Ланжевена уравнение

Измерив 8 при двух температурах можио определить с помощью уравнения Ланжевена — Дебая а и Есть и другие методы экспериментального определения а. Дипольные моменты некоторых молекул приведены в табл. 1.9. [c.71]

Температурную зависимость относительной диэлектрической проницаемости вещества с выражает уравнение Ланжевена-Дебая [c.76]

При низких частотах экспериментальные значения коэффициентов наклона прекрасно согласуются с теоретическими для самых высоких концентраций это совпадение сохраняется вплоть до частоты, равной 1000 пер/сек. Эту экспериментальную зависимость можно заранее предсказать на основании рассмотрения времени запаздывания Ланжевена [уравнение (254) гл. IV]. Для наиболее разбавленных растворов (с = 10 ) х состав- [c.213]

Необходимость учитывать флюктуации в какой-либо системе вызвана, например, внешним для нее источником (шумом), в частности наложенными гидродинамическими и (или) электродинамическими полями, и привела к формулированию и применению уравнения Ланжевена. [c.45]

В общем виде уравнение Ланжевена имеет вид [c.45]

Уравнение Ланжевена, впервые предложенное для описания движения броуновской частицы — процесса случайных блужданий для этого случая, имеет вид [c.46]

Это предположение эквивалентно утверждению, что распределение X (г) описывается гауссовским законом. Уравнение Ланжевена можно также рассматривать как определение функции X (i). [c.49]

Уравнение Ланжевена представляет собой простой пример стохастического дифференциального уравнения, т. е. дифференциального уравнения, у которого коэффициенты являются случайными процессами с заданными стохастическими свойствами. Оно определяет V (t) как стохастический процесс при условии, что задано также начальное условие. Рассмотрим равновесный ансамбль, состоящий из газа, каждая реализация которого содержит один экземпляр броуновской частицы с начальной скоростью У(0) = У . Для каждой реализации скорость при />0 находят, решая уравнения (8.8.1) [c.220]

Допущение (7.10) автоматически включает в себя утверждение, что стохастический процесс, описываемый с помощью д, есть марковский процесс. Это сильное допущение лишь приближенно выполняется во многих приложениях, однако вероятности переходов / /(д д ) обычно имеют прямую физическую интерпретацию в терминах микроскопических величин - сечения столкновений, квантовомеханические матричные элементы. Отметим, что имеются случаи, когда управляющее уравнение (7.12) выполняется, а приближения Ланжевена и Фоккера-Планка не приводят к правильным результатам. [c.176]

Измерив г при двух температурах, с помощью уравнения Ланжевена-Дебая можно определить а ч ft. Есть и другие методы экспериментального определения ft. [c.76]

Первое слагаемое (в скобках) в уравнении Ланжевена — Дебая отвечает деформационному эффекту, второе — ориентационному эффекту. Последний, очевидно, должен быть тем значительнее, чем по-лярнее молекула, т. е. чем больше л., и чем ниже температура, так как нагревание, усиливая тепловое движение молекул, препятствует их ориентации. В соответствии с уравнением (111.21) при низких температурах преобладает ориентационный эффект, при высоких — деформационный эффект. [c.137]

Составные марковские процессы 190 Глава 8. Уравнения Фоккера — Планка и Ланжевена 195 [c.3]

Как применять метод Ланжевена 228 Глава 9. Разложение основного кинетического уравнения 233 [c.3]

УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА —ПЛАНКА И ЛАНЖЕВЕНА [c.195]

Уравнение Фоккера — Планка является частным случаем основного кинетического уравнения и часто используется как его приближенная форма. Уравнение Ланжевена отличается от уравнения Фоккера— Планка, но математически эквивалентно ему. Оба уравнения оказываются полезными в линейных задачах, хотя для нелинейных систем их использование наталкивается на некоторые трудности. [c.195]

Член, описывающий силу и обладающий свойствами 1—3, называют силой Ланжевена, а выражение (8.8.1) — уравнением Ланжевена. Мы специально включаем в это название свойства (8.8.2) и (8.8.3), потому что уравнение (8.8.1) без какой-либо конкретизации L(t) информации не содержит. [c.220]

Это соотношение является простейшим видом общей флуктуационно-диссипативной теоремы. Так же как и соотношения Эйнштейна, оно получается сопоставлением зависящих от времени флуктуаций, заданных уравнением с равновесным значением, известным из статистической динамики. Физическая же картина такова случайные скачки, описывающиеся силой Ланжевена в (8.8.1), приводят к тому, что V размывается по всей области своих значений, в то время как член, описывающий затухание, подавляет V и стремится обратить его в нуль. Равновесное распределение V возникает как результат действия этих двух противоположных тенденций. [c.221]

MX f (X-x) + Y + ( - ) = - + где К и L — независимые силы Ланжевена. Постройте уравнение Фоккера — Планка. Найдите константы Г для К и L. [c.222]

Уравнение Фоккера — Планка (8.8.8) дает те же значения для первых двух моментов V, что и уравнение Ланжевена (8.8.1) с условиями (8.8.2) и (8.8.3), Тем не менее нельзя утверждать, что они эквивалентны, потому что высшие моменты не согласуются. Хотя уравнение Фоккера —Планка дает определенные выражения для них, уравнение Ланжевена—пока нет, потому что высшие моменты L(i) еще не определены. Поэтому обычно три приведенных выше предположения дополняют еще одним. [c.222]

Упражнение. Процесс Орнштейна —Уленбека (4.3.10) и (4.3.11) удовлетворяет обобщенному уравнению Ланжевена с ядром, обладающим памятью-. [c.224]

Теперь рассмотрим уравнение Ланжевена [c.224]

И наконец, можно надеяться показать, что истинно нелинейное уравнение Ланжевена [c.225]

Упражнение. Запишите уравнение Ланжевена, соответствующее уравнению Фоккера — Планка (8.7.1) для диффузии в силовом поле. [c.227]

Упражнение. Запишите уравнение Крамерса (8.7.4) в форме Ланжевена. Упражнение. Запишите (8.4.11) как многомерное уравнение Ланжевена и примените флуктуационно-диссипативную теорему для получения матрицы Г,у. Упражнение. Трудность с интерпретацией уравнения (8.8.15) возникает из-за сингулярной природы L (/). Покажите, что между (8.8.7) и (8.8.18) нет разницы, если функция ( ) ограничена. Однако в этом случае (8.8.3), конечно же, не справедливо, а у (t) не может быть марковским процессом. [c.227]

Стратегия использования приближения Ланжевена в этих примерах такова. Предположим, имеется система, эволюция которой описывается феноменологически следующим детерминистическим дифференциальным уравнением [c.229]

Это открывает основное направление в приложениях приближения Ланжевена к системам с внутренним шумом, обладающим нелинейным феноменологическим законом. Феноменологическое уравнение (8.9.10) справедливо только в таком приближении, когда флуктуациями можно пренебречь. Это подразумевает, что функция А у) определяется феноменологически с некоторой долей неопределенности порядка размера флуктуаций. Если бы удалось вывести определенный вид А (у) из теории или из эксперимента, в котором флуктуациями пренебрегалось, то это не могло бы служить достаточным основанием для того, чтобы постулировать, что именно этот вид А (у) следует использовать в (8.9.2). Между ними может быть небольшое расхождение, значение которого совпадает с значением флуктуаций. На это можно не обращать внимания в макроскопическом законе, но в уравнении для самих флуктуаций такой реакцией пренебречь нельзя. Расхождение между (8.9.1) и (8.9.3) относится как раз к такому типу. [c.230]

Возвращаясь к нашему описанию приближения Ланжевена, отметим, что оно не всегда приводит к квазилинейному уравнению Ланжевена. Физическое рассмотрение часто подсказывает, что значения флуктуаций должны зависеть от значения у. Например, если у — анодный ток в вакуумной трубке, то можно ожидать, что флуктуации числа электронов, попадающих на анод, окажутся порядка корня [c.230]

Кирщвинк (Kirs hvink, 1981), используя данные о поведении пчел, получил косвенные свидетельства в пользу магниторецепции, основанной на использовании постоянных магнитов со свободным вращением. Он показал, что точное п. выстраивания горизонтального танца пчел по направлениям стран света описывается функцией Ланжевена [уравнение (1)]. В эту функцию входя I два подгоночных параметра, но один из них, х/кТ, можно оценил,. в1,1чис 1ив магнитный момент отдельного магнита. Оказалось, что значение момента магнетитного кристалла объемом 10"см , равным объему однодоменной гранулы, приводит к результатам, хорошо согласующимся с наблюдаемой ориентацией танца. Такая внутренняя согласованность параметров не может служить прямым доказательством существования магнитов со свободным вращением, однако она является веским доводом в пользу данной гипотезы. [c.316]

Таким образом, конденсатор в среде вещества имеет больший, запас энергии, чем п вакууме. Это обусловлено тем, что под действием поля происходит ориентация диполей и деформация молекул вещества. Первый эффект зависит от температуры, второй — не зависит. Из температурной зависимости е находят ц с помощью уравнения Ланжевена-Дебая, связывающего температурную зависимость диэлектрической проницаемости и дииольный момеит [c.71]

Насколько позволил ограниченный объем книги, освещены также некоторые специальные проблемы и методы расчетов в химической кинетике теория РРКМ, преобразование Лапласа, уравнение Ланжевена, проблема флюктуаций и устойчивости и т. п. [c.6]

Для того чтобы ближе исследовать особенности уравнения Ланжевена, характер и свойства его решения, рассмотрим броуновское движение, для которого оно бь1ло впервые предложено. При этом мы будем помнить, что и для других процессов (в частности, для химических реакций) это уравнение имеет тот же вид и выводы, полученные при рассмотрении броуновского движения, могут быть распространены на любые стохастические процессы такого же типа. [c.45]

Записав уравнение Ланжевена в виде (2.27), мы сделали неявное, но очень важное допущение. Здесь, строго говоря, предположено, что описываемое явление можно разделить на две части, причем в одной из них прерывность событий существенна, а в другой - нет. Хотя это предположение скорее интуитивно, но а posteriori оно оправдывается его успешными применениями. Это существенное обстоятельство сказывается, например, явно при рассмотрении задач звездной динамики. [c.46]

Кинетику химических реакций с учетом турбулентных пульсаций можно рассчитать, если известна временная эволюция одноточечной функции плотности вероятности пульсаций (ФПВП) температуры и концентраций. Обычно ФПВП либо задаются а priori, причем используется нормальное распределение, либо определяются из уравнений движения и диффузии или из уравнения Ланжевена [152] с привлечением эмпирических гипотез. [c.184]

Найдите (,Х (ф и < Л (/) > для заданных X (0), X (0). Покажите, что для значения < Х ( ) 2> совпадают со значениями, дающимися статистической механикой, если Гну связаны соотношением (8.8.7). Упражненне. Допустим, переменные Uv удовлетворяют многомерному уравнению Ланжевена [c.221]

Теперь мы можем показать эквивалентность уравнения Фоккера— Планка уравнению Ланжевена, дополненному предположением 4 следующим образом. В соответствии с (8.8.4) значения V t) являются линейной комбинацией значений, которые L принимает во все предыдущие моменты времени t О - t). Поскольку совместное распределение величин L(t ) является гауссовым, то и V(i) является гауссовым. По этой же причине совместное распределение V (/J, V (f ),. . . является гауссовым. Тогда процесс V (), определенный уравнением (8.8.1) с начальным значением V(0), является гауссовым. С другой стороны, мы знаем, что решение уравнения (8.8.4) с этим начальным значением гауссово. Далее, коэффициенты уравнения (8.8.8) мы выбрали так, чтобы первый и второй моменты обоих гауссианов совпадали. Следовательно, гауссианы тождественно совпадают, что и требовалось доказать. [c.223]

Зто уравнение совпадает с (8.8.15) и, следовательно, не является настоящим уравнением, пока мы не добавим правило интерпретации либо правило Ито, либо Стратоновича. Результаты оказываются разными, а значит, возникает ощущение, что дилемма Ито—Стратоновича имеет физический смысл. Однако, согласно последнему упражнению 8.8, эту разницу можно скомпенсировать изменением А (у), которое, естественно, имеет тот же порядок, что и значение флуктуаций. Как мы видим, приближение Ланжевена дает возможность определить А (у) в (8.9.4), Следовательно, с этой доли неопределенности и противоречие Ито—Стратоновича является артефактом, связанным с неточностью при идентификации А (у) с феноменологической функцией, использованной в (8.9.1). [c.231]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология