Решение задач устойчивости

Стационарными состояниями (см. главу 1) называются такие состояния динамической системы, при которых она либо не изменяется во времени, либо периодически повторяется. Химические процессы (и химические реакторы) могут иметь не одно, а несколько стационарных состояний, соответствующих одним и тем же значениям параметров. С физической точки зрения наличие у динамической системы нескольких стационарных состояний обусловлено ее нелинейностью. При изменении значений параметров системы дифференциальных уравнений в общем случае изменяются как число, так и устойчивость положений равновесия этой системы. Полное решение задачи устойчивости химического процесса состоит в разбиении пространства параметров его математической модели на области, различающиеся по числу и типу устойчивости положения равновесия [33]. [c.225]

Для исследования устойчивости систем, которые не могут быть линеаризованы разложением по степеням отклонений обобщенных координат, имеются другие теоремы Ляпунова, они составляют основу решения задач устойчивости вторым методом Ляпунова. [c.108]

Приложения метода локального потенциала к задаче сходимости последовательных приближений описаны в гл. 10, а в гл. 12 приведены некоторые примеры его использования при решении задач устойчивости. [c.13]

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОСТИ [c.170]

Несущая способность элементов конструкций из жестких полимерных материалов определяется прежде всего их устойчивостью. Предел пропорциональности полимерных материалов достаточно низок, поэтому иногда пластические деформации в материале возникают практически с самого начала нагружения. В связи с этим при исследовании устойчивости элементов конструкций из полимерных материалов следует учитывать упругие, пластические и вязкие свойства, а также их анизотропию. Не-упругость свойств полимерных материалов обусловливает их зависимость от истории нагружения, поэтому решение задач устойчивости, в частности за пределами упругости, должно быть основано на исследовании процессов нагружения элементов конструкций из данных материалов [3]. [c.170]

Под устойчивостью элементов конструкций понимают их способность сохранять состояние равновесия или процесса движения во времени t под действием малых возмущений. При этом каждый элемент имеет, как правило, технологические несовершенства геометрической формы. Все начальные несовершенства формы и приложения нагрузки примем за возмущающие факторы с наложенными на них ограничениями и об устойчивости исходной (основной) формы равновесия или движения будем судить по пребыванию системы с возмущенной формой в окрестности невозмущенного основного состояния. Это второе принципиальное положение, которое лежит в основе решения задач устойчивости. [c.170]

При этом возникает естественный вопрос какому же из этих решений отдать предпочтение Какое из них является истинным Правила, позволяющие выделить единственное истинное решение задачи (9.30), (8.42) в классе разрывных решений, получены в теории квазилинейных уравнений (O.A. Олейник, И.М. Гельфанд). Эти правила известны как условия устойчивости разрыва, которые для рассматриваемого случая двояковыпуклой функции f(s) можно представить в виде неравенств [c.274]

Далее при построении разрывных решений задач фронтального вытеснения нефти раствором активной примеси требуем выполнения на скачках условий Гюгонио и условия устойчивости разрывных решений. [c.307]

Таким образом, автомодельное решение задачи вытеснения нефти раствором активной примеси может состоять из простых j-волн (10.28), точек покоя, устойчивых 5-скачков (10.17), устойчивых с-скачков (10.16). Последовательность этих элементов на плоскости (s, f) будем называть путем . Путь начинается в точке = О (10.26) и заканчивается в точке С - 00 (10.25). Рещение задачи вытеснения сводится к построению пути, вдоль которого величина монотонно возрастает от нуля до бесконечности. [c.309]

С точки зрения проблемы самоорганизации, т. е. образования диссипативных структур и автоволновых процессов, важным является вопрос об устойчивости зе и существования кроме х периодических по пространству стационарных решений задачи (7.7)— [c.307]

Эти уравнения используют для расчета результатов процессов в режимах нормальной эксплуатации. Уравнения для нестационарного процесса позволяют предложить методы оценки перемешивания в реальном аппарате (см. главу III). Их также используют при решении задач управления процессом в переходных режимах, качественного исследования поведения процесса в устойчивом и неустойчивом режимах (см. главу V). [c.69]

Моделирование процессов гидрокрекинга с использованием закона распределения продуктов. При моделировании процессов нефтепереработки представляется удобной характеристика нефтяной фракции на основе закона распределения ее компонентов по температуре кипения, числу углеродных атомов или молекулярной массе. Тогда нефтяную фракцию характеризуют не фракционным составом, а параметрами закона распределения. Применение такого подхода рассматривал ось и для моделирования гидрокрекинга [32, 331, однако не учитывалась неизотермичность процесса. Поэтому не представлялось возможным решение задачи оптимального проектирования и определения области устойчивых режимов. Проиллюстрируем ниже применение закона распределения для моделирования неизотермического процесса гидрокрекинга бензинов. [c.363]

Ингибиторная защита от АСПО, как правило, совмещается с процессом борьбы с устойчивыми водонефтяными эмульсиями. Поэтому в скважину подают растворы, которые одновременно являются и хорошими деэмульгаторами. Выбор типа реагента зависит от свойств пластовой продукции, геолого-физических и термодинамических условий в скважине и коммуникациях. Например, в Татарии на определенной стадии разработки успешно применяли реагент 4411, подача которого на прием погружных электроцентробежных насосов наряду с резким замедлением процесса эмульгирования предотвращала отложение парафина в обрабатываемых скважинах. При этом одновременно увеличивался дебит скважины и повышался к. п. д. погружного насоса. Применяли также реагент 4422. Для более эффективного использования химических веществ в скважину следует подавать либо многоцелевые реагенты, либо их смеси, которые на данной стадии разработки обеспечивают комплексное решение задач борьбы с эмульгированием нефти, защиты оборудования и труб от органических и неорганических отложений и коррозии. [c.29]

При постоянной температуре теплоносителя Тс распределение концентраций реагентов и температуры по длине реактора определяется решением системы уравнений ( 111.38), ( 111.39) с граничными условиями СДО) = С, д, Т (О) = Т , заданными на входе аппарата, т. е. решением задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Известно, что в случае, когда правые части уравнений зависят от переменных непрерывным образом, задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений всегда имеет единственное решение (см., например, [2]). Более того, это решение всегда устойчиво, так как в реакторе идеального вытеснения возмущение стационарного режима в некотором сечении реактора не влияет на реагирующую смесь в соседних сечениях и любое бесконечно малое возмущение вымывается из реактора за конечное время, не успевая разрастись до макроскопических размеров. Таким образом, всегда имеется единственный устойчивый стационарный режим реактора идеального вытеснения. [c.336]

Задача определения решения 2 из пространства 2 по исходным данным 5 из пространства 8 называется корректно поставленной на паре метрических пространстве (2, 5 ), если 1) для всякого элемента 5 0.5 суш ествует решение 2 02 2) решение определяется однозначно 3) задача устойчива на пространствах (2, < ). Задача, не удовлетворяющая перечисленным требованиям, называется некорректно поставленной. [c.284]

Отсутствие устойчивости затрудняет физическую интерпретацию результатов измерений, а также численное решение задачи по приближенным исходным данным. Таким образом, для обратных задач возникает принципиально важный вопрос что надо понимать под приближенным решением таких задач Если ответ на этот вопрос дан, то возникает следующая задача нахождения алгоритмов построения приближенных решений, устойчивых к малым изменениям исходных данных. [c.284]

Для построения приближенных решений некорректно поставленных задач, устойчивых к малым изменениям исходных данных, привлекается дополнительная информация относительно решения, которая может носить количественный и качественный характер. Дополнительная информация количественного характера позволяет сузить класс возможных решений, и задача становится устой- [c.284]

Начальные приближения систем разделения. Для задач, аналогичных задаче разделения, возможна разработка обоснованного, хорошего вектора начальных приближений, необходимого для устойчивой работы метода Ньютона, его модификаций или любого другого метода. Это может быть сделано посредством канонической процедуры, позволяющей с достаточной точностью сравнить работоспособность различных методов, и, следовательно, может быть строго оценена трудность решения задач различными методами. [c.261]

Рассмотрим решение задачи о температурной устойчивости работы реактора на примере необратимой экзотермической реакции, протекающей в реакторе полного смешения, работающем при интегральном адиабатическом режиме. [c.234]

Таким образом, возникает задача нахождения решений, соответствующих устойчивым состояниям. Физически устойчивость нужно понимать следующим образом. Стационарное состояние системы устойчиво, когда какое-нибудь малое отклонение, возникшее в некоторый момент времени, по устранении причины, вызвавшей отклонение, постепенно исчезает и исходное стационарное состояние восстанавливается. Если же при незначительном возмущении какого-либо параметра системы (температуры, концентрации, давления и т. д.) отклонения от стационарного состояния системы увеличиваются во времени, то данное состояние неустойчиво. Для реализации неустойчивых режимов необходима принудительная стабилизация. . . [c.505]

Прп некоторых значениях параметров в системе (8) и при достаточно малом е в системе (7) возникают автоколебания. Динамическая спстема (8) имеет довольно сложный фазовый портрет, может иметь до пяти стационарных точек, допускает существование устойчивых и неустойчивых периодических решений. Для определения констант предложен следующий метод. Прп некоторых значениях параметров стационарное решение теряет устойчивость, и из него зарождается устойчивое периодическое решение. При дальнейшем изменении парциального давления это решение опять переходит в устойчивую стационарную точку. Таким образом, можно выписать четыре уравнения для определения стационарных точек, два условия на линеаризованную задачу, характеризующие зарождение и исчезновение колебаний, четыре уравнения для скоростей реакции (измеряемых в эксперименте) и их производных, два уравнения для периодов зарождающихся колебаний. Как показывают расчеты, эти уравнения позволяют определить все константы, входящие в уравнения. При [c.88]

Теорема 6 [1, 3]. Для асимптотической устойчивости нулевого решения задачи (19), (20) необходимо и достаточно, чтобы [c.96]

В случае задачи (27) можно гарантировать существование не менее трех стационарных решений, если график стационарного устойчивого решения 0(р, 0о) пересекается с графиком некоторого решения задачи Коши (28) 0(р, 0J, 0lp=o = 0i, 0 1р=о = О хотя бы в одной внутренней точке. [c.98]

Как мы уже отмечали, существует Х р такое, что для О < Я, < Х р существуют два стационарных решения 0<7 i, Г, <Г2 для 0 < <1. Функции То, 0<Го<Гг для S < 1, ВХОДЯТ в область притяжения решения T . Для к >-кр устойчивых стационарных решений нет, при X = единственное стационарное решение полуустойчиво , для 0< o 2 i решение Г( , t)- Ti, для To>T при 1<1 Til, разрушается за конечное или бесконечное время. Как мы уже отмечали, устойчивых в hp решений задача ни при одном р не пмеет. [c.98]

Цель анализа устойчивости задачи линейного программирования — прогнозирование поведения целевой функции и оптимального решения при изменении Л, 6 и с. Это важно в связи с возможной неточностью исходных данных для решения задачи. [c.197]

При строгом подходе к исследованию локальной устойчивости основной этап решения задачи — составление линеаризованной нестационарной модели системы, построение передаточной функции ХТС и анализ расположения ее особых точек в комплексной плоскости [23]. На последнем этапе обычно используют амплитуднофазовый метод и метод О-разбиений [193]. [c.324]

Приведенные в работах [62, 63] условия устойчивости для различных технологических схем элементов контактных аппаратов содержат производные от температуры газового потока после первого (или второго) слоя катализатора. Другими словами, на этапе расчета контактного аппарата (замкнутой схемы) требуется вычисление производных от некоторых промежуточных переменных для проверки условий устойчивости. Если же для решения задачи оптимизации применяются методы первого порядка, возникает необходимость в расчете вторых производных от указанных переменных, что серьезно усложняет процесс поиска оптимального решения. [c.183]

На рис. 4.13 схематически показаны связи между понятиями, использованными в опрюделении устойчивости. Ясно, что если некоторая область 5 найдется при малых е, то она будет пригодна и при больших значениях отклонения, поэтому для решения задачи устойчивости в смысле данного определения важны характеристики процесса в малой окрестности статического режима в большинстве случаев эти характеристики можно получить линеаризацией исходных уравнений (4.50). [c.167]

Как показал опыт решения задач устойчивости трехмерных пограничных слоев, процедура ортогонализации линейно независимых решений может быть эффективно использована на ЭВМ типа БЭСМ-6. Практически все расчеты, представленные в настоящей монографии, были выполнены именно с помощью процедуры ортогонализации. Опишем подробнее схему численного решения в этом случае. [c.77]

Эксперимент [12—14, 16] качественно подтверждает теорию механизма волнообразования на поверхности пламени [3, 4], хотя последняя и не учитывает наличие горения вообще. Для выяснения роли химико-кинетических свойств пламени в волнообразовании можно воспользоваться решением задачи устойчивости пламени в постановке Дж. Маркштейна — У. Скуайра [5], в котором учитывается как наличие горения, так и зависимость нормальной скорости горения от локальной кривизны фронта пламени (по Дж. Маркштейну [20]). [c.53]

Именно такие аргументы приводил в своей ранней работе Ван Хирден, и, хотя его подход к решению задачи можно подвергнуть критике, в адиабатическом случае он правилен. Приведенные рассуждения очень полезны и ясно показывают, в каких случаях стационарный режим неустойчив, однако вывод об устойчивости режима нельзя при этом делать столь решительно. Считая, что скорость тепловыделения определяется кривой Г, мы фактически предполагаем, что температурному возмуш епию ЬТ сопутствует возмущение б , равное (dlJdT) 8Т. Это очень специальное условие, и, если стационарный режим действительно устойчив, реактор должен возвращаться к нему после любого возмущения (б ЬТ), а не только после такого возмущения, при котором б и бГ связаны особым соотношением. Поэтому для устойчивости стационарного режима необходимо, чтобы наклон прямой был больше наклона кривой Г, но это условие не является достаточным. [c.171]

Турбулизация межфазной границы может быть обусловлена- также возникающими при тепло- или массопередаче локальными изменениями поверхностного натяжения. Учет влияния концентрационных и температурных изменений поверхностного натяжения на гидродинамику вблизи межфазной границы представляет собой весьма сложную и в настоян1ее время еще не решенную задачу (необходимо исследовать устойчивость решения уравнения Навье — Стокса по отношению к малым возмущениям — локальным изменениям скорости). Пока сделаны лишь первые попытки решения этой задачи [72, 73]. В частности, показано [72], что возможность возникновения неустойчивости существенно зависит от знака гиббсовой адсорбции растворенного вещества в состоянии термодинамического равновесия, а также от соотношения между кинематическими вязкостями соприкасающихся фаз и коэффициентами диффузии веществ, которыми обмениваются эти фазы. Объяснено явление стационарной ячеистой картины конвективного движения, вызванного локальными градиентами поверхностного натяжения [73].. Дальнейшие исследования в этой области наталкиваются на серьезные математические трудности. [c.183]

Здесь скорость разрыва D связана с насыщенностями до (a ) и после (i ) разрыва соотношением Гюгонио (9.37). Если соотношения (9.44) или (9.45) не выполняются, то разрыв неустойчив. Отсюда следует, что предельное решение задачи Бакли - Леверетта (см. рис. 9.9) является устойчивым и единственным. Все другие разрывные решения - посторонние (неустойчивые). [c.274]

Интегральная форма функционального оператора имеет место при задании связи между входным и выходным сигналами объекта с помощью его весовой функции в виде интеграла свертки. Часто такая форма связи бывает предпочтительна как с точки зрения устойчивости к помехам, так и с точки зрения эффективности вычислительных процедур при решении задач идентификации и оценки параметров состояния объекта, подверженного случайным возмущениям и дрейфу технологических характеристик. Статистическая динамика, которая эффективно применяется в этих случаях, ориентирована в основном на интегральную форму представления функциональных операторов. Кроме того, операция интегрирова- [c.201]

Один из возможных путей преодоления трудностей, возникающих в задачах оценки параметров состояния и идентификации объектов химической технологии, состоит в использовании аппарата статистической динамики, оперирующего с интегральными операторами и весовыми функциями исследуемых систем. Интегральная форма связц между входными и выходным сигналами через весовую функцию системы предпочтительна как с точки зрения устойчивости помехам, так и с точки зрения эффективности вычислительных процедур. Достоинство данного подхода к решению задач идентификации состоит также в том, что открывается возможность Широко использовать замечательные свойства аналитических случайных процессов при синтезе оптимальных операторов объектов с конечной памятью . Заметим, что требование линейности системы для реализации данной методики в незначительной мере снижает ее общность. Как следует из рассмотренного в главе Примера, эта методика применима для широкого класса нелинейных объектов химической технологии, если воспользоваться методом нелинейных преобразований случайных функций. Специфика нелинейных объектов в химической технологии такова, что практически почти всегда можно свести нелинейные дифференциальные операторы к линейным или квазилинейным интегральным операторам. Это достигается либо путем разложения решения нелинейного дифференциального уравнения по параметру, либо с помощг.ю специальной замены переменных. [c.495]

Не останавливаясь на конкретных реакциях, здесь мы коснемся только одного из получивших в последнее время распространение методов, при котором иск.пючается время из кинетических уравнений и находятся стабильные решения задачи на основе разработанной Ляпуновым теории устойчивости. В простейшем случае двух переменных х ш у (например, двух активных центров или одного активного центра и температуры) из кинетических уравнений dx/dt = Ф,с х, у) и dy/dt = Фу (х, у) (х и у — концентрации или концентрация и температура) получим уравнение dxfdy = / х, у), которое может быть отображено на плоскости (фазовая плоскость или диаграмма) и проанализировано (по Ляпунову) с целью нахождения особых точек, определяющих условия стаби.тгьности системы (см. [136], глава X). Таким путем могут быть получены пределы воспламенения, в частности пределы, обусловленные одновременным действием цепного и теплового факторов (объединенная теория цепного и теплового воспламенения), режим химических колебаний и др. [c.219]

Весьма сложной и до конца не решенной задачей являются сбор, транспортирование, обработка, утилизация и консервирование больщих количеств шламов, непрерывно поступающих из песколовок, ловушек флотационных и других устройств, а также донных осадков из биологических прудов и аварийных амбаров, излишнего активного ила и других отходов. Современная техника обработки осадков направлена на доведение их до состояния, при котором исключается загрязнение окружающей среды, и на возможную утилизацию имеющихся в них полезных компоне 1тов. Это достигается стабилизацией осадков для придания им устойчивости против загнивания, снижением влажности до состояния, обеспечивающего их использование или храпение. В случае невозможности нсиользоваиия осадки приходится консервировать в шламохранилищах, которые устраиваются с соблюдением ряда требований, предотвращающих загрязнение окружающей среды. [c.220]

В работах [23, 52] проведен анализ некоторых моделей реакторов с использованием численных методов, построены бифуркационные кривые, позволяюнще судить о числе решений задачи для псевдоожижениого слоя катализатора, а также в неподвижном слое. Критерии устойчивости стационарных решений, доказанные в [1, 3—5, 19, 21, 22, 30(1, позволяют в ряде случаев решать вопрос об устойчивости стационарных решений, соответствующих различным ветвям бифуркационных кривых, не прибегая [c.92]

Рассмотрена задача управления о стабилизации неустойчивого стационарного режима в реакторе с псевдоожиженным слоем катализатора. Обратная связь в виде функционала от решения обеспечивает устойчивость выбранного режима. Циркуляционная модель слоя, состоящая из системы гиперболических уравнений первого порядна с двумя независимыми переменными, аппроксимируется системой обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода ортогональных коллокаций. Интегральные ядра функционала обратной связи находятся методом модального управления. [c.168]

Широкому распространению асфальтобетонных смесей на основе серобитумных вяжущих препятствуют следующие их недостатки выделение сероводорода и оксидов серы при приготовлении и использовании, коррозия оборудования, необходимость некоторого изменения традиционной технологии приготовления и использования дорожных смесей. В связи с этим интерес представляет решение задачи эффективного введения серы, позволяющего получать устойчивые серобитумные композиции. [c.76]