Матрица сингулярная

В настоящее время проекцию данных осуществляют в основном с помощью методов, называемых анализом главных компонент (РСА), факторным анализом (ГА), сингулярным разложением (ЗУБ) и проекцией на собственные векторы или ранговой аннигиляцией. Все эти методы очень близки между собой. Различия в их названиях—во многом лишь дань традиции (в разных областях науки укоренились разные названия). Кроме того, существуют и некоторые различия в применяемых математических алгоритмах, а именно в форме представления дисперсионной матрицы, характере основных допущений, способах преобразования массива данных и интерпретации результатов (на основе анализа собственных значений или сингулярных чисел) и т. д. [c.522]

Соотношение (11,205) показывает, что если матрица сингулярна при некотором г, т. е. существует линейная зависимость между ее столбцами, определяющими, таким образом, некоторое линейное подпространство 7V пространства E , то все последующие члены последовательности [xi] содержатся в подпространстве Xi -f TV,. Кроме того, если последовательность л , сходится к некоторому х Е , то (11,205) дает [c.77]

Подынтегральное выражение является функцией только скалярных произведений сигналов, а физические параметры входят лишь в виде отношения E/No в пределы интегрирования. Выражение для вероятности ошибки Рош (т), соответствующее случаю, когда передан сигнал s, ( ), получается из (8.8) путем замены индекса 1 на т. Наконец, для определения общей вероятности ошибки используется (8.4). Конечно, это выражение применимо только для несингулярных корреляционных матриц. Сингулярные случаи будут рассмотрены особо. [c.271]

Некоторыми исследователями предлагается использовать тепловой баланс на стадии 1 (дефлегматор) для температурной спецификации любой стадии /, т. е. Ei = Г, - Т . Но поскольку все производные Е, = Т/-Т (при / > 1) относительно неизвестных на стадии 1 равны нулю, матрица В] может быть сингулярной. [c.252]

Итак, при появлении сингулярной матрицы в последовательности (Я,) алгоритм минимизации ведет, вообще говоря, к неверному результату — к минимуму функции в некотором подпространстве пространства E . [c.77]

Примем следующее определение алгоритм (11,204) называется устойчивым, если в последовательности Я, отсутствуют сингулярные матрицы. [c.77]

Для хорошо обусловленных матриц число обусловленности близко к единице. Для сингулярных матриц оно равно бесконечности, а для плохо обусловленных весьма велико. [c.547]

Упражнение. Запишите уравнение Крамерса (8.7.4) в форме Ланжевена. Упражнение. Запишите (8.4.11) как многомерное уравнение Ланжевена и примените флуктуационно-диссипативную теорему для получения матрицы Г,у. Упражнение. Трудность с интерпретацией уравнения (8.8.15) возникает из-за сингулярной природы L (/). Покажите, что между (8.8.7) и (8.8.18) нет разницы, если функция ( ) ограничена. Однако в этом случае (8.8.3), конечно же, не справедливо, а у (t) не может быть марковским процессом. [c.227]

В 5 /0-разложении колонки матриц и V называют левыми и правыми (собственными) векторами. Если матрица X —квадратная (М = К) и симметричная, то и = V, левые и правые векторы совпадают с собственными векторами X, а сингулярные числа — с собственными значениями X. [c.524]

Векторы-столбцы матрицы II представляют собой векторы-столбцы матрицы Т из уравнения (12.5-4), нормированные к единичной длине. У — диагональная матрица, содержащая сингулярные числа (квадратные корни из собственных значений матрицы Х Х). В общем случае (если не пренебрегать малыми сингулярными числами) размерность матрицы У (Л) равна N. Матрица V совпадает с Р. [c.524]

Метод P R. Основы метода P R (регрессии на главных компонентах) были изложены в этом разделе ранее при рассмотрении алгоритма сингулярного разложения (SVD). Для многокомпонентного анализа матрицу оптических плотностей А представляют в следущем виде (см. уравнение 12.5-57) [c.562]

Сингулярными называются матрицы, между строками (или столбцами) которых существует линейная зависимость. За счет погрешностей округления, возникающих в ходе вычислений, сингулярными могут оказаться и матрицы, между строками которых нет строгой линейной зависимости. [c.547]

Регрессию на главных компонентах лучше всего осуществить с использованием сингулярного разложения (SVD). При этом исходную матрицу X представляют в виде произведения двух ортонормированных (I/ и V) и диагональной (W) матриц (см. уравнение 12.5-5) [c.548]

Матрица U, содержащая собственные векторы, является квадратной и ортогональной. Ее размерность равна К у. К или N х N в зависимости от того, каким способом, Q или R, она получена. Для различных видов диагональной матрицы наборы собственных векторов различаются. Если для матрицы Rq обозначить матрицу собственных векторов как V, а для матрицы Дд — как U, то можно записать следующее соотношение между матрицами, уже известное нам из сингулярного разложения [c.554]

Для матриц более высокой размерности обращение осуществляют с помощью специального компьютерного алгоритма. Обращение матрицы — операция, очень чувствительная к вычислительным погрешностям. Для повышения устойчивости решений используют особые алгоритмы, например, сингулярное разложение (см. разд. 12.5.2). [c.696]

Следует заметить, что некоторые тонкие особенности укладки с-линий, связанные с деформацией этих линий, их 5-образностью, их касанием сингулярных прямых в особых точках, не охватываются понятием связи особых точек. Однако, как показано в главе П1, эти тонкие особенности, вместе с тем и не оказывают влияния на результаты процесса ректификации в режиме бесконечной разделительной способности. Понятие связи позволяет перейти к понятию структурной матрицы связей [17, 18, 20, 22—26]. [c.20]

Обратим внимание на то, что матрица м(eJJ) может быть сингулярной, Этот факт соответствует некорректности исходной задачи (1)-(3). Регуляризация происходит не только за счет параметризации, но и вследствие использования априорных сведений (5). [c.13]

Если квадратная матрица не имеет обратной, то она называется сингулярной. Например, если в системе уравнений второго порядка одно уравнение получается из другого умножением на некоторое число, то матрица коэффициентов будет сингулярной. Так, матрица системы [c.310]

Следует отметить, что вследствие неоднозначности нахождения систем собственных векторов матриц и [6] как процедура сингулярного разложения произвольной прямоугольной матрицы в общем случае, так и процедура факторизации данных в частности не являются однозначными. [c.70]

Естественно, что отсутствие четкого критерия достаточности и формальных методов получения порога значительно ограничивает возможности данного метода, особенно когда матрица данных плохо обусловлена и собственные значения 7 образуют плавную последовательность. Мерой обусловленности матрицы в данном случае может служить величина отношения максимального сингулярного значения к минимальному. [c.76]

Поскольку в уравнение (V.24) входит градиент матрицы Hjp, для устранения сингулярности при гу р О в расчетах БД тензор Я несколько модифицируется [148]. [c.139]

Для решения систем линейных уравнений в классическом МНК можно применять традиционные способы исключения методом Гаусса или Гаусса-Жордана. Однако более эффективно предварительное разложение матрицы X, например с применением таких алгоритмов, как разложение Хаусхолдера, Ш-разложение или сингулярное (8УВ) разложение. Использование одного из наиболее мощных алгоритмов, ЗУВ-разложения, рассмотрено ниже. [c.547]

Хотя ранг матрицы [/ х - /°] равен я, / х) может быть пло-хообусловленной или сингулярной. Рассмотрим, как следует поступать в этом случае. [c.271]

Заметим, что если с - х — сингулярная матрица, то замкнутые выражения следует понимать лишь как формальную запись бесконечных рядов. Очевидно, что последние имеют характер всюду сходящихся рядов. Отметпм также соотношения [c.94]

Помимо К1РАЬ8, существуют другие алгоритмы разложения матриц, такие, как сингулярное разложение (ЗУБ) или метод бидиагонализации (дробный или блочный метод наименьших квадратов, РЬЗ). [c.524]

Сравним алгоритмы ШРАЬЗ и ЗУБ. Название сингулярное разложение происходит от термина сингулярное число , представляющее собой корень квадратный из собственного значения симметризованной матрицы. Таким образом, метод ЗУБ — один из вариантов методов анализа собственных значений. При сингулярном разложении исходную матрицу представляют в следующем виде [c.524]

Здесь diag — диагональная матрица, элементы которой равны 1/wu при uJji О и равны нулю при -Шц = 0. В случае матрицы полного ранга все сингулярные числа Wu отличны от нуля и решение совпадает с решением, полученным классическим МНК. В то же время плохо обусловленные матрицы могут иметь несколько близких к нулю сингулярных чисел. В методе регрессии на главных компонентах такие числа при вычислении псевдообратной матрицы приравнивают нулю. Таким образом, основная задача рассматриваемого метода как раз и состоит в том, чтобы из всего набора сингулярных чисел выбрать небольшое подмножество, обеспечивающее наилучшую предсказывающую способность. [c.549]

Недостаток метода if-мaтpицы состоит в том, что все светопоглощающие компоненты образца должны быть известны и использованы в процедуре градуировки, Как мы увидим позднее, методы так называемой мягкой градуировки позволяют проводить анализ и в присутствии неизвестных поглощающих примесей. Еще один недостаток обусловлен тем, что как на стадии градуировки, так и непосредственно на стадии анализа необходимо проводить обращение матрицы. С чисто вычислительной точки зрения эта операция не представляет проблемы. Однако при значительном сходстве спектров компонентов матрица коэффициентов поглощения может быть плохо обусловлена, и ее обращение (см. уравнение 12.5-103) может оказаться невозможным из-за того, что ее сингулярные числа (собственные значения) близки к нулю. Эту [c.560]

Итерационная процедура в) позволяет избавиться от обращения плохо обусловленных матриц или сингулярных матриц. Однако в этой процедуре невозможно использовать регторентные формулы из [I ], которые при невыроященных оптимальных планах резко сокращают объем вычислений. От этого недостатка свободна следущая регуляризированная процедура [c.8]

Для общих расчетов при помощи обсуждаемых здесь соотношений служат функции и (уравнение 4.6), чтобы определить нулевые точки. Выбор переменных (величин х) может осуществляться для различных ограничительных условий в соответствии с практической задачей. Для решения пригоден, например, метод Ньютона, который позволяет получать лучшие результаты. Проблема состоит в том, что для получения новых значений переменных х расчеты детерминант не отвечают сингулярной матрице Якоби (матрица производных дР1дх). Однако не исключается появление сингулярных точек, если начальные значения заметно удалены от области расслоения или лежат внутри гетерогенной области, прежде всего в нестабильной области. [c.108]

В разделе 5.3.1 рассматривалось множество химических реакций, из которых только р реакций линейно независимы. Критерием независимости является то, что соответствуЮшдя матрица (у) не является сингулярной (т.е. по крайней мере один [c.138]

Минором матрицы порядка р называется определитель любой квадратной матрицы, стоящей на пересечении некоторых р строк и р столбцов матрицы А наибольший из порядков ненуле вых миноров называется рангом матрицы А. Матрица является сингулярной (т.е. определитель равен нулю), если ее строки и столбцы линейно зависимы (см. (1.21)) в этом случае ранг матрицы меньше ее порядка. Если т строк или столбцов матрицы А линейно независимы, то любой минор, построенный на этих строках (столбцах), отличен от нуля и райг матрицы не меньше чем т. [c.313]

В основе теории ФА лежит более общее понятие о базисной структуре или сингулярном разложении произвольной прямоугольной матрицы [3]. Пусть X — произвольная прямоугольная вещесгвенная матрица данных размерности NXM, где N>M, и пусть Ь — ранг матрицы X. Теорема о базисной структуре или сингулярном разложении матрицы утверждает, что [c.68]

Сингулярное разложение прямоугольно11 матрицы, записанное в форме [c.70]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология