Стационарные однородные решения и их устойчивость

Стационарные однородные решения и их устойчивость [c.160]

В приложении к линейным стационарным системам условие устойчивости сводится к тому, что все корни Xi, Xj, 7 характеристического уравнения, полученного по дифференциальному уравнению этой системы, имели отрицательные вещественные части или, что одно и то же, располагались на комплексной плоскости слева от мнимой оси. При выполнении условия устойчивости линейная система будет устойчива асимптотически, что непосредственно следует из решения ее дифференциального уравнения. Это решение у (t), определяющее значение регулируемой величины в зависимости от времени, является суммой частного решения у, (t) неоднородного дифференциального уравнения и общего решения у , (t) однородного Дифференциального уравнения [c.108]

Действительно, если слабо возмутить одно из таких решений, добавив к нему зависящую от координат г поправку бгг (г), это приведет к изменению функционала F, складывающемуся из двух частей. Во-первых, из-за изменения и возрастет первое слагаемое под знаком интеграла в (5.2.3) (выбранное нами однородное решение отвечает минимуму Ф). Во-вторых, становится отличным от нуля второе слагаемое в (5.2.3), пропорциональное квадрату градиента 8и и поэтому также положительное. Мы видим, что обе появляющиеся добавки положительны, и, следовательно, малое неоднородное возмущение 8и приводит к возрастанию функционала F. Поэтому однородные стационарные состояния являются устойчивыми по отношению к малым возмущениям. [c.150]

Для значений (А, В), обеспечивающих единственность и устойчивость однородного стационарного решения, расчеты подтвердили стабилизацию нестационарного решения при большом времени. [c.166]

При В> +А- 0>0 В<1+Л2 б<0. В первом случае равновесие неустойчиво и небольшие отклонения постепенно нарастают значения X t) и Y t) колеблются с круговой частотой ш. Если нанести траекторию движения системы иа координатную плоскость X, У, то получится спиралеобразная кривая, отвечающая нарастающим размахам колебаний X к Y. При t— оо она переходит в замкнутую кривую ( предельный цикл ). Колебательно устойчивое состояние (6<0) соответствует постепенному убыванию размаха колебаний, вызванных возмущением, — система по спиралеобразной траектории приближается к стационарному состоянию. Следует обратить внимание на то, что возмущение может быть следствием флуктуации. Поэтому в неустойчивой системе даже небольшая флуктуация способна вызвать переход системы в новое состояние. Описанные явления происходят в однородных системах и изменения концентраций можно наблюдать в любой точке системы. В реальных условиях развитие реакции и образование ее продуктов часто совершается лишь в определенных областях системы и сопровождается последующей диффузией веществ. Для решения [c.330]

Был проведен анализ устойчивости стационарных решений системы (15.31) —(15.34) как для однородного, так и для неоднородного решений [108]. Однородное стационарное состояние неустойчиво по отношению к однородным возмущениям при [c.234]

В следующ,ем разделе будет получено стационарное решение уравнений гидромеханики псевдоожиженного слоя, описывающее расширение однородного псевдоожиженного слоя. Исследованию устойчивости этого стационарного решения будет посвящен раздел 3 данной главы. Оценка скорости распространения малых возмущений в псевдоожиженном слое будет дана в разделе 4 Как уже отмечалось выше, линейная теория устойчивости позволяет описывать лишь начальный этап эволюции малых возмущений в псевдоожиженном слое. Далее будут приведены некоторые результаты, полученные на основе нелинейных уравнений гидромеханики псевдоожиженного слоя. В разделе 6 будет рассмотрена устойчивость стационарного решения уравнений гидромеханики с учетом граничных условий на верхней и нижней поверхности слоя. Такой анализ показывает возможность появления циркуляционных течений в. псевдоожиженном слое. В заключительном разделе будет рассмотрено решение уравнений гидромеханики псевдоожиженного слоя, описывающее циркуляционные течения. [c.75]

Оба состояния щ и и устойчивы по отношению к малым возмущениям, но одно из них, отвечающее более высокому значению Ф (см. рис. 5.5), метастабильно, т. е. неустойчиво по отношению, к достаточно сильным возмущениям. Если создать такое достаточно сильное возмущение (см. рис. 5.7), оно не будет затухать со временем. Вместо этого по среде побегут две расходящиеся волны переключения (рис. 5.6, б) и по прошествии некоторого времени в ней установится новое однородное стационарное состояние. Когда размеры среды велики по сравнению с шириной фронта такой волны и фронт находится еще вдали от границ среды, естественно предположить, что скорость движения фронта постоянна, и искать решение уравнения [c.160]

Ясно, что стационарные решения точечной системы не зависят от г и удовлетворяют уравнению (IV. 2.7), т. е. являются одновременно стационарными решениями распределенной системы, однородными по пространству. Однако в распределенной системе могут быть и стационарные, неоднородные по пространству решения, найти которые значительно сложнее. Исследование вопроса устойчивости стационарных решений аналогично исследованию на устойчивость стационарных решений точечной системы. с(г) является устойчивым стационарным распределением концентраций вдоль координаты г, если решение 5(i, г) возмуш енной системы, в которой в начальный момент времени при i = О взято возмуш енное распределение концентраций с(0, г) = с(г) -Ь 5(0, г) будет при i > О мало отличаться от стационарного решения, т. е. 5(i, г) с[г). Как правило, исследование устойчивости стационарного решения можно провести на основе анализа системы уравнений, линеаризованных вблизи особой точки. Рассмотрим вопрос об устойчивости однородных в пространстве решений, ограничиваясь уравнением с одной переменной и принимая для краткости, что = 1 [c.92]

Вернемся к распределенной системе (1У.2.17). Исследуем устойчивость однородного по пространству, в данном случае по координате г, стационарного состояния в этой системе. Для этого зададим системе малые возмущения, являющиеся функциями не только времени, но и пространственной координаты, т. е. вблизи хну будем искать решения в виде [c.97]

Анализ математической модели типа (8.1) обычно начинается с определения ее стационарных и однородных в пространстве решений и исследования их устойчивости. Если система (8.1) однородна, то диффузионные члены равны нулю и значения ее переменных равны координатам особой точки соответствующей точечной системы [c.160]

Методы исследования устойчивости ДС развиты в работах Осипова и Кернера [4, 16] на примере образования страт в плазме. Фактически используется метод Ляпунова, т. е. определяется временная зависимость малых отклонений от стационарных решений х г) и у (г). Малые отклонения 8х г, f), by г, t) (девиации) ищутся в форме bx r,t)= r)eP ,by r,t)=(f r)eP . Устойчивыми являются решения, где все характеристические числа р имеют отрицательную вещественную часть. Для яр (г) и ф (г) возникает система однородных дифференциальных уравнений, собственными значениями которой являются характеристические числа р. Таким образом, в каждой задаче имеется спектр р, содержащий бесконечное число значений. В этом отличие от устойчивости точечной модели, где р — собственные значения алгебраической задачи и число их конечно. [c.235]

Опишем эволюцию неоднородностей при изменении, например, температуры. Сразу оговоримся, что устойчивость периодических решений (3.6.30) не анализировалась. Если они неустойчивы (что представляется наиболее вероятным и что наблюдалось в численных расчетах нестационарной модели (3.6.29) — при малом возмущении уединенное пятно рассасывается, либо порождает бегущую волну, после прохождения которой устанавливается одно из устойчивых однородных стационарных состояний), то размер уединенного [c.227]

Еще Рахматулиным [92], который впервые предложил замкнутую систему дифференциальных уравнений, описывающую двухскоростные двухфазные течения, было показано, что в случае несжимаемых фаз эта система негиперболична, т. е. не имеет вещественных характеристик. Негиперболичной является также и система (2.16), (2.17) одномерных двухскоростных течений вертикального дисперсного потока, рассмотренная в начале раздела 2.5 [177]. Как известно [178], для негиперболичных систем задача нахождения эволюции заданного в начальный момент времени произвольного возмущения (задача Копш) оказьшается некорректной. Можно показать, что некорректной является также и задача о распространении возмущающего сигнала, заданного в виде произвольной функции времени на одной из границ, т. е. именно та задача, которую необходимо решать для нахождения динамических характеристик колонных аппаратов по гидродинамическим каналам. В том случае, когда соблюдены условия математической определенности задачи, т. е. задача имеет решение при любых допустимых начальных (или граничных) данных и это решение единственно, корректность задачи определяется тем, является ли данное решение устойчивым. Известно, что решение устойчиво в том случае, когда при малых изменениях начальных (или граничных) данных полученные решения также отличаются друг от друга на малую величину. Анализ устойчивости решений некоторой системы нестационарных уравнений проводят обычно путем исследования эволюции малых возмущений стационарного однородного решения, задаваемых в виде плоской гармонической волны [c.133]

Анализ показывает, что сосредоточенная система (7.9), отвечающая механизму (М), имеет в широком интервале температур Т и давлений р , р три стационарных состояния < х < (два устойчивых — х 2 , х и одно неустойчивое — х ) [83]. При этом наряду с однородными х , xf , xf существуют и периодические решения, которые и представляют собой диссипативные структуры. Для рассматриваемой задачи существует предельный случай, когда периодическое решение вырождается в одиночную волну. Это решение соответствует тому, что на поверхности катализатора реализуется одно из устойчивых однородных стационарных состояний, а в некоторой конечной области состояние приближается к другому устойчивому однородному стационарному состоянию (не достигая его). Эта неоднородность и может быть интерпретирована как макрокластер на новерхности катализатора, нанример пятно СО на Og либо, наоборот, пятно 0 на СО. [c.308]

Анализ сильнонелинейных схем, подобных приведенной, объясняет многие критические явления, в том числе множественность стационарных состояний, наблюдаемых, например, при проведении реакции на никеле и платине, а также возникновение при определенных соотношениях давлений реагентов осциллирующих режимов протекания реакции. Существенно, что при этом в дополнение к приведенной схеме, дающей в предположении идеальной адсорбции на однородной поверхности только однозначное и устойчивое решение, для объяснения критических явлений и возникновения осциллирующего режима оказалось необходимым ввести дополнительные предположения, в частности, предположение о том, что в предложенной схеме энергии активации Е(и, таким образом, скорость реакций) обеих стадий с образованием воды зависят от покрытия поверхности катализатора адсорбированным кислородом Од [c.391]

В данной работе проводится бифуркационный анализ системы уравнений, заданных в цилиндрической области. Рассматривается возникновение (многомерных) неоднородных по сечению цилиндра режимов (стационарных или периодических) из однородных в сечении решений (одномерных) при потере ими устойчивости по отношению к неоднородным возмущениям. Описываются алгоритмы численного метода для интегрирования диффузионно-кинетической системы уравнений, вычисления спектра соответствующего оператора и нахождения критических значений параметров, отвечающих возникновению неоднородностей. Приводятся результаты расчета для пеизотермической реакции первого порядка. [c.74]

В том случае, когда характеристическое уравнение имеет два действительных корня, один из которых больше нуля, а второй — меньше нуля, в системе появляется неустойчивость седлового типа (так называемая неустойчивость Тьюринга), которая приводит к развитию возмущений в пространственно однородной системе и установлению в ней пространственно неоднородных стационарных режимов. Смена характера устойчивости происходит при В > В, В = В. Пайдем критические значения Хс, для которых В (УС) и В" Х) минимальны. В (к) = 1 + А при X оо (А = 0). Минимум В"(к) достигается при Х = (1/ ) s D Dy. Это минимальное значение В", при котором наступает бифуркация устойчивости стационарного решения и возникает седло, равно [c.98]

Интересен предельный случай, когда А = тт Л1,Лз . Здесь периодическое решение вырождается в одиночную волну. Такое решение соответствует тому, что при -> 00 на поверхности катализатора реализуется одно из устойчивых однородных стационарных состояний, а в некоторой области состояние приближается к другому устойчивому (не достигая его). Эта неоднородность и может быть интерпретирована как макрокластер на поверхности катализатора (например, пятно СО на О2 либо наоборот, пятно О2 на СО ). [c.226]

Предполо)ким, что наша система в однородном предельном Случае ((ЗХ/<5 = 0) имеет два устойчивых стационарных решения и и одно неустойчивое решение Х(3) рассмотрим, например, обсуждавшиеся в разд. 6.5 д бистабильные реакции Шлёгля. Теперь станем искать решения, которые с левой стороны] ( 2 = —оо при V = 1 и 2 = О при V = 2 и 3) соответствуют большей стационарной концентрации X, а справа ( 1 =-Ь°о)—меньшей стационарной концентрации Х Ч Эта задача аналогично рассмотренному в разд. 7.1 негомогенному распределению в двух соединенных между собой ящиках . Между состояниями (1) н (2) в непрерывном варианте задачи возникнет более или менее протяженная переходная область, Представляющая собой волновой фронт. Точное положение фронта К мы определим как значение у котором концентрация соответствует среднему (неустойчивому) стационарному значению [c.172]

Если предположить, что существует однородное по пространству стационарное решение (7.2), то оно должно удовлетворять уравнепням /г ( У, . . ., =0, I = , п (/i пе должны явно зависеть от х м у). Предположим, что миграция отсутствует, т. е. Di = 0. Тогда проблема устойчивости этого равновесия в каждой точке пространства [c.220]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология