Нелинейная неустойчивость

Устойчивый предельный цикл соответствует устойчивому периодическому процессу , такие процессы называются автоколебаниями. Если внутри устойчивого предельного цикла лежит неустойчивый фокус (а иногда и неустойчивый узел), то выходяш ие из него фазовые траектории могут наматываться на предельный цикл. В этом случае из неустойчивого состояния равновесия будет происходить самовозбуждение автоколебаний. Для выяснения поведения системы при больших начальных отклонениях от состояния равновесия нужно знать также и расположение неустойчивых предельных циклов и других особых траекторий. Так, если устойчивый узел (или фокус) окружен неустойчивым предельным циклом, то при начальных отклонениях, не выходящих за пределы этого цикла, система будет возвращаться в исходное состояние равновесия. Но если начальное возмущение выводит систему за пределы неустойчивого предельного цикла, то она уже не вернется в первоначальное состояние равновесия. Подобные явления мы называем нелинейной неустойчивостью. [c.436]

Положение равновесия является фокусом, если выражение, стоящее под корнем положительно, и узлом, если оно отрицательно. В первом случае неустойчивость колебательная. Во втором случае вопрос о характере нелинейной неустойчивости требует специального исследования нелинейными методами, так как неустойчивый узел может быть окружен предельным циклом. Мы видим, что если энергия активации второй стадии и адиабатический разогрев достаточно велики, то вполне возможно возникновение термокинетических колебаний в области температур, где скорости первой и второй стадий не слишком сильно различаются. [c.449]

Стационарный режим не станет устойчивым вплоть до = ц = = 2,25. Другие стационарные режимы с увеличением будут менять свое положение и характер, и в конце концов исчезнут. При = 0,5 сепаратриса перестает пересекаться с границей области, а стационарный режим С становится неустойчивым, так что все траектории приводят к стационарному режиму А. Эта ситуация сохраняется вплоть до = 1,125, когда режим А находится на грани неустойчивости. Затем остается только один стационарны режим В, который по-прежнему неустойчив. Поскольку все траектории определенно входят внутрь полосы 055 5 1, Ог Гес оо, ав точку В они входить не могут, возникает вопрос, к какому же состоянию приближается реактор с течением времени. Ответ состоит в том, что траектории приближаются по спирали к предельному циклу, охватывающему точку В. Таким образом, стационарное поведение системы соответствует режиму нелинейных колебаний, что, разумеется, крайне неудовлетворительно с технологической точки зрения. [c.182]

Мы получаем, таким образом, систему двух нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с граничными условиями, заданными на разных концах реактора. Решать такие уравнения — сложная задача, так как нри этом возникают явления численной неустойчивости и ошибки расчета начинают накапливаться и угрожающе возрастать. Так, можно было бы попытаться решать уравнение (IX. 104) при постоянной Т, задавшись пробным значением прп а = О, вычислив = - Ра интегрируя уравненпе от [c.295]

Для нелинейных уравнений трудно указать какие-либо эффективные методы поиска значения х - - А/), за исключением самого обш,его, который заключается в решении задачи минимизации рассогласования рассчитанного и заданного значений х (/< >). На практике поиск значения х Ь А/), кроме того, осложняется еще неустойчивостью решения, приводящей к значительным колебаниям рассчитанного значения х (/< ) при относительно малых изменениях величины X + At). [c.220]

В ходе любой химической реакции чисто качественно можно выделить следующие характерные области (рис. 13) начальное состояние неустойчивого (ложного) равновесия А), неравновесную область, в которой допустимо линейное приближение (2), неравновесную область нелинейного взаимодействия термодинамических сил и потоков (3), неравновесную фазу, в которой опять допустимо линейное приближение зависимости сил и потоков (4), конечное устойчивое (или истинное) равновесие (В). Начальное равновесное состояние является неустойчивым (ложным) в том смысле, что хотя в этом состоянии скорость процесса и = О, химическое сродство не только не равно нулю, по и максимально, и при у создании подходящих условий (инициировании процесса тем или иным способом) система начинает реагировать. В отличие от начального конечное состояние в этом смысле является не только равновесным, но и устойчивым, поскольку выполняется условие г/7 = О, = О [5]. [c.99]

Методы определения Кс строго регламентированы [3]. Критерий Кс дает удовлетворительные результаты, когда средние напряжения в ослабленном сечении не превышают предела текучести (ст<0,6ат). При этом размеры пластической зоны должны быть заметно меньше толщины модели (гпл<0,15) и длины трещины (Гпл<0,025 ). В противном случае неустойчивость трещины исследуется в рамках нелинейной механики разрушения, предполагающей наличие в кон- [c.122]

Численные исследования нелинейной системы уравнений моментов показали [2], что из устойчивости в малом следует асимптотическая устойчивость в целом а в случае неустойчивости в малом в системе устанавливается колебательный процесс одной определенной конечной амплитуды. На рис. 4.2 показаны рассчитанные на ЭВМ [2] при различных значениях m переходные процессы изменения концентрации в кристаллизаторе в устойчивой (кривые /, 2) и неустойчивой (3—5) зонах. Из формы кривых 4, 5 видно, что в случае неустойчивости состояния стационарности вне зависимости от начальных условий в системе самопроизвольно устанавливались нелинейные колебания определенного периода и амплитуды. Изменение характеристик процесса в автоколебательном режиме изображено на рис. 4.3. [c.334]

Множественность стационарных решений. Опуская в (25), (26) производные но времени, получаем для рассматриваемых моделей нелинейные краевые задачи. Для их решения оказался удобным метод пристрелки, поскольку на правом конце задано только одно граничное условие. Этот метод позволяет найти все стационарные режимы, как устойчивые, так и неустойчивые. Выше было показано, что стационарные решения, найденные по двум моделям, асимптотически сближаются при В >. Расчеты с параметрами моделей из области их практических значений показывают, что эта близость сохраняется и при реальных значениях параметра В . На рис. 10 представлены некоторые результаты расчетов, проведенных в [25, 26]. [c.58]

Следовательно, рассматриваемые средние стационарные режимы неустойчивы, так как самое правое собственное число положительно. Неустойчивость этих режимов подтверждается и прямыми расчетами исходной нестационарной нелинейной системы (1) — (10) при < = < В зависимости от выбора начальных данных (10) решение при сходилось либо к нижнему, либо к верхнему стационарному устойчивому решению. [c.123]

Данная гибридная ЭС использует различные алгоритмические методы (для наблюдения управления, оценки параметров, настройки регуляторов) с качественным описанием задач управления (например, основные трудности управления из-за нелинейности или динамической неустойчивости). [c.255]

Траектории, показанные на рис. 1П-6, являются предельными циклами. Они замкнуты и характеризуют циклический нелинейный режим с неустойчивым фокусом все траектории, начинающиеся в этой области, будут спиралями отходить к предельному циклу пока не сольются с ним. Эти предельные циклы называются устойчивыми, поскольку траектории, начинающиеся вне пределов ограниченной области будут тоже сходиться к такому же циклу. Следует заметить, что термин устойчивость был уже использован в двух контекстах, чтобы описать совершенно различные свойства в первом случае — для стационарного состояния и во втором — для ряда состояний, которые образуют предельный цикл. Этот термин требует более четкого определения, что и будет сделано в следующей главе. [c.59]

Изложенные выше рассуждения окажутся неверными, если линеаризованная система имеет равные нулю собственные значения. Этот предельный случай не может быть, строго говоря, назван неустойчивым. Однако теперь (IV, 29) удовлетворяется только при ц = 0. Следовательно, у-область по (IV, 33а) оказывается равной нулю. Полная нелинейная система может быть в этом случае устойчивой или неустойчивой, ее нельзя исследовать С помощью линеаризации. Таким образом, нелинейная система (IV, 23) имеет устойчивое в малом стационарное состояние, если решение аппроксимированного уравнения (IV, 22) асимптотически устойчиво и если применимо условие (IV, 24). [c.81]

На практике учет указанной нелинейности часто проводится в рамках численного решения задачи в одномерной постановке, однако при этом теряются многие существенные детали. Неоднородность температуры по сечению теплообменника ведет к неоднородности потока. Если температурная зависимость коэффициентов сопротивления такова, что сопротивление оказывается большим в областях, где скорость течения меньше, то возможно возникновение неустойчивости. Подобные эффекты можно обнаружить только при проведении двумерных или трехмерных расчетов. [c.37]

Кроме ошибок аппроксимации, существует другой источник ошибок численного решения, связанный с погрешностью вычислений. В зависимости от вычислительного алгоритма могут уменьшаться и возрастать ошибки округления. В случае возрастания говорят, что вычислительный метод неустойчив, в случае убывания — устойчив. Для решения задач используют устойчивые методы. Один и тот же алгоритм может быть устойчив при выполнении некоторых условий и неустойчив при их нарушении. Условие неустойчивости является внутренним свойством разностной схемы и не связано с исходной дифференциальной задачей. Исследование устойчивости обычно проводится для линейных задач с постоянными коэффициентами, и результаты исследования, полученные для линейных систем, переносят на нелинейные уравнения газовой динамики, но при этом надо иметь в виду, что [c.271]

Для координационных соединений при решении вопроса о сте-реохимическом расположении лигандов вокруг центрального иона необходимо учитывать теорему Яна-Теллера если нелинейная система имеет вырожденные энергетические уровни в основном состоянии, то такое состояние будет неустойчивым, а в системе возникнут искажения, стремящиеся снять вырождение и сделать [c.119]

В работах [31—33] Пригожин рисует картину поведения систем с большим числом взаимодействующих субъединиц (например, молекул А и В) в одном случае вблизи состояния равновесия, а в другом— при достаточно большом удалении от равновесия. В первом случае система обладает определенной устойчивостью, иммунитетом к возмущениям, и если эти возмущения оказываются не очень сильными, она возвращается к состоянию равновесия, ее структура разрушается. Во втором случае, при удалении от равновесия, система теряет свой иммунитет к возмущениям , становится неустойчивой, и если эти возмущения (например, химические реакции с нелинейными стадиями, в частности автокатализ) оказываются достаточно сильными, то система достигает точки бифуркации (разветвления), в которой отклик системы на возмущение становится неоднозначным, возврат к начальным условиям не обязательным. В таком случае происходит необратимый переход системы в новое, когерентное, состояние система приобретает устойчивую диссипативную структуру (т. е. структуру, образованную за счет диссипации, рассеяния энергии). Суть когерентности здесь выражается все в той же коллективной стратегии поведения субъединиц системы. Система может далее пройти вторую точку бифуркации, третью и т. д. [c.215]

Молекулы или ионы координационных соединений обладают обычно довольно высокой симметрией, а именно свойства симметрии лежат в основе теоремы Яна — Теллера, сформулированной ими в 1937 г. вырожденное электронное состояние всякой нелинейной молекулярной системы является неустойчивым, вследствие чего такая система подвергается некоторому искажению, понижающему ее симметрию и снимающему вырождение. [c.193]

Принята синусоидальная форма кривых тока и напряжения дуги. Между тем дуга является нелинейным элементом, генерирующим высшие гармоники в сеть. В результате увеличиваются индуктивные сопротивления контура по сравнению с значениями, рассчитанными или измеренными при синусоидальном токе. Особенно это заметно в начальный период плавки, когда дуга горит неустойчиво. В мощных печах это явление сказывается меньше, чем в печах малой емкости. [c.204]

Так как уравнения статики часто корректируются и видоизменяются, то программу решения задачи на ЦВМ целесообразно составлять в форме набора подпрограмм. Принципиальных трудностей при решении на ЦВМ конечных уравнений не возникает. Интегрирование на ЦВМ линейных и нелинейных дифференциальных уравнений осуществляется разностными методами. Для некоторых видов уравнений при неудачном выборе шагов интегрирования имеется опасность получения неустойчивых решений. [c.43]

Подавляющее большинство процессов химической, нефтехимической и микробиологической промышленности осуществляется в присутствии катализаторов, причем многие из них основаны на принципах гетерогенного катализа. Отличительной особенностью гетерогенно-каталитических процессов является их исключительная сложность, обусловленная многомерностью и нелинейностью рассматриваемых объектов, распределенностью параметров в пространстве и неременностью во времени, наличием случайных некотролируемых возмущений, нарушениями структуры и характера протекания процесса, осложнениями, связанными с отравлением катализатора, множественностью стационарных состояний, температурной и концентрационной неустойчивостью и т. и. [c.3]

Анализ термодинамических критериев эволюции и стабильности подтверждает напратвлепный характер и устойчивость конечного состояния про-цесса селекции в модели Эйгена. Анализ термодинамических свойств автока-талитических уравнений, описывающих динамику превращений в гиперциклах Эйгена, провести труднее в силу нелинейного характера кинетики. Оказывается, что для двух- и трехчленных циклов стационарное состояние асимптотически устойчиво, в то время как стационарная точка четырехчленного цикла представляет собой центр , т. е. находится на грани устойчивости. Пятичленный цикл дает неустойчивое стационарное состояние с возможностью выхода из него на траекторию предельного цикла [85]. [c.312]

Выдвинутая синергетикой концепция самоорганизации служит естественно-научным уточнением принципа самодвижения и развития материи. В противовес классической механике, синергетика рассматривает материю как массу, приводимую в движение внешней силой. В синергетике выявляется, что при определенных условиях и системы неорганической природы способны к самоорганизации. В отличие от равновесной термодинамики, признавшей эволюцию только в сторону увеличения энтропии системы, то есть беспорядка, хаоса и дезорганизации, синергетика впервые раскрыла механизм возникновения порядка через флуктуации, то есть отклонения системы от некоторого среднего состояния. Флуктуации усиливаются за счет нерав-новесности, расшатывают прежнюю структуру и приводят к новой из беспорядка возникает порядок. Самоорганизующиеся процессы характеризуются такими диалектическими противоречивыми тенденциями, как неустойчивость и устойчивость, дезорганизация и организация, беспорядок и порядок. По мере выявления общих принципов самоорганизации становится возможным строить более адекватные модели синергетики, которые имеют нелинейный характер, так как учитывают качественные изменения. Синергетика уточняет представления о динамическом характере реальных структур и систем и связанных с ними процессов развития, раскрывает рост упорядоченности и иерархической сложности самоорганизующихся систем на каждом этапе эволюции материи. Ее результаты имеют большое значение для установления связи между живой и неживой материей, а также раскрЕлтия процессов возникновения жизни на земле [179-185]. [c.169]

Известно, что при течении жидких систем турбулентность является следствием быстрых неоднородных потоков. В этих случаях исчезает корреляция между движением отдельных частей системы. Более того, система теряет информацию о начальных условиях, что практически исключает возможность предсказания дальнейшего развития процессов превращения нефтяной системы. Впрочем, явления турбулиза-ции могут проявляться в любых условиях существования нефтяной дисперсной системы, если имеется даже слабая возможность образования локальных неустойчивостей. Сравнительно ярко турбулентность может проявляться в структурных преобразованиях в нефтяных системах при интенсивном воздействии на них, например, в термических процессах превращения нефтяного сырья, при формировании структуры коксующейся массы тяжелого нефтяного остатка при высоких температурах и т.п. Возникающие при этом нелинейные эффекты могут существенно отражаться на параметрах технологических процессов. Изучение возможных закономерностей и условий проявления указанных нелинейных эффектов является одной из перспективных фундаментальных проблем нефтепереработки. [c.189]

Из приведенных выше рассуждений следует необходимым условием неустойчивости стационарного состояния химически реакционноспособной системы является наличие как минимум одной элементарной химической реакции, которая осуществляется вдали от парциального термодинамического равновесия (т.е. является кинетически необратимой — см. разд. 18.4.1) и которая нелинейна по отношению ко внутренним переменным (т е. эта реакция должна иметь более чем первый порядок в отношении взаимодействующих интермедиатов). [c.367]

Как уже отмечалось, диссипативные структуры возникают лишь в сильнонеравновесных многочастичных системах, состояние которых описывается нелинейными уравнениями для макроскопических величин. Для описания возникновения ячеек Бенара в жидкости используют нелинейные дифференциальные уравнения гидродинамики с анализом неустойчивости решений этих уравнений по Ляпунову. Исследования показывают, что при а7> АГ р состояние системы, исходно соответствующее покоящейся жидкости с обычным режимом теплопередачи, становится неустойчивым, и жидкость переходит в новый устойчивый конвекционный режим. [c.378]

Явления самоорганизации, наблюдаемые при неустойчивости стационарного состояния и приводящие к образованию временных и пространственно-временных диссипативных структур, могут возникать при протекании только неустойчивых нелинейных брутто-реакций, в которых, как было показано в разд. 18.4.2, хотя бы одна из элементарных реакций является кинетически необратимой и одновременно нелинейной по интермедиатам. Четкие минимально достаточные требования к схеме процесса, в котором возникают временные неустойчивости, пока не сформулированы. Однако во всех известных к настоящему времени примерах таких реакций скорость образования продукта реакции на одной из промежуточных стадий как минимум квадратично зависит от концентраций интермедиатов. [c.384]

Об этом говорит теорема Яна — Теллера Если нелинейная система имеет вырожденные энергетические уровни в основном состоянии, то такое состояние будет неустойчивым, и в системе возникнут искажения, стремящиеся снять вырождение и сделать один из уровней более устойчивым [к-25]. Примером могут служить комплексы иона с шестью одинаковыми лигандами. Электронная структура иона в октаэдрическом поле шести лигандов состоит из двух уровней (/2,,) и (е,.) Заселение высшего уровня (е У осуществляется двумя способами х и ( г=)Ч х > ) > т. е. основное электронное состояние дважды вырождено. Согласно теореме Яна — Теллера при этом октаэдр СиХб не будет стабильным и исказится, перейдя в конфигурацию тетрагональной бипирамиды с четырьмя короткими связями Си—в плоскости хоу и двумя длинными связями Си— Х, направленными вдоль оси 2. В поле тетрагональной симметрии вырождение снимается, энергии d-J- nd y2-орбиталей уже не равны (см. рис. 102). На высшей Орбитали находится теперь один электрон, а на более низкой — два электрона вместо трех электронов на высшем уровне (е ) в октаэдре. Поэтому электронная энергия системы понижается, и ядерная конфигурация тетрагональной [c.244]

Ранее для сисгем с химическими реакциями методом линейного анализа устойчивости бьшо показано, что простейшие поверхностные химические реакции первого порядка могут порождать межфазную неустойчивость, когда реагентом являегся по-верхностно-активное вещество (ПАВ). Поскольку кинетическая схема химических реакций в реальных химико-технологических процессах хемосорбции газов является очень сложной (например, при поглощении углекислого газа водными растворами щелочей или этиламинов она включает от двенадцати до восьмидесяти стадий), важно обобщить результаты анализа хемокапиллярной устойчивости, полу генные для простейшей химической реакции, на случай многокомпонентной реакции с нелинейной кинетической зависимостью ее скорости от концентрации. [c.30]

В области гетерогенных равновесий диаграммы систем жидкость-пар и жидкость - твердое тело характеризуются наличием особых точек различной компонентности, что налагает определенные ограничения на процессы ректификации и кристаллизации. Синтез сложных технологических схем, как однородных, так и неоднородных, позволяет выявить оптимальные схемы. Все перечисленные объекты исследования нелинейны, зачастую имеют прямые и обратные связи, и их моделирование впрямую исключает возможность обобщения полученных результатов. Привлечение различных топологических приемов и методов, основанных на топологических инвариантах, позволяет создать общую качественную теорию в области колебательных химических реакций, где в параметрическом пространстве наряду со стационарными точками наблюдают, устойчивые, неустойчивые, а также устойчиво-неустойчивые предельные циклы. В области гетерогенных равновесий появляется возможность создать общую теорию распределения стационарных точек и сепаратрических многообразий, ограничивающих развитие процессов ректификации и кристаллизации и разработать алгоритмы синтеза оптимальных схем разделения. [c.57]