Метод неопределенных множителей

Метод неопределенных множителей Лагранжа [c.5]

Классические методы решения экстремальных задач. К числу классических математических методов определения экстремума функции многих переменных относятся 1) метод поиска оптимума путем решения системы нелинейных уравнений, полученных при приравнивании нулю частных производных минимизируемой функции по оптимизируемым параметрам 2) метод неопределенных множителей Лагранжа. В математическом плане оба метода достаточно хорошо известны, поэтому основ- [c.122]

Поскольку общая методика решения задачи оптимального поэлементного резервирования ХТС состоит в том, что неравенства для ограничений (8.2) или (8.6) заменяют равенствами, а затем проводят поиск минимума или максимума КЭ, то для поиска экстремума КЭ (8.1) или (8.5) можно применить метод неопределенных множителей Лагранжа. Идея метода заключается в следующем. [c.208]

Модификацией метода простого перебора является метод динамического программирования, сущность которого изложена в разделе 8.2.4. Показано [231, 237], что этот метод чрезвычайно точен, поскольку его применение позволяет рассматривать все возможные решения. Однако к недостаткам указанного метода следует отнести то, что он весьма трудоемок и требует большого объема памяти ЭВМ. В связи с этим рекомендуют [237] комбинировать менее точные, но более простые методы неопределенных множителей Лагранжа и наискорейшего спуска с методом динамического программирования при получении нецелочисленного решения для оптимального вектора состава поэлементного резерва— применять метод неопределенных мно- кителей Лагранжа, при получении целочисленного решения из нецелочисленного округлением — воспользоваться методом динамического программирования. [c.207]

Получим теперь соотношения, к которым приводит применение метода неопределенных множителей Лагранжа (см. стр. 176), Рассматривая у )авнение (УП,544) как ограничение типа равенств, со- [c.408]

Для решения этой задачи можно воспользоваться методом неопределенных множителей Лагранжа (стр. 139). Составляя вспомогательную функцию [c.537]

Основной недостаток метода штрафных функций—трудности, которые возникают в вычислительном процессе, когда параметры приближаются к предельным значениям. Это обусловлено появлением разрывов непрерывности вблизи границы допустимой области и связанной с ними плохой обусловленности гессиана целевой функции. Для устранения этого недостатка оказывается полезно комбинировать метод штрафных функций с методом неопределенных множителей Лагранжа. Новый метод получил название метода модг-фицированной, или расширенной функции Лагранжа. [c.215]

Для поиска экстремума простых дифференцируемых функций, когда на переменные наложены условия типа равенств, часто используют метод неопределенных множителей Лагранжа- Если переменные связаны условиями [c.178]

Для решения указанной задачи оптимизации можно применить метод неопределенных множителей Лагранжа. [c.108]

Метод неопределенных множителей Лагранжа, который подробно рассмотрен в разделе 8.2.2, прост и удобен для решения задач оптимизации резервирования ХТС с использованием ЭВх 1. Однако он имеет следующие существенные недостатки. Во-первых, в процессе решения как прямой, так и обратной задачи оптимизации резервирования могут получиться нецелочисленные значения Х1. Поэтому возникает необходимость округления этих значений до ближайших целых чисел. При таком округлении возможны многочисленные варианты составов поэлементного резерва ХТС, перебор которых для выявления наилучшего варианта оказывается трудоемким процессом, требующим больших затрат времени [126, 237]. [c.205]

Рассмотрим применение метода неопределенных множителей Лагранжа к решению обратной задачи оптимального резервирования ХТС. При поиске решения обратной задачи ограничение [c.212]

Метод неопределенных множителей Лагранжа прост и удобен для реализации на современных ЦВМ, но имеет ряд существенных недостатков. В связи с этим предложен [126] улучшенный в отношении скорости приближения к экстремуму КЭ модифицированный метод. Данный метод является параметрическим обобщением метода неопределенных множителей Лагранжа для случая дискретных переменных [126]. [c.214]

Для решения экстремальной задачи уровня Л,- — задачи определения оптимального варианта резерва ХТС — используют метод неопределенных множителей Лагранжа (см. раздел 8.2.2). [c.226]

Минимизация проводится с учетом уравнений (У-74), играющих роль ограничений типа равенств. Эта задача может быть решена методом неопределенных множителей Лагранжа. [c.132]

Решение поставленной изопериметрической вариационной задачи (П.1.1) —(П.1.4) будем искать методом неопределенных множителей Лагранжа. Выбираем функцию Лагранжа в виде [c.224]

Такую экстремальную задачу с дополнительными условиями можно решить методом неопределенных множителей Лагранжа. Умножим дополнительное условие (27.3) на неопределенный, но постоянный коэффициент (27.4) на 2 и (27.5) на Лз . Затем вычтем эти уравнения из (27.2). Используя (27.1), получим [c.140]

Используем вновь метод неопределенных множителей Лагранжа . Умножим первое дополнительное условие [c.251]

Наиболее распространенным методом учета дополнительных условий такого вида является метод неопределенных множителей Лагранжа. Пусть Р,Я = 1,2,. .., N есть набор некоторых комплексных чисел, [c.45]

Метод неопределенных множителей Лагранжа при решении подобных задач состоит в следующем. Умножим второе из уравнений (VII. 14) на —а, а третье на —р и сложим. Тогда условие экстремума для 1пР приобретает вид [c.202]

Нахождение условного экстремума функции методом неопределенных множителей Лагранжа приводит к равенствам [c.112]

С помощью метода неопределенных множителей Лагранжа получим [c.117]

Условие равновесия в такой системе характеризуется максимумом вероятности состояния или максимумом энтропии. Таким образом, задача наиболее вероятного распределения молекул сводится к отысканию максимума функции 5 при дополнительных условиях (УП1.4). Это задача на относительный максимум, которую можно решить методом неопределенных множителей Лагранжа. [c.217]

Для решения задачи I уровня оптимизации—для определения оптимального варианта поэлементного резервирования — используется метод неопределенных множителей Лагранжа, отличающийся от других возможных методов (наискорейшего спуска, динамического программирования и других) сравнительной простотой реализации на ЭВМ. Для решения задачи II уровня оптимизации— выбора оптимальной величины надежности БТС — применяется метод сканирования по ряду предварительно задаваемых значений надежности системы. Математической моделью, устанавливающей влияние изменений в технологической топологии БТС за счет ввода резервных элементов на величину ее надежности, является параметрический граф надежности (п. г. н.) [c.174]

Применение метода неопределенных множителей Лагранжа после ряда промежуточных преобразований позволяет иолучить для первого приближения состав оптимального резервирования системы [c.174]

Для решения экстремальных задач с такими ограничениями в классическом анализе разработан и используется метод неопределенных множителей Лагранжа [1], сводящий задачу с ограничениями к обычной экстремальной задаче без ограничений, что позволяет применить для ее решения приемы, рассмотренные в главе III. В этом смысле настоящая глава является логическим продолжением предыдущей. Метод же множителей Лагранжа дает возможность иногда использовать более эффективные приемы, ведущие к решению исходной оптимальной задачи. [c.148]

Практически часто бывает трудно, а иногда и вообще невозможно аналитически решить систему уравнений (IV, 2) относительно некоторых переменных, т. е. представить ее в виде соотношений (IV, 3). Поэтому для решения задач отыскания экстремума функции многих переменных (IV, 1) с ограничениями на независимые переменные (IV, 2) обычно используют метод неопределенных множителей Лагранжа, вывод основных соотношений которого рассмотрен ниже. [c.149]

Метод неопределенных множителей можно с успехом использовать в задачах оптимизации многостадийных процессов с сосредоточенными параметрами, т. е. процессов, описываемых системами конечных уравнений. В качестве иллюстрации приведем многостадийный процесс, схематическое изображение которого показано на рис, IV-2. [c.163]

Основная идея в применении метода неопределенных множителей для оптимизации рассмотренного выше многостадийного процесса состоит в том, что при решении задачи оптимизации соотношения (IV, 90), характеризующие связь входных и выходных параметров и управляющих воздействий на всех стадиях процесса, принимаются как ограничивающие условия, имеющие вид равенств, наложенные на переменные процесса д , часть из которых входит в выражение критерия оптимальности (IV, 88). Это, в свою очередь, позволяет использовать для решения оптимальной задачи математический аппарат метода неопределенных множителей Лагранжа (см. стр. 148). [c.165]

В случае решения задач оптимизации многостадийных процессов с сосредоточенными параметрами при применении метода неопределенных множителей наилучший способ не всегда заключается в решении общей системы уравнений (IV, 90), (IV, 92) — (IV, 94). Иногда, используя особенности математического описания оптимизируемого процесса, можно уменьшить порядок решаемой системы за счет соответствующих предварительных преобразований уравнений математического описания и сокращения числа вводимых неопределенных множителей. [c.169]

Именно в этом п состоят нанболсе слабые стороны метода неопределенных множителе Лагранжа нрн е10 использовании для решения оптимальных задач, так как этот метод всегда дает лишь т.еобходпмые, но еще недостаточные условия о1ттпмальности. Более того, как показано ниже (см. главу VII), для целого ряда задач оитимальпые условия вообще нельзя найти при применении выражений (IV,216). [c.181]

Эти же результаты были получены выше при примеиеиии метода неопределенных множителей Лагранжа (сгр. 168). [c.275]

При т=1 задача не нмеет решения при т> (рис. 3.7) это задача на условный экстремум, которая может быть решена, на зрнмер, методом неопределенных множителей Лагранжа. Так [c.189]

Для поиска решений основных задач оптимального поэлементного резервирования ХТС используют следующие методы метод простого перебора [231], метод неопределенных множителей Лангранжа [7, 126, 231, 236, 237], градиентный метод (метод нанскорейшего спуска) [7, 126, 237], метод максимального элемента [238] и метод динамического программирования [231, 236, 237, 239]. [c.205]

Метод максимального элемента имеет преимущества по сравнению с другими методами оптимизации, применяемыми для определения оптимального состава резерва ХТС (например, метод неопределенных множителей Лагранжа, градиентный метод и др.), так как позволяет декомпозировать задачу поиска опти- [c.228]

Функция желательности. Задачу оптимизации процессов, ха-ракгеризующихся несколькими откликами, обычно сводят к задаче оптимизации по одному критерию с ограничениями в виде равенств или неравенств. В зависимости от вида поверхности отклика и ха-ракгера ограничений для оптимизации предлагается использовать методы неопределенных множителей Лагранжа, линейного и нелинейного программирования, ридж-анализ [10] и др. К недостаткам этих способов решения задачи оптимизации следует отнести вычислительные трудности. В частности, при описании поверхности отклика полиномами второго порядка решение задачи на условный экстремум с применением неопределенных множителей Лагранжа приводит к необходимости решать систему нелинейных уравнений. Поэтому одним из наиболее удачных способов решения задачи оптимизации процессов с большим количеством откликов является использование предложенной Харрингтоном [23] в качестве обобщенного критерия оптимизации так называемой обобщенной функции желательности О. Для построения обобщенной функции желательности О предлагается преобразовать измеренные значения от- [c.207]

В зависимости от способа минимизации штрафных функций МАВ или МП вычислительные методы идентификации делятся на две группы прямые и косвенные. Первую группу составляют методы непосредственной минимизации штрафной функции на каждом шаге интервала наблюдения. К ним относится градиентный метод и его многочисленные модификации, метод стохастической аппроксимации и др. Второй подход к решению задачи идентификации состоит в применении принципов теории оптимального управления на каждом шаге итерации. В частности, для минимизации штрафных функций применяется принцип максимума Понтрягина, метод неопределенных множителей Лагранжа и др. При этом соответствуюш ая система канонических уравнений с необходимыми граничными условиями образует характерную нелинейную двухточечную (начало и конец интервала наблюдения) краевую задачу (ДТКЗ), решение которой представляет искомую оценку для заданного интервала наблюдения. Вычислительные методы решения указанной ДТКЗ образуют группу так называемых непрямых вычислительных методов решения задач идентификации. К ним можно отнести метод квазилинеаризации, метод инвариантного погружения, метод прогонки и др. [c.494]

В настоящее время отсутствует общепринятая классифика-пия методов поиска экстремума нелинейной функции многих переменных. Обычно в качестве отдельной группы выделяют методы, разработанные в классической математике метод поиска оптимума путем решения системы нелинейных уравнений, полученных при приравнивании нулю частных производных исследуемой функции по оптимизируемым параметрам, и метод неопределенных множителей Лагранжа. Эти методы позволяют решать задачи поиска оптимума нелинейной функции многих переменных только при отсутствии ограничений на оптимизируемые параметры или при ограничениях в виде равенств. Поэтому указанные методы нельзя относить к методам нелинейного математического программирования. [c.121]

Вариацио1игый метод решения таких задач давно разработан в математике. Им является метод неопределенных множителей Лагранжа. [c.199]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология