Уравнение Чепмена Колмогорова

Уравнение Чепмена — Колмогорова 84 [c.1]

УРАВНЕНИЕ ЧЕПМЕНА - КОЛМОГОРОВА [c.84]

Упражнение. Уравнение Чепмена — Колмогорова (4.2.1) утверждает, что процесс, имеющий начальное значение 1/, в момент / i, достигает значения уз в момент /3 через любое из возможных значений у в промежуточный момент времени В каком месте марковское свойство входит в уравнение Упражнение. Предположим, что решение уравнения Чепмена—Колмогорова известно и мы хотим его использовать для построения марковского процесса. Как это можно сделать и какой свободой при этом мы еще обладаем [c.84]

Остальные четыре имеют нулевую вероятность. Покажите, что этот процесс удовлетворяет уравнению Чепмена — Колмогорова, но не является марковским . [c.85]

Это дифференциальная запись уравнения Чепмена — Колмогорова, справедливая для вероятности перехода любого стационарного марковского процесса, удовлетворяющего соотношению (5.1.1) ее называют основным кинетическим уравнением. [c.101]

Упражнение. Проверьте с помощью непосредственного вычисления, что (4.6.5) удовлетворяет уравнению Чепмена — Колмогорова. [c.100]

Основное кинетическое уравнение представляет собой разновидность уравнения Чепмена — Колмогорова для марковских процессов, но оно проще в обращении и более тесно связано с физикой. Оно станет основным стержнем большей части книги. [c.100]

Рассмотрим марковский процесс, который для удобства выберем однородным, так что матрицу перехода можно написать в виде Т -Уравнение Чепмена—Колмогорова (4.3.2) представляет собой функциональное соотношение для Т , с которым довольно трудно работать в реальных приложениях. Основное кинетическое уравнение оказывается более удобным видом того же самого уравнения. Оно является дифференциальным уравнением, полученным в результате предельного перехода, когда разность времен т стремится к нулю. Чтобы выполнить предельный переход, необходимо сначала выяснить, как ведет себя Тх при стремлении т к нулю. В предыдущем разделе мы показали, что Тг-((/21 уО при малых т имеет вид [c.100]

Это следует и из (4.3.8). Пока соотношение (5.1.1) мы примем на веру, но обещаем читателю продолжить обсуждение этого важного места в 10.1. Теперь подставим это выражение для Тт- в уравнение Чепмена — Колмогорова (4.3.2) [c.101]

Эта интерпретация основного кинетического уравнения означает, что оно играет совсем не такую роль, как уравнение Чепмена — Колмогорова, которое нелинейно и просто отражает марковский характер процесса, но не содержит информации о его специфических [c.102]

Наиболее общее эволюционное уравнение, которое может быть положено в основу описания перемешивания в дисперсных системах, связывающее условные вероятности, записанные для перемещения частицы друг с другом и удовлетворяющее постулату Маркова, — это уравнение Чепмена — Колмогорова в его интегро-дифференциальной форме [97, 109] [c.684]

Мы получили непрерывную форму уравнения Чепмена — Колмогорова. Его также называют допущением Маркова. Смысл последнего уравнения становится совершенно ясным, если рассмотреть более общее уравнение, из которого следует (2.203) (переменная в записи опущена) [c.105]

В силу этого равенства П не зависит от о Тогда уравнение Чепмена — Колмогорова примет вид [c.106]

Если это уравнение подставить в уравнение Чепмена — Колмогорова % = t, о = At) [c.107]

Уравнение Чепмена — Колмогорова, рассмотренное в этой главе, опять встретится нам в гл. IV в одном из выводов другого важного кинетического уравнения — уравнения Фоккера — Планка. [c.113]

Отсюда следует, что разложение подинтегрального выражения в (4.245) по переменной — А в окрестности I дает аппроксимацию уравнения Чепмена — Колмогорова, пригодную для газа, в котором преобладают столкновения дальнодействия. Чтобы пояснить эту ситуацию, рассмотрим криволинейный интеграл [c.246]

Уравнение (6.3.3) для вероятностей переходов обычно называют уравнением Чепмена — Колмогорова. Оно играет фундаментальную роль в теории марковских процессов, поскольку их исследование, как уже указывалось, можно свести к изучению функции [c.277]

В заключение заметим, что уравнение Паули, строго говоря, содержит описание на промежуточном уровне ме кду микро- и макроскопическим. Оно не инвариантно относительно обращения времени, и его решение стремится к некоему фиксированному равновесному распреде- иению. Это уравнение есть уравнение для вероятности распределения по различным состояниям. Эволюция системы описывается им как стохастический процесс. Это уравнение есть просто уравнение Чепмена—Колмогорова, а, следовательно, процесс считается марковским, т. е. уравнение Паули определяет вероятности в момент времени t > О, если они известны в момент времени i =0. Это, конечно, не детерминистическое описание в обычном смысле слова. [c.321]

Это соотношение называют уравнением Чепмена—Колмогорова. Этому тождеству должна удовлетворять вероятность перехода любого марковского процесса. Упорядочение по времени существенно t.2 лежит между и Уравнение, конечно же, справедливо и в том случае, когда у является вектором, имеющим г компонент, и в том, когда у принимает только дискретные значения, но интеграл в этом случае является суммой. [c.84]

Упражнение. -Запишите соотношение (4.2.3) в виде 2,<2-матрицы и сформулируйте уравнение Чепмена — Колмогорова как свойства этой матрицы. Упражнение. Пусть У (1) — процесс, в котором величина У принимает значения О, I, а / может иметь только три значения. Тогда существуют восемь выборочных функцнй. Из этих восьми мы приписываем вероятность 1/4 каждой из следующих четырех [c.85]

Упражнение. Как замечено в 4.1, марковский процесс с обращенным направлением времени также является марковским процессом. Постройте иерархию функцнй распределения для такого обращенного марковского процесса и убедитесь в том, что его вероятность пере.чода удовлетворяет уравнению Чепмена — Колмогорова. [c.87]

Основное кинетическое уравнение не только более удобно при математическом рассмотренни, чем исходное уравнение Чепмена — Колмогорова, но также имеет непосредственную физическую интерпретацию. Величины W у у ) или Wnn At являются вероятностями перехода в течение короткого времени. Поэтому их можно вычислить для заданной системы с помощью того или иного приближенного метода, применимого при малых временах. Самый известный из них—зависящая от времени теория возмущений Дирака, приводящая к золотому правилу Ферми [c.102]

Во второй главе рассматривается концепция ансамбля, уравнение Л иу вил ля и его решение, а также различные виды функций распределения. Здесь же дается представление о цепочке ББКГИ-уравнений и об уравнении Чепмена — Колмогорова. Большое внимание уделено анализу уравнения Лиувилля, проведенному Пригожиным. [c.6]

В самой обширной четвертой главе приводятся различные выводы уравнения Больцмана, начиная с выводов самого Больцмана, причем подчеркиваются все допущения, лежащие в основе вывода. Далее рассматриваются выводы уравнения Больцмана, которые даны Трэдом и Кирквудом. Еще раньше, в гл. III, коротко был намечен вывод уравнения Больцмана, вытекающий из анализа Боголюбова. Сопоставление и анализ всех этих выводов основного кинетического уравнения интересны и поучительны. В качестве следствий, вытекающих из уравнения Больцмана, рассматриваются гидродинамические уравнения сохранения, а затем <0-теорема Больцмана и условия равновесия, приводящие к распределению Максвелла. Далее приводятся некоторые обоснования релаксационного уравнения Крука — Бхатнагара — Гросса и подчеркивается его нелинейный характер. Рассматриваются столкновения при дальнодействующих потенциалах взаимодействия и дается вывод уравнения Фоккера — Планка из уравнения Больцмана и из уравнения Чепмена — Колмогорова. Показывается справедливость с -теоремы для уравнения Фоккера — Планка и дается представление о родственных кинетических уравнениях — уравнениях Ландау и Балеску — Ленарда. [c.6]

Основным предметом изучения в книге служат кинетические уравнения как часть более общей дисциплины — неравновесной статистической механики. В связи с этим показано, как ББКГИ-цепочка ведет к кинетическим уравнениям и как из последних следуют законы сохранения. Меньшая часть материала посвящена необратимости макроскопических систем и приближению к равновесию. Другая часть касается концепции напряжений и природы привносимых сюда вкладов кинетического и потенциального характера. Выясняется также различие между абсолютными и относительными гидродинамическими переменными. Включено обсуждение неадекватности конечных систем уравнений полному описанию явлений, происходящих в газе. Это отражается в ББКГИ-цепочке, любая подсистема уравнений которой содержит больше неизвестных, чем уравнений. На данном уровне описания этот недостаток преодолеть нельзя, и он вновь возникает в уравнениях гидродинамики. Именно в связи с этой ситуацией и вводятся коэффициенты переноса. Обсуждается также роль уравнений Чепмена — Колмогорова в теории кинетических уравнений, описывающих марковские процессы. [c.10]

Чаще встречается запись уравнения Чепмена — Колмогорова через интервалы т = — о и а = Йзменения в обозна- [c.106]

Исходным пунктом вывода этих двух уравнений является, как юбычно, уравнение Чепмена — Колмогорова, которое для парного процесса Xt, /<) имеет вид [c.326]

Легко проре >лгь, что для —оо у оо уравнение Чепмена— Колмогорова удоьлетворяется, если считать, что для имеет [c.85]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология