Вероятность ошибки первого и второго рода

Отсюда видно, что в зависимости от выбранного уровня значимости можно прийти к различным выводам гипотеза Но была отвергнута в первом случае и принята во втором. Заметьте, однако, что оба этих вывода справедливы В действительности, конечно, утверждение производителя (Но) либо верно, либо нет, но, к сожалению, истинное положение дел нам неизвестно (в противном случае прибегать к статистическим тестам не было бы необходимости). Таким образом, мы можем лишь обсуждать вероятность отклонения Но в случаях, когда она верна или неверна. При а = 0,05 Но была отвергнута. Следовательно, если Но на самом деле верна, существует 5%-ная вероятность ошибки первого рода если же Но неверна, то сделанное нами заключение было правильным. При а = 0,01 Но была принята. В этом случае мы не можем совершить ошибку первого рода, однако если в действительности Но неверна, мы совершаем ошибку второго рода. Вероятность этой ошибки Р(П) мы оценить не можем, поскольку значение генерального среднего неизвестно (в противном случае, опять же, необходимость в проведении теста отпала бы). Очевидно, что с увеличением а вероятность ошибки первого рода Р(1) уменьшается, поскольку диапазон допустимых значений выборочного среднего расширяется. При этом соответственно возрастает вероятность ошибки второго рода (при уменьшении а возрастает 0). Таким образом, при выборе уровня значимости необходимо руководствоваться ценой ошибки первого рода (см. также следующий пример). [c.440]

Аналогично, принятие гипотезы Но, когда она неверна (или отклонение Нх, когда она верна), называется ошибкой второго рода. Ее вероятность (/3) равна площади заштрихованного участка на рис. 12.1-10. Обратите внимание, что с уменьшением а вероятность ошибки первого рода уменьшается, а второго рода — возрастает. Вероятность ошибки второго рода /3 зависит также от разности Т и То чем она больше, тем /3 меньше. При Т = То величина /3 достигает максимального значения, равного 1 — а. Рис. 12.2-11 иллюстрирует возможные варианты принятия-отклонения гипотезы Но (Н1). Во избежание недоразумения следует подчеркнуть, что для любого статистического теста уровень значимости а (например, 5%) характеризует вероятность (1 — а в данном случае 95%) принятия нуль-гипотезы лишь в тех случаях, когда она действительно верна. В общем случае принятие нуль-гипотезы не означает, что ее вероятность равна 1 — а (95%, в нашем примере). [c.438]

Эта вероятность тем меньше, чем выше уровень значимости, так как при этом увеличивается число отвергаемых гипотез. Одну и ту же статистическую гипотезу можно исследовать при помощи различных критериев значимости. Если вероятность ошибки второго рода равна а, то 1—а называют мощностью критерия. На рис. 17 приведены две кривые плотности вероятности случайной величины О, соответствующие двум конкурирующим гипотезам Н (а) и Н б). Если из опыта получается значение О>0 ь отвергается гипотеза Н и принимается альтернативная гипотеза Н, и наоборот, если О<0р. Площадь под кривой плотности вероятности, соответствующей справедливости гипотезы Н вправо от 0р, равна уровню значимости р, т. е. вероятности ошибки первого рода. Площадь под кривой вероятности, соответствующей справедливости Н влево от Пр, равна вероятности ошибки второго рода а, а вправо от ир — мощности критерия. Таким образом, чем больше р, тем больше 1—а. Для проверки гипотезы стремятся из всех возможных критериев вы-.бра ъ тот, у которого при заданном уровне значимости меньше [c.39]

Вероятность ошибки первого рода а равна заштрихованной области под кривой 1, правее 0кр- Заштрихованная область под кривой 2 соответствует ошибке второго рода. Величина х в точке 0кр соответствует критическому значению. [c.17]

При выборе уровня значимости вы можете принять чрезвычайно малые значения а, однако такой выбор приведет к тому, что зона между контрольными пределами станет очень широкой. Желательно иметь относительно узкие интервалы между контрольными пределами, чтобы контрольная карта была чувствительной к изменениям в процессе, т. е. чтобы были малы вероятности ошибки второго рода. Цель выбора а — правильно сбалансировать малость вероятности ошибки первого рода и чувствительность контрольной карты, учитывая связанные с этим затраты. Очень может быть, что эти соображения приведут к различным значениям а для каждого А , Оз и О . Приемлемые варианты выбора могут совпадать с а для большого т, а именно [c.111]

При решении вопроса об обнаружении сигнала возможны ошибки двух типов принятие решения, что сигнал присутствует, когда его нет (ошибка первого рода) принятие решения, что сигнал отсутствует, когда он есть (ошибка второго рода). Примем вероятность ошибки первого рода равной а, а ошибки второго рода — р. Тогда имеем следующие математические зависимости для с и Ьх)-. [c.40]

Из нескольких критериев с фиксированным объемом выборки, обеспечивающих заданные ошибки первого рода а, считают лучшими те, которые имеют наименьшую величину ошибок второго рода /3, а следовательно, наименьшую величину вероятности Ш ф) отвержения основной гипотезы, когда в действительности верна альтернативная гипотеза. Величина Щ(ф) называется мощностью критерия. [c.16]

На выбор множеств а(г), Е1[г) и Е г) помимо (2.1) накладывают ещё следующие условия. Во-первых, необходимо, чтобы вероятность выполнения условий для завершения испытаний была равна единице. Во-вторых, необходимо, чтобы вероятность принятия решений, связанных с забракованием годной и принятием негодной продукции, характеризуемые как и при одноступенчатом контроле ошибками первого и второго рода, не превосходили заданных величин а и / . Последнее означает, что [c.28]

Вальд показал, что наилучшая процедура различения простой гипотезы Ло ф фо относительно простой альтернативы Ai ф — ф z заданными ошибками первого и второго рода а и / определяется так называемым критерием отношения вероятностей. [c.29]

В [1] доказано, что из всех критериев (последовательных и непоследовательных) проверки простой гипотезы относительно единственной простой альтернативы, для которых ошибки первого и второго рода не больше соответственно а м (3, а средняя продолжительность конечна, последовательный критерий отношения вероятностей имеет наименьшую величину функции среднего числа наблюдений. Условия, при которых обеспечиваются заданные ошибки ог и /3, при оптимальном критерии отношения вероятностей определяются неравенствами [c.30]

При проверке гипотез можно совершать ошибки двух типов. Ошибка первого рода состоит в том, что отвергается гипотеза, которая на самом деле верна. Вероятность такой ошибки не больше принятого уровня значимости. Например, гфи р=0,05 можно совершить ошибку первого рода в пяти случаях из ста. Ошибка второго рода состоит в том, что гипотеза принимается, а на самом деле она неверна. Вероятность ошибки второго рода зависит от характера проверяемой гипотезы, от способов проверки и от многих других причин, что сильно усложняет ее оценку. [c.43]

При секвенциальном анализе на основании п наблюдений мы должны сделать выбор между двумя альтернативными гипотезами ц = jIq и ц, = или продолжить наши испытания. Допустим, что вероятность принятия неверной гипотезы [X = j,j, когда в действительности [j,=[iq, меньше некоторой небольшой величины а и соответственно вероятность принятия гипотезы j,== io, когда [д, = [х , меньше некоторой величины р. В первом случае говорят, что мы делаем ошибку первого рода , во втором случае— ошибку второго рода . [c.177]

Одним из главных недостатков этой процедуры является то, что мы можем определить только вероятность отвергнуть нуль-гипотезу Но, когда она верна (ошибка первого рода). Мощность критерия зависит от типа рассматриваемых распределений , но они неизвестны, и поэтому она не может быть вычислена для альтернативной гипотезы. Следовательно, нельзя установить вероятность ошибки второго рода (вероятность того, что нуль-гипотеза Но принята, когда альтернативная гипотеза правильна). Итак, мы можем определить лишь вероятность того, что нормальная работа будет названа неисправной, но не можем указать вероятность того, что неисправная работа не будет обнаружена. [c.73]

Изменение расположения точки 0кр меняет соотношение вероятностей аир. Уменьшение вероятности совершения ошибки первого рода повышает вероятность ошибки второго рода и наоборот. В соответствии с этим и необходимо выбирать величину 0кр. [c.17]

Обеспечение безаварийности системы хранения жидких и газообразных углеводородов имеет первостепенное значение для населения, окружаюшей среды и владельцев хранилища. Прямыми опасностями являются утечки продукта и при неблагоприятном стечении событий - взрыв и пожар. Причинами могут быть внутренние неисправности и внешние воздействия. Первые - это ошибки проектирования, строительства или эксплуатации технологические дефекты, операторские ошибки, отказ оборудования и др. Вторые - близкие взрывы различного происхождения, стихийные бедствия, диверсии и пр. И хотя вероятность событий второго рода невелика, она более значима из-за возможных тяжелых последствий. [c.6]

Положение уровня выбраковки сигнала выбирается таким образом, чтобы вероятности ошибок I и И рода были достаточно малы. Назовем ошибкой второго рода ошибку переоткрытия, т. е. ошибку, в результате которой компонент в пробе обнаружен, когда на самом деле его нет. Иными словами, допустить ошибку второго рода — принять сигнал фона за сигнал искомого компонента. Такая ошибка может возникнуть за счет большой флуктуации фонового сигнала. Вполне очевидно, что вероятность такой ошибки тем меньше, чем выше от среднего фонового сигнала уровень дискриминации и чем ниже шум — размах колебаний фона. Допустить ошибку первого рода — принять сигнал определяемого компонента за сигнал фона, т. е. это ошибка недоот-крытия компонента или ошибка пропуска аналитического сигнала. Поскольку выбраковка сигналов происходит на уровне дискриминации, ошибка I рода тем меньше, чем выше предел обнаружения Ут1п по отношению к уровню дискриминации. Если считать, что сигналы фона и сигналы в непосредственной близости от него распределены по одному закону и их стандартные отклонения приблизительно равны Оу,ф ау.тш, можно положить расстояние между сигналом фона и уровнем дискриминации, определяющим вероятность ошибки II рода, равным расстоянию между пределом обнаружения и уровнем дискриминации, определяющим вероятность ошибки I рода. [c.98]

В этом случае очевидны отрицательные технико-экономические последствия при ошибке первого рода, (забракование кондиционной продукции) они выражаются в неоправданных затратах яа передел, снижение производительности установки, нарушения ритмичной работы предприятия при ошибке второго рода (процуск брака) наносится ущерб в сфере применения нефтепродуктов. Вероятность ненадежного контроля качества тем выше, чем ниже точность метода контроля и ближе значение контролируемого параметра к браковочной границе. Последнее условие реализуется достаточно часто, поскольку выцуск продукции с большим запасом качества невыгоден для поставщика. [c.30]

При разработке словаря неполадок предполагается, что измерения проводятся правильно. Разумеется, измерения могут быть неверными, и, следовательно, таблица решений может показать событие, которое в действительности не появилось. Или же таблица может не показывать событие, которое появилось. Вопрос о том, какое влияние эти ошибки (первого и второго рода, соответственно) оказывают на процесс, должен рассматриваться отдельно для каждого события. Если измерения существенно более надежны, чем сам процесс, то никакие дальнейшие усложнения, вообще говоря, неоправданы. Вместе с тем, если правило показывает, что имеет место аварийная или близкая к ней ситуация, то для уменьшения вероятности ложной тревоги в дерево неполадок могут быть включены дополнительные правила, предусматривающие повторные измерения (либо косвенные измерения). [c.237]

Решение об отбрасывании или принятии статистической гипотезы проводят на основании выборочных измерений. Поэтому не следует исключать возможность ошибки. Если, например, с вероятностью Р отбрасывают гипотезу о том, что два средних значения и х принадлежат к одной и той же генеральной совокупности, то из этого можно сделать вывод о различии этих средних значений. Вероятность того, что оба средних значения все же принадлежат к одной и той же генеральной совокупности, будет а = 1 — Р. Следовательно, можно ввести риск а того, что при использовании критерия X > Л будет отброшена гипотеза, которая в действительности справедлива. Такое ошибочное заключение, возможное во всех 100а% случаев, называют ошибкой первого рода. Напротив, может случиться, что, когда л < Л, проверяемая гипотеза принимается, хотя она не соответствует действительности. Это ошибочное заключение называют ошибкой второго рода. [c.132]

Как и при всякой обработке, здесь возможен ряд осложнений. Во-первых, для улучшения растворения органического вещества нельзя применять нагревание из-за больщой вероятности сопутствующих этому изменений минерального состава и(или) кристалличности выделяемого неорганического материала. Во-вторых, продолжительность этапов центрифугирования должна быть достаточной, для того чтобы большая часть даже самых мелких минеральных частичек могла достичь дна пробирки. Это можно грубо оценить, помещая пробирки перед источником света. Если жидкость прозрачна, и эффект Тиндаля не обнаруживается, значит, большая часть материала осаждена. В-третьих, следует учитывать возможность изменения минеральных фаз под действием отбеливателя. Существует потенциальная опасность окисления части восстановленного железа в магнетите, но опыт показал, что это происходит редко. Исследование таких образцов до и после интенсивного воздействия отбеливателя методом дифракции рентгеновских лучей не обнаружило образование новых минеральных фаз. Тем не менее исследователь, возможно, пожелает убедиться сам, что такого рода изменения отсутствуют. И в-четвертых, еще одно предостережение окисление органического материала хлорным отбеливателем в некоторых случаях может приводить к выделению железа, находящегося в организме в хелатированном или другом неминерализованном состоянии. Это железо может гидролизоваться в дистиллированной воде с образованием коллоидных водных оксидов железа, отсутствующих в обычных условиях. Хотя не зарегистрировано ни одного случая такого артефакта, при любом способе выделения минеральных частиц с использованием окисления органического материала потенциальная возможность такой ошибки не исключена. [c.228]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология