Устойчивость линейных систем

Строгая постановка задачи об устойчивости системы и метод ее решения впервые были даны А. М. Ляпуновым [11]. Его работы стали основой исследования устойчивости технических систем, в том числе и химических. Существенные результаты в исследовании устойчивости химических систем получены в работах [12— 14]. Если математическая модель кристаллизатора при нестационарном режиме состоит из линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными или переменными коэффициентами, то возможно применение хорошо разработанных методов анализа устойчивости линейных систем автоматического регулирования. Для устойчивости линейной системы k-то порядка необходимо и достаточно, чтобы все k корней ее характеристического уравнения [c.330]

Для устойчивости линейной системы /г-го порядка необходимо и достаточно, чтобы все п корней ее характеристического уравнения [c.506]

В приложении к линейным стационарным системам условие устойчивости сводится к тому, что все корни Xi, Xj, 7 характеристического уравнения, полученного по дифференциальному уравнению этой системы, имели отрицательные вещественные части или, что одно и то же, располагались на комплексной плоскости слева от мнимой оси. При выполнении условия устойчивости линейная система будет устойчива асимптотически, что непосредственно следует из решения ее дифференциального уравнения. Это решение у (t), определяющее значение регулируемой величины в зависимости от времени, является суммой частного решения у, (t) неоднородного дифференциального уравнения и общего решения у , (t) однородного Дифференциального уравнения [c.108]

При проектировании систем автоматического регулирования и управления часто необходимо выяснить влияние различных параметров на устойчивость системы. Эта задача может быть решена выполнением серии расчетов с использованием рассмотренных выше критериев устойчивости. Объем вычислений сокращается, если применить дополнительные методы, связанные с указанными критериями. Кроме того, с помощью таких методов можно получить более общие сведения о влиянии параметров системы на ее устойчивость. Рассмотрим метод, разработанный в 1948 г. Ю. И. Неймарком и названный О-разбиением пространства параметров. Этот метод является дальнейшим развитием решения задачи И. А. Вышнеградского, определившего еще в 1876 г. области устойчивости линейной системы третьего порядка. [c.121]

Мы сейчас получим выражение для спектральной плотности выхода устойчивой линейной системы, на вход которой подается стационарный процесс В том случае, когда на вход подается белый шум, выходной спектр является спектром стационарного линейного процесса [c.274]

Рассмотрим выходной процесс Х 1) устойчивой линейной системы с откликом на единичный импульс к и), когда входным процессом служит 2(г ). Из (5.2 8) ковариационная функция процесса Х 1) равна [c.274]

Устойчивость объектов управления. Передаточные функции. Система называется устойчивой тогда и только тогда, когда каждой ограниченной входной функции соответствует ограниченная функция на выходе. Можно показать, что необходимое и достаточное условие устойчивости линейной системы состоит в том, чтобы для всех I (С — некоторая постоянная) [c.23]

Критерий устойчивости линейной системы с постоянными параметрами связан напрямую с отсутствием полюсов функции Н(р) в правой полуплоскости переменной /> и на мнимой оси. Выходной сигнал связан с выходным в представлении их посредством преобразования Лапласа так [c.22]

В случае линейной системы величина ступенчатого возмущения не влияет на устойчивость системы. Для нелинейных же систем размер ступени может оказаться очень серьезным фактором устойчивости. [c.100]

Системами, асимптотически устойчивыми в целом, являются все линейные системы, обладающие одним устойчивым положением равновесия например, линейные системы второго и третьего порядков, положения равновесия которых являются устойчивыми узлами или фокусами (см. рис. 1-1, 1-2, 1-6, 1-7). [c.157]

Общее число степеней свободы, которыми обладает л-атом-ная молекула, равно 2>п, из которых три степени свободы (или две в случае линейной молекулы) характеризуют вращение молекулы и три степени свободы определяют поступательное движение молекулы в целом. Таким образом, общее число колебательных степеней свободы для системы, состоящей из п атомов, будет равно 2>п — 6 (для линейной системы — 2п — 5). Для активного комплекса это число на единицу меньше, так как одна из колебательных степеней свободы превращается в координату реакции. Колебание образовавшегося комплекса X — V — 2 вдоль валентных связей ведет к реакции распада. Это колебание заменяется движением комплекса X—V—2 особого рода, ведущим к образованию молекул 2 и X. Оно было описано выше и изображено на рис. V, 1 как путь реакции. Это движение рассматривается как вид поступательного движения активного комплекса. Понятия вращение и колебание в применении к активному комплексу не имеют обычного смысла, так как комплекс существует очень недолго. Эти понятия обозначают, что зависимость потенциальной и кинетической энергии системы атомов от координат и сопряженных с ними импульсов такая же, как и для устойчивых молекул. [c.143]

Для линейной системы с отрицательно определенной вариационной матрицей устойчивым является метод Павлова — Певзнера [61], в котором погрешность в вычислении матрицы с(т) может быть определена как бс = бс ехр (Лт) + ехр (Лт)бс и при т оо бс 0. Для нелинейных систем закон накопления ошибки определяется формулой [c.195]

Линейная система устойчива, если действительная часть всех ее собственных значений отрицательна. Такое определение неверно для линейных систем, где возможных форм решения бесконечно много тем не менее линеаризация может служить звеном между линейными и нелинейными системами, если она применяется с должным пониманием ограничений. Этот вопрос мы будем рассматривать в основном в гл. IV. [c.71]

При рассмотрении решения (VII, 7а) становится ясно, что устойчивость системы зависит от знака Так как уравнение (VII, 76) показывает, что все собственные значения являются действительными и отрицательными числами, стационарное состояние должно быть устойчивым независимо от выбранных начальных условий. Это следует из линейности системы (простой и довольно определенный случай). [c.157]

В случае устойчивой матрицы А ошибка будет нивелироваться за счет члена ехр (АЛ), т.е. такое решение линейной системы обладает свойством устойчивости. [c.146]

Из теории Эйнштейна следует, что разбавленные и устойчивые дисперсные системы являются ньютоновскими жидкостями, что их вязкость линейно связана с объемной долей дисперсной фазы и не зависит от дисперсности. [c.370]

В настоящее время число органических соединений превысило 4 млн., тогда как соединений всех остальных элементов во много раз меньше. Многочисленность органических соединений обусловлена главным образом исключительной способностью атомов углерода соединяться друг с другом, образуя устойчивые линейные и разветвленные цепи и циклы, а также с большинством элементов периодической системы (водородом, кислородом, азотом, галогенами, серой, фосфором, мышьяком, кремнием и др.). [c.13]

Трудность определения устойчивых состояний системы возрастает с увеличением числа независимых реакций. В такой системе имеется (и + 1 — т) зависимых переменных, которые могут быть выражены как линейные функции от (т — 1) концентраций компонентов и температуры. [c.210]

При наличии в замкнутой системе незатухающих колебаний С частотой (1)д и амплитудой Ад коэффициенты в уравнении (6.47) будут постоянными. В то же время из теории устойчивости линейных систем известно, что незатухающие колебания в системе с постоянными коэффициентами возникают при X = /со. Для этого случая, положив в уравнении (6.47) X = /со, а = с , со = соц, получаем [c.199]

Критерий В. М. Попова, приводимый здесь без доказательства, состоит в следующем. Для абсолютной устойчивости положения равновесия нелинейной системы автоматического регулирования, состоящей из нелинейного звена с характеристикой Р (и), удовлетворяющей условиям (6.58), и устойчивой линейной частью с передаточной функцией Wa (з), достаточно, чтобы при к > О существовало такое вещественное число что для всех со О выполнялось неравенство [c.202]

Понятие управляемости систем было сформулировано Р. Э. Калманом. Согласно этому понятию линейная система является полностью управляемой тогда и только тогда, когда она может быть переведена из любого начального состояния х (io), определяемого в произвольный момент времени io. в любое конечное состояние X ( ) за конечное время t — to- Следует обратить внимание на то, что для перевода линейной системы из любого состояния в начало координат фазового пространства за бесконечное время достаточно асимптотической устойчивости системы в целом, т. е. во всем фазовом пространстве. Таким образом, для управляемости линейной системы необходимо выполнение дополнительного условия, которое дается теоремой Р. Э. Калмана линейная стационарная непрерывная система [c.228]

Многополочные реакторы (рис. 4.26). Для анализа устойчивости многополочных реакторов был использован тот же метод, что и при исследовании более простой системы реактор - теплообменник . Был рассмотрен нестационарный режим в некоторой окрестности известного стационарного режима, описываемого линейной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, подобной [c.226]

В разд 5 2 2 отмечалось, что условие стационарности совпадает с условием устойчивости соответствующей линейной системы Поэтому условия (5 2 41) и (5 2 42) получаются из условий (2 3 38) и (2 3 20) [c.205]

Производная V будет отрицательно-определенной, если для матрицы А можно найти такую положительно-определенную матрицу Р, чтобы матрица О (IV, 18) также была положительно-определенной. Таким образом, для доказательства устойчивости линейной системы (IV, 12) необходимо построить две положительноопределенные матрицы Р и О. Если линейная система устойчива, то такие Р и О всегда существуют. [c.78]

Автоколебаниями называют еамоустанавливагощиеся незатухающие колебания, которые существуют в системе при отсутствии переменного внешнего воздействия, причем амплитуда и частота колебаний определяются свойствами самой системы. Этим автоколебания отличаются от вынужденных колебаний, частота и амплитуда которых непосредственно зависят от частоты и амплитуды внешнего воздействия. Амплитуда свободных незатухающих колебаний, возникающих в находящейся на границе устойчивости линейной системе, также зависит от внешнего воздействия. Автоколебания могут быть близки к гармоническим колебаниям при малых потерях энергии в системе. Прн большом рассеянии энергии в системе автоколебания по форме будут существенно отличаться от синусоидальных, превращаясь в релаксационные колебания. [c.172]

В других системах синхронизации (см. [12]) устройство с квадратичной характеристикой заменяется другими нелинейными устройствами, например перемножителями, и получается в основном такое же качество, как и при описанной выше системе. Следующее рассуждение показывает, почему линейная система не может быть использована для выделения сигналов синхронизации за полностью промодулированной несущей. Из периодичности сигнала синхронизации следует, что его энергетический спектр состоит только из дельта-функций. С другой стороны, энергетический спектр несущей, полностью промодулированной непериодическим случайным процессом, не содержит дель-та-фупкций, так как они соответствовали бы немодулированной части несущей. Любая устойчивая линейная система, применяемая для обработки такого сигнала, дает на выходе энергетический спектр, равный произведению энергетического спектра сигнала на входе и квадрата модуля передаточной функции линейной системы, причем ни то, ни другое не содержит дельта-функций. Таким образом, при выполнении линейного преобразования непериодического случайного процесса не может получиться процесс на выходе с периодической составляющей. С другой [c.357]

Один из возможных путей преодоления трудностей, возникающих в задачах оценки параметров состояния и идентификации объектов химической технологии, состоит в использовании аппарата статистической динамики, оперирующего с интегральными операторами и весовыми функциями исследуемых систем. Интегральная форма связц между входными и выходным сигналами через весовую функцию системы предпочтительна как с точки зрения устойчивости помехам, так и с точки зрения эффективности вычислительных процедур. Достоинство данного подхода к решению задач идентификации состоит также в том, что открывается возможность Широко использовать замечательные свойства аналитических случайных процессов при синтезе оптимальных операторов объектов с конечной памятью . Заметим, что требование линейности системы для реализации данной методики в незначительной мере снижает ее общность. Как следует из рассмотренного в главе Примера, эта методика применима для широкого класса нелинейных объектов химической технологии, если воспользоваться методом нелинейных преобразований случайных функций. Специфика нелинейных объектов в химической технологии такова, что практически почти всегда можно свести нелинейные дифференциальные операторы к линейным или квазилинейным интегральным операторам. Это достигается либо путем разложения решения нелинейного дифференциального уравнения по параметру, либо с помощг.ю специальной замены переменных. [c.495]

Нелинейная система уравнений (4.34) для каждого механизма зародышеобразования была линеаризована около стационарного состояния [ о, 1, 2> з]=П>0 1,0 1,0 1,0], и полученная система линейных уравнений использовалась для исследования устойчивости стационарного состояния [20]. Так, на рис. 4.4 указаны границы устойчивости для механизма зародыщеобразования, описываемого соотношением (4.27), когда скорость вторичного зародышеобразования зависит от частоты столкновений кристаллов. Заштрихованная область характеризует зону устойчивости в системе поряд- [c.338]

Далее для каждого механизма зародышеобразования можно выбрать пару параметров-порядков (гомогенный и кинетический), соответствующих области устойчивости линеаризованной системы, и проинтегрировать систему (4.34) с целью проверки полученных зон устойчивости и определения периода колебаний. Так, например, для механизма вторичного зародыщеобразования, описываемого соотношением (4.27), кинетические параметры я = 2,5 и р=1,5 представляют линейно-устойчивый случай (см. рис. 4.4). Чтобы исследовать область устойчивости в нелинейном фазовом пространстве, были изучены траектории 16 различных систем начальных условий. Эти начальные условия включали значения для [ о, 1, в пределах [0,10 0,50 0,05]—[10,0 6,0 9,0]. Величина сохранялась постоянной з=1,0. Траектории всех 16 начальных систем [c.339]

Мы уже указывали, что возможны сомнительные толкования термина устойчивость . Однако при линейных системах подобная проблема не возникала, поскольку очень просто систематизировать возможности в соответствии с той формой, которую принимают решения. При А = onst члены (si—А) линейны по s и, как следствие, члены (si — А) имеют полиномиальные числители и знаменатели, причем наивысшая степень знаменателя равна порядку матрицы А. Однако полиномы в s после обратного преобразования становятся экспоненциальными временными функциями. В целом, решение имеет следующую структуру. Различным собственным значениям соответствуют слагаемые, экспоненциально изменяющиеся со временем. Кратные собственные значения вносят в решение вклад в виде произведения степенной функции времени на экспоненту с действительным или комплексным показателем степени. [c.70]

В последние десять лет широкое распространение получил алгоритм численного интегрирования жестких систем ОДУ, предложенный Гиром [263, 264]. Алгоритм Основан на использовании линейных многошаговых методов, удовлетворяющих требованиям жесткой устойчивости [263]. При вычислении предиктора применяется алгоритм Корсика [352], использующий интерполяционный полином для вычисленных в предыдущих точках значений вектора решения. За счет этого легко осуществляется переход к новому шагу интегрирования, что обычно представляет определенные трудности при традиционной реализации многошаговых методов. Вычисление корректора, как правило, осуществляется методом Ньютона, причем для матрицы [Е—(ЗоЛА] (Е — единичная матрица, Л — текущее значение шага, /Зо — параметр метода, А — якобиан системы) используется LU-раз-ложение, что, как известно [183], позволя т наиболее эффективно решать возникающие линейные системы алгебраических уравнений. При решении задачи Коши методом Г ира в каждой точке выбирается оптимальный порядок метода, обеспечивающий наибольший возможный шаг интегрирования. [c.136]

Ясно, что предложенный метод решения линейной системы жестко устойчивый, так как любую линейную систему он решает точно. Пробле ма числа шагов при существенном разбросе характерных времен тоже не возникает. Положим, что жесткость системы составляет 10 порядков, тогда, выбирая начальный шаг интегрирования из условия Хт / 1 < 1, приближая интеграл от матричной экспоненты с помощью ряда с относительно небольшим числом членов и воспользовавшись процедурой удвое ния, получаем [c.143]

Для решения вопроса, является ли стационарное состояние устойчивым, надо произвести в системе небольшое возмущение — немного изменить величины Хо и Уо, добавив к ним члены, зависящие от времени t, так что A = Xo+ i( f) и У=Уо+У1(/), причем Xq>X и Уо У1. Подстановка возмущенных значений СиУвкине-тические уравнения приводит к линейной системе дифференциальных уравнений, частные решения которой имеют вид функций, содержащих время в показателе, где и — коэффициенты [c.330]

Падение поверхностного натяжения при постоянстве адсорбции в соответствии с уравнением Гиббса связано только с ростом химического потенциала адсорбированного вещества при увеличении его концентрации в растворе. Как известно, рост химического потенциала в устойчивой двухкомпонентной системе всегда соответствует росту концентрации в данном случае — П0 отношению к поверхностному слою — поверхностной концентрации, а следовательно, и адсорбции. Поэтому в области концентраций, где поверхностное натяжение линейно зависит от логарифма концентрации, должно происходить, хотя и медленное, но конечное возрастанпе адсорбции, которое, однако, не фиксируется экспериментально. При этом малому увеличению адсорбции отвечает очень резкое возрастание химического потенциала молекул ПАВ в адсорбционном слое. Это позволяет отождествить свойства адсорбционных слоев -при достижении предельной адсорбции со свойствами конденсированной фазы при повышении давления здесь также росту химического потенциала отвечают пренебрежимо малые изменения плотности. Эта аналогия, как будет показано далее при описании свойств адсорбционных слоев нерастворимых ПАВ, имеет глубокий физический смысл. [c.61]

Падение поверхностного натяжения при постоянстве адсорбции в соответствии с уравнением Г иббса связано только с ростом химического потенциала адсорбированного вещества при увеличении его концентрации в растворе. Как известно, рост химического потенциала в устойчивой двухкомпонентной системе всегда соответствует росту концентрации в данном случае поверхностной концентрации, а следовательно, и адсорбции. Поэтому в области концентраций, где поверхностное натяжение линейно зависит от логарифма концентрации , должно происходить, хотя и медленное, но конечное возрастание адсорбции, которое не фиксируется экспериментально. Е[ри этом малому увеличению [c.73]

Понятие фазового пространства можно использовать для определения устойчивости в большом и малом. Систему называют устойчивой в малом, если не все фазовое пространство является областью притяжения единственной особой точки. Систему называют устойчивой в большом, если все фазовое пространство является областью притяжения единственной особой точки. Задача об устойчивости в малом и большом возникает только при исследовании нелинейных систем, так как линейная система либо устойчива, либо неустойчива во всем фазовсм пространстве. [c.185]

При этом значения Dgm принимают несколько меньше значений критической величины (Оэгп)кр. при которой исследуемая линейная система iq (а ) = I, (др) = О ] находится на границе устойчивости. Логарифмическая фазовая частотная характеристика [c.409]

При добротности Оэгп< Оэгп ФГУ проходит ниже логарифмической фазовой частотной характеристики линейной части системы, что говорит об устойчивости исследуемого замкнутого контура электрогидравлического привода и отсутствии в нем автоколебаний. При добротности (Дэ ]) р привод неустойчив как линейная система. [c.410]

При описании различных видов обратной связи ниже принимается, что процесс колебаний близок к установившемуся, т. е. что система близка к границе устойчивости. Выше уже подчеркивалось, что при решении задачи без учета начальных условий надо допустить, что процесс колебаний происходит достаточно долго и что он в то же время не вышел (по амплитудам) за пределы, допускаемые линейной теорией. Это сразу ограничивает допустимые масштабы неустойчивости. Однако дело не только в таких формальных соображениях. Обычно наибольший интерес представляет механизм обратной связи, который под-держр1вает возникшие автоколебания. Описание его естественно вести для установившегося процесса колебаний. При таком подходе допускается, конечно, известная нестрогость в рассуждениях. Поскольку процесс автоколебаний установился, постольку явление стало существенно нелинейным и сделанные выше ссылки на свойства линейной колебательной системы нельзя признать достаточно убедительными. Однако, поставив себе целью лишь качественное описание, можно сдзлать предположение, что основные физические явления, приводящие к образованию обратной связи, могут быть одинаковыми как в период медленного нарастания колебаний (линейная колебательная система), так и тогда, когда колебания установились (в колебательной системе начали играть существенную роль нелинейные члены). Поэтому при анализе возможных механизмов обратной связи в дальнейшем всюду принимается, что колебания уже установились, и описывается цепь явлений, ведущих к поддержанию этих колебаний при этом не делается разницы между двумя случаями — линейной системой, находящейся на границе устойчивости, и нелинейной системой в режиме установившихся автоколебаний. [c.285]

Сигнальные графы соответствуют линейным системам ур-ний мат. моделей химико-технол. процессов и систем. Вершины графов отвечают сигналам (напр., т-ре), ветви-связям между ними. Такие графы используют для анализа статич. и динамич. режимов многопараметрич. процессов и ХТС, а также показателей ряда их важнейших св-в (устойчивости, чувствительности, управляемости). [c.613]

В первоначальном смысле термины указывали на подобие химических свойств с бензолом. В рамках теоретической органической химии этими понятиями обозначают повышенную устойчивость циклической системы сопряженных связей по сравнению с аналогичной линейной структурой. Теоретической основой ароматичности является расчет молекулярных орбиталей по Хюккелю, согласно которому моноциклическая структура зр -гибриди-зованных атомов углерода, включающая (4п+2)л-электронов (п=0, 1, 2. ..), всегда проявляет ароматический характер. [c.220]

Использование автоматических систем ввода жидкой пробы в хроматограф позволяет существенно снизить дисперсию величин удерживания на стадии ввода пробы. Отклонение величин удерживания, обусловленное несовершенством электроники системы программирования температуры термостата, чрезвычайно мало (мерее 0,005 мин) и нрактически постоянно. Таким образом, роль этого фактора пренебрежимо мала. Незначительна также и дисперсия величины удерживания за счет устройства вывода данных (электрометра, детектора, интегратора и т. д.). Таким обратом, основным источником погрешности при онределении времени удерживания является система управления. Наибольшее влияние на воспроизводимость хроматографических данных оказывают пневматическая часть системы управления и регулятор темнературы термостата. Неудачная конструкция пневматического регулятора может привести к изменению линейной скорости нотока через колонку. Наиболее устойчивая линейная скорость нотока через колонку достигается нри исиользовании регулятора с электронной обратной связью. [c.67]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология