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология