Ортогональность форм колебаний

Используя свойство (10-31) ортогональности форм колебаний, можно представить произвольную функцию г з (г) в виде ряда по собственным функциям [c.214]

Таким образом, с учетом ортогональности нормальных форм колебаний система (3.135) приобретает вид [c.136]

Соотношения между амплитудами 7 = а х/оц и 72 = определяем, подставив в уравнения (4.3) при е = = О функции U] = UIJ sin (ujt + aj) фу = a j sin (u>jt -j- aj) ( = 1, 2). В результате получаем 7 = = ( i2 i — i)/ 2 72 = %2 = = (m2(o — ) i, йуу = 12 = 1- Таким образом, с учетом ортогональности нормальных форм колебаний система (4.3) принимает вид [c.131]

Чтобы доказать известное свойство ортогональности форм свободных колебаний, выражаемое с учетом моментов сил инерции равенством [c.213]

Таким образом, если первая форма и частота колебаний i (г) и Pj = (z) определены, то для расчета по (10-20) второй частоты формами колебаний (z) и Ра (2) следует задаваться так, чтобы они были ортогональны к первой форме. Третья форма должна быть ортогональна к первой, второй и т. д. Операцию, обеспечивающую вьшолнение этих условий, называют очищением (высших форм от низших). [c.213]

Отметим, что для симметричного вала функция / (г) по (10-77) также симметрична и, следовательно, ортогональна к кососимметричным (второй, четвертой и т. д.) формам колебаний. Поэтому [c.233]

Для расчета второй и более высоких частот нужно воспользоваться свойством ортогональности форм свободных колебаний [c.243]

Следствием этого является замечательное свойство ортогональности собственных колебаний -й и /-й формы при Ф / [c.15]

Характеристическим набором считается такой набор координат, для которого матрица Ь принимает наиболее диагональную форму , т. е. недиагональные матричные элементы должны быть малыми по сравнению с диагональными. При этом указывается, что такая матрица Ь отвечает физически наиболее значимому или близкому к нему набору координат, так как каждой экспериментальной частоте соответствует определенная максимальная компонента формы колебания, стоящая на главной диагонали матрицы Ь. В качестве матрицы, обладающей наиболее диагональной формой, принимается матрица Ь, след которой максимален, так как сумма квадратов элементов матриц, связанных друг с другом ортогональными преобразованиями, — постоянная величина, т. е. не зависит от выбора С. Действительно, легко показать [5], что [c.95]

Отсюда следует, что Л ЬГ ОА = Сх —ортогональная матрица. Для формы колебаний получаем выражение [c.160]

L " Li, Li и Ьг — формы колебаний соответственно первой и второй молекул. Получим удобные выражения для матриц форм колебаний. Определим ортогональную матрицу D такую, что [c.160]

Замечания о собственных колебаниях. Вынужденные колебания. Однородное и неоднородное интегральное уравнение, альтернатива. Случай, когда внешняя сила ортогональна к собственному колебанию. Альтернатива в случае дискретной системы. Нарастающие решения при резонансе. Форма колебаний при очень малой частоте внешней силы. Форма колебаний вблизи резонанса. Зависимость амплитуды вынужденного колебания от формы [c.482]

Таким образом, если бы было известно распределение небаланса 8 (г) вдоль вала, то знания нескольких форм и частот свободных колебаний было бы достаточно для определения амплитуд вынужденных колебаний вала. Если, например, распределение небаланса совпадает с к-й формой свободных колебаний, т. е. 8 (г) = Л% (г), где А — постоянная, то по (10-66), в силу условия ортогональности (10-31), имеем [c.229]

Д)инамические спектральные методы применяют разложение динамического решения и( )) линеаризованного уравнения (3.59) по ортогональным формам собственных колебаний ( и], [c.113]

Введем в рассмотрение пространство силовых постоянных — /с-мер-ное пространство к — число силовых постоянных) с ортогональным базисом, по каждой из координатных осей которого откладывается значение одной из силовых постоянных. Любая пробная потенциальная функция порядка к будет представлена точкой в этом пространстве. Потенциальная функция, соответствуюш ая вековому уравнению второго порядка, содержит три силовых постоянных, и пространство силовых постоянных в этом случае — обычное трехмерное пространство. При использовании данных о спектре одной изотопной модификации молекулы обратная колебательная задача оказывается неопределенной и имеет бесконечное множество решений. Важно отметить, однако, что этот факт не означает полной неопределенности в значениях силовых постоянных. В рассматриваемом случае множество решений — это множество точек на линии второго порядка — эллипсе, форма которого и положение в пространстве определяются значениями частот и кинематических параметров молекулы (рис. 2,, <г). Таким образом, хотя по данным о двух частотах не представляется возможным однозначно определить потенциальную функцию, они позволяют установить диапазон изменений и функциональную зависимость между возможными значениями силовых постоянных. В рассматриваемом случае единственное решение, казалось бы, лгожет быть получено с привлечением данных о частотах одной изотоп-замещенной молекулы. Множество решений для изотоп-замещенной молекулы представлено эллипсом, который не совпадает с первым, поскольку частоты колебаний и значения кинематических параметров, опреде-ляюш ие положение и форму эллипсов, в обоих молекулах различны. Поскольку изотоп-замеш енные молекулы обладают одинаковыми потенциальными функциями, эллипсы, изображаюш,ие множества решений, долн ны пересекаться в точке, соответствующей истинной потенциальной функции (рис. 2, б), однако в действительности возможности такого метода могут быть существенно ограничены погрешностями экспериментального определения частот и структуры молекулы, что должно приводить к размытию линий, изображающих множества. При этом точка их пересечения превращается в область. Размеры области пересечения зависят как от погрешности определения исходных данных ( толщины изображающих линий), так и от взаимного смещения эллипсов (величины [c.16]

Метод интегралов действия. Рассмотрим теперь движение в системе отсчета, в которой периодическое движение естественным образом распадается на вращение вокруг силовой линии и колебание вдоль, нее. Ортогональная система координат строится из линий постоянного потенциала V и силовых линий = — Из (5.47) имеем sin Х/(4я 2) = onst, что в нормированной форме имеет вид [c.233]

Мы можем рассматривать X и V как компоненты вежтора на плоскости, характеризующего распределение внешней силы, а а и Р в формуле (5) — как компоненты вектора, определяющего форму нормального колебания. Условие (6) есть условие перпендикулярности (ортогональности) этих векторов. Таким образом, резонанс не наступает, если вектор, соответствующий силе, ортогонален к вектору, соответствующему собственному колебанию. В такой форме можно обобщить этот результат на п степеней свободы. [c.274]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология